Fie $$f : \mathbb{R} \setminus \{3\} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = \dfrac{x+2}{x-3}$$. Care afirmație este corectă?

$$f$$ este strict descrescătoare pe $$(-\infty, 3)$$ și, separat, pe $$(3, +\infty)$$

$$f$$ este strict descrescătoare pe $$\mathbb{R} \setminus \{3\}$$

$$f$$ este strict crescătoare pe $$(-\infty, 3)$$ și pe $$(3, +\infty)$$

$$f$$ nu este monotonă pe niciun interval

Se consideră $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1$$. Atunci:

$$f$$ este strict crescătoare pe $$\mathbb{R}$$

$$f$$ are un punct de maxim local în $$x = -1$$

$$f$$ este strict descrescătoare pe $$[-1, +\infty)$$

$$f$$ este constantă pe o vecinătate a lui $$-1$$

Cum aflu monotonia din semnul derivatei?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Monotonia din semnul derivatei

Derivezi funcția, aduci derivata la formă factorizată și îi studiezi semnul pe fiecare interval din domeniu. Acolo unde $f^{'} > 0$ funcția urcă strict, acolo unde $f^{'} < 0$ coboară strict. La $f (x) = x^{2} - 6 x$ obții $f^{'} (x) = 2 x - 6$ , negativă înainte de $3$ și pozitivă după, deci funcția scade pe $(- \infty, 3]$ și crește pe $[3, + \infty)$ . Verdictul se dă pe câte un interval.

Semnul derivatei întâi decide sensul în care se mișcă o funcție. Unealta poartă un nume care se citează la fiecare exercițiu: Consecința 2 (monotonia) a teoremei lui Lagrange — dacă $f^{'} (x) > 0$ pe un interval $I$ , atunci $f$ este strict crescătoare pe $I$ ; dacă $f^{'} (x) < 0$ pe $I$ , este strict descrescătoare.

Rețeta are cinci pași, mereu aceiași: domeniul $D$ ; derivata adusă la formă factorizată; zerourile lui $f^{'}$ , la care se adaugă punctele unde derivata lipsește; semnul lui $f^{'}$ pe fiecare bucată, așezat în tabel; verdictul, scris interval cu interval. Semnul pe fiecare interval se obține cu o valoare de probă, nu prin alternanță automată — la o rădăcină dublă a derivatei semnul rămâne neschimbat.

Cuvântul „interval" din enunț nu se pierde niciodată. Pentru $f (x) = \frac{1}{x}$ derivata este negativă pe tot domeniul, și totuși $f (- 1) = - 1 < 1 = f (1)$ : mulțimea $R^{*}$ nu este interval, așa că verdictul se dă separat pe $(- \infty, 0)$ și pe $(0, + \infty)$ .

Capetele finite se trec incluse în intervalele de monotonie oriunde funcția este continuă: stricta monotonie de pe intervalul deschis se prelungește la capăt prin trecere la limită.

Un zerou izolat al derivatei nu strică stricta creștere: $f (x) = x^{3}$ urcă pe tot $R$ deși $f^{'} (0) = 0$ . Concluzia se obține aplicând Consecința 2 de o parte și de alta, apoi lipind cele două bucăți.

De reținut

$f^{'} > 0$ pe intervalul $I$ dă $f$ strict crescătoare pe $I$
$f^{'} < 0$ pe intervalul $I$ dă $f$ strict descrescătoare pe $I$
concluzia se scrie pe un interval, nu pe o reuniune de intervale

Greșeala tipică

Se alternează semnele derivatei din coloană în coloană, ca la o funcție de gradul al doilea. Fiecare interval cere propriul punct de probă, altfel rădăcinile de ordin par strică tot tabelul.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$ . Pe care dintre mulțimi este $f$ strict descrescătoare?
- a) $(- \infty, 1]$
- b) $[1, 3]$
- c) $[3, + \infty)$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[1, 3]$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x - 1) (x - 3)$ , cu zerourile $1$ și $3$ . Probele $f^{'} (0) = 9 > 0$ , $f^{'} (2) = - 3 < 0$ , $f^{'} (4) = 9 > 0$ arată că derivata este negativă doar între rădăcini, deci $f$ scade strict pe $[1, 3]$ și crește pe celelalte două intervale.
Fie $f : R ∖ {3} \to R$ , $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ . Care afirmație este corectă?
- a) $f$ este strict descrescătoare pe $R ∖ {3}$
- b) $f$ este strict crescătoare pe $(- \infty, 3)$ și pe $(3, + \infty)$
- c) $f$ nu este monotonă pe niciun interval
- d) $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, 3)$ și, separat, pe $(3, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, 3)$ și, separat, pe $(3, + \infty)$

Regula câtului dă $f^{'} (x) = \frac{( x - 3 ) - ( x + 2 )}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{- 5}{( x - 3 ) ^{2}} < 0$ , deci descreștere. Domeniul însă nu este interval, iar concluzia nu se poate scrie pe reuniune: $f (0) = - \frac{2}{3}$ , $f (4) = 6$ , deci $0 < 4$ dar $f (0) < f (4)$ . Verdictul se dă pe fiecare ramură în parte.
Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ . Atunci:
- a) $f$ este strict crescătoare pe $R$
- b) $f$ are un punct de maxim local în $x = - 1$
- c) $f$ este strict descrescătoare pe $[- 1, + \infty)$
- d) $f$ este constantă pe o vecinătate a lui $- 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f$ este strict crescătoare pe $R$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3 = 3 (x + 1)^{2} \geq 0$ , cu egalitate numai în $x = - 1$ . Derivata este strict pozitivă pe $(- \infty, - 1)$ și pe $(- 1, + \infty)$ , deci $f$ crește strict pe fiecare; fiind continuă în $- 1$ , cele două bucăți se lipesc și creșterea ține pe tot $R$ . Un zerou izolat al derivatei nu produce extrem.

Întrebări conexe

Care sunt cei cinci pași ai studiului monotoniei?

Scrii domeniul, calculezi derivata și o factorizezi, afli zerourile ei împreună cu punctele în care lipsește, treci semnele în tabel și formulezi concluzia pe fiecare interval. Ordinea nu se schimbă, iar fiecare pas se punctează separat în barem.

Ce monotonie are funcția x la a treia, minus 3x?

Derivata este $3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ , pozitivă în afara intervalului $[- 1, 1]$ și negativă înăuntru. Așadar funcția crește pe $(- \infty, - 1]$ , scade pe $[- 1, 1]$ și crește din nou pe $[1, + \infty)$ . În $- 1$ are maxim local, în $1$ minim local.

Ce se scrie ca justificare a monotoniei în barem?

Se citează Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, cu numele întreg, și se precizează intervalul pe care s-a stabilit semnul derivatei. Fără citare și fără interval, concluzia rămâne o afirmație nesusținută, oricât de corect ar fi calculul.

Ce semn are derivata unei funcții strict descrescătoare?

Pe intervalul respectiv derivata este negativă, cu excepția eventualelor puncte izolate unde se anulează. Sensul de care ai nevoie în exerciții este celălalt: din $f^{'} < 0$ pe un interval rezultă că funcția scade strict acolo, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange.

Ce se întâmplă cu semnul la o rădăcină dublă a derivatei?

Nimic nu se răstoarnă: derivata păstrează același semn și înainte, și după punctul acela, deci monotonia continuă neschimbată. La $f^{'} (x) = (x - 2)^{2} (x + 1)$ , factorul la pătrat rămâne pozitiv de amândouă părțile lui $2$ . De aceea semnele se calculează cu puncte de probă, nu prin alternanță.

Cum scriu verdictul când domeniul e format din două intervale?

Scrii câte o concluzie pentru fiecare bucată, legate prin „și”, niciodată una singură pentru reuniune. La $f (x) = \frac{1}{x}$ enumeri separat: pe $(- \infty, 0)$ funcția scade strict, iar pe $(0, + \infty)$ scade tot strict. Pe toată mulțimea afirmația ar fi falsă, cum arată perechea $- 1$ și $1$ .

Oamenii mai întreabă și: monotonia unei funcții cu derivata · când este o funcție crescătoare · semnul derivatei întâi · intervale de monotonie · cum arăt că o funcție crește