Graficul de mai jos este al funcției $$f(x) = -x + 2$$. Funcția este:

nici crescătoare, nici descrescătoare

Când crește și când scade o funcție afină?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Monotonia funcției afine

Totul depinde de semnul pantei. Dacă $a > 0$ , funcția este strict crescătoare, iar dreapta merge în sus pe măsură ce înaintezi spre dreapta; dacă $a < 0$ , este strict descrescătoare și dreapta coboară; dacă $a = 0$ , valoarea rămâne aceeași. Termenul liber nu are niciun cuvânt de spus, fiindcă dispare la compararea a două valori. Așa poți compara $f (2)$ cu $f (5)$ fără să le calculezi.

Monotonia răspunde la o singură întrebare: când $x$ crește, valoarea funcției crește sau scade? La o funcție afină $f (x) = a x + b$ , răspunsul stă întreg în semnul pantei $a$ .

Dacă $a > 0$ , funcția este strict crescătoare: dreapta urcă de la stânga la dreapta. Dacă $a < 0$ , este strict descrescătoare: dreapta coboară. Dacă $a = 0$ , funcția este constantă: dreapta e orizontală, nici nu crește, nici nu scade.

Pe grafic nu ai nevoie de formulă. Plimbă degetul de la stânga la dreapta peste dreaptă: dacă urcă, e crescătoare; dacă coboară, e descrescătoare. E aceeași informație, citită în două secunde.

De aici vine folosul practic: dacă $f$ e crescătoare și $x_{1} < x_{2}$ , atunci sigur $f (x_{1}) < f (x_{2})$ . Poți compara valori fără să le calculezi, doar din ordinea lui $x$ și din felul în care merge dreapta.

Atenție: „urcă" se citește mereu spre dreapta. Aceeași dreaptă parcursă invers pare că coboară, dar convenția e fixă: $x$ crește spre dreapta.

De reținut

$a > 0$ înseamnă funcție strict crescătoare
$a < 0$ înseamnă funcție strict descrescătoare
termenul liber nu schimbă monotonia

Greșeala tipică

„Crește” este confundat cu „este pozitivă”, deși sunt lucruri diferite: prima privește direcția dreptei, a doua poziția ei față de axa orizontală. O funcție poate să urce și să aibă totuși valori negative.

Exerciții din această mini-lecție

Graficul de mai jos este al funcției $f (x) = - x + 2$ . Funcția este:
- a) crescătoare
- b) descrescătoare
- c) constantă
- d) nici crescătoare, nici descrescătoare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) descrescătoare

Panta este $a = - 1 < 0$ , iar pe desen dreapta coboară de la stânga la dreapta — deci funcția este strict descrescătoare. Termenul liber $b = 2$ mută dreapta în sus sau în jos, dar nu schimbă niciodată monotonia.
Despre o funcție afină $f$ se știe, din grafic, că dreapta ei urcă de la stânga la dreapta. Ce putem spune despre panta $a$ ?
- a) $a < 0$
- b) $a = 0$
- c) $a > 0$
- d) $a = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a > 0$

„Urcă spre dreapta" înseamnă că la fiecare pas valoarea crește, deci pasul este pozitiv: $a > 0$ . Răspunsul $a = 1$ e prea tare: panta poate fi $0, 5$ sau $7$ , nu neapărat exact $1$ .
Pentru ce valori ale lui $m$ funcția $f (x) = (m - 3) x + 5$ este descrescătoare?
- a) $m > 3$
- b) $m < 3$
- c) $m = 3$
- d) orice $m$ real
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $m < 3$

Panta este $a = m - 3$ . Descrescătoare înseamnă $a < 0$ , adică $m - 3 < 0$ , deci $m < 3$ . Pentru $m = 3$ panta e $0$ și funcția devine constantă, nu descrescătoare.

Întrebări conexe

Cum compar f de 2 cu f de 7 fără să calculez valorile?

Te uiți doar la semnul pantei. Dacă ea este pozitivă, atunci din $2 < 7$ rezultă imediat $f (2) < f (7)$ . Dacă panta este negativă, inegalitatea se întoarce. Calculul valorilor devine inutil, ceea ce ajută mult la comparații cu numere incomode.

Ce înseamnă strict crescătoare, față de crescătoare?

„Strict” cere ca valorile să fie neapărat diferite: din $x_{1} < x_{2}$ rezultă $f (x_{1}) < f (x_{2})$ , fără egalitate. Varianta fără acest cuvânt admite și valori egale. Funcțiile afine cu panta nenulă sunt mereu strict monotone.

Este funcția constantă crescătoare?

Nu este strict crescătoare, fiindcă valorile nu se schimbă niciodată. Ea intră totuși în categoria mai largă a funcțiilor crescătoare în sens larg, unde egalitatea este permisă. La liceu se cere de obicei monotonia strictă, deci răspunsul așteptat este că funcția rămâne constantă.

Cum se schimbă monotonia dacă înmulțesc funcția cu minus unu?

Se întoarce: panta își schimbă semnul, deci o funcție care creștea începe să scadă. Din $f (x) = 3 x - 2$ se obține $- f (x) = - 3 x + 2$ , iar dreapta care urca acum coboară. Pe grafic, curba se oglindește față de axa orizontală.

Ce monotonie are funcția care dă costul unui abonament?

Una crescătoare, dacă fiecare unitate consumată adaugă la cost. Costul total pornește de la abonamentul fix și urcă odată cu numărul de unități. Panta pozitivă arată tocmai acest lucru: cu cât folosești mai mult, cu atât plătești mai mult.

De ce monotonia se verifică pe orice pereche, nu pe câteva?

Pentru că definiția cere ca proprietatea să fie valabilă oriunde în domeniu, nu doar în câteva locuri alese. La funcția afină, verificarea generală se face dintr-un singur calcul, fiindcă diferența valorilor este panta înmulțită cu diferența argumentelor.

Oamenii mai întreabă și: monotonia funcției afine · când crește o funcție de gradul întâi · funcție crescătoare sau descrescătoare · semnul pantei și monotonia · cum văd pe grafic dacă funcția crește