Monotonia funcției afine: crescătoare sau descrescătoare

Un drum de munte are un profil: urcă până la refugiu, apoi coboară spre celălalt versant. Un cont de economii, dacă depui în fiecare lună aceeași sumă, are și el un profil — dar unul care urcă mereu, fără nicio coborâre. Un rezervor care se golește uniform are profilul opus: coboară constant, până la zero. Când descriem în cuvinte aceste comportamente, spunem „crește" și „scade". Când le descriem în matematică, spunem că funcțiile sunt crescătoare sau descrescătoare — iar proprietatea se numește monotonie.

La funcția afină $f(x)=ax+b$, răspunsul e surprinzător de scurt: totul depinde de semnul lui $a$, și de nimic altceva. Coeficientul $b$ nu are niciun cuvânt de spus, iar graficul nu poate să urce pe o porțiune și să coboare pe alta — o dreaptă nu se răzgândește. Lecția aceasta așază definițiile riguroase, demonstrează criteriul și te învață să citești monotonia direct de pe desen, așa cum cere programa. Pornim de la ce știi deja despre funcția afină și de la deprinderile de lectură grafică.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definițiile funcției crescătoare, strict crescătoare, descrescătoare și strict descrescătoare.
• Vei ști să demonstrezi criteriul de monotonie al funcției afine, pornind de la diferența $f(x_2)-f(x_1)$.
• Vei ști să decizi monotonia unei funcții afine doar privind semnul lui $a$ și să scrii tabelul de variație.
• Vei ști să citești monotonia de pe grafic și să nu o confunzi cu semnul funcției.
• Vei ști să compari valori fără să le calculezi și să găsești valorile extreme pe un interval închis.
• Vei ști să determini intervalele de monotonie ale unei funcții definite pe ramuri de funcții afine.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă, riguros, „crește"

În limbajul de zi cu zi, „crește" e o impresie. În matematică e o definiție care se verifică.

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$, cu $D\subseteq \mathbb{R}$. Spunem că $f$ este:

• crescătoare pe $D$ dacă pentru orice $x_1,x_2\in D$ cu $x_1<x_2$ avem $f(x_1)\le f(x_2)$;
• strict crescătoare pe $D$ dacă pentru orice $x_1<x_2$ avem $f(x_1)<f(x_2)$;
• descrescătoare pe $D$ dacă pentru orice $x_1<x_2$ avem $f(x_1)\ge f(x_2)$;
• strict descrescătoare pe $D$ dacă pentru orice $x_1<x_2$ avem $f(x_1)>f(x_2)$.

O funcție care are una dintre aceste proprietăți se numește monotonă; dacă inegalitățile sunt stricte, se numește strict monotonă.

Citește cu atenție ce se compară: pe de o parte argumentele ($x_1<x_2$), pe de altă parte valorile. Funcția crescătoare păstrează ordinea („mai mare intră, mai mare iese"), cea descrescătoare o răstoarnă. Iar cuvântul orice din definiție e obligatoriu: nu ajunge să verifici pe două-trei numere alese de tine.

Diferența dintre „crescătoare" și „strict crescătoare" contează exact într-un caz: funcția constantă. Pentru $f(x)=5$ avem mereu $f(x_1)=f(x_2)$, deci inegalitățile nestricte $\le$ și $\ge$ sunt ambele adevărate — funcția constantă este simultan crescătoare și descrescătoare, dar nu este strict nici într-un fel.

2. Criteriul: totul stă în semnul lui $a$

Teoremă. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$. Atunci:

• dacă $a>0$, funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$;
• dacă $a<0$, funcția este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$;
• dacă $a=0$, funcția este constantă.

Demonstrație. Fie $x_1<x_2$ două numere reale oarecare. Calculăm diferența valorilor:

$$f(x_2)-f(x_1)=(a{x}_2+b)-(a{x}_1+b)=a{x}_2-a{x}_1=a(x_2-x_1).$$

Observăm că $x_2-x_1>0$, pentru că am presupus $x_1<x_2$. Prin urmare semnul diferenței $f(x_2)-f(x_1)$ este exact semnul lui $a$:

• dacă $a>0$, produsul $a(x_2-x_1)$ este pozitiv, deci $f(x_2)>f(x_1)$ — funcția e strict crescătoare;
• dacă $a<0$, produsul este negativ, deci $f(x_2)<f(x_1)$ — funcția e strict descrescătoare;
• dacă $a=0$, produsul este zero, deci $f(x_2)=f(x_1)$ — funcția e constantă. $■$

Demonstrația merită reținută ca metodă, nu doar ca rezultat: ori de câte ori studiezi monotonia unei funcții, calculezi $f(x_2)-f(x_1)$ și îi discuți semnul. La funcția afină, diferența se factorizează perfect și discuția se termină într-un rând.

Observă și ce nu apare în demonstrație: coeficientul $b$ s-a simplificat. De aceea funcțiile $f(x)=3x-5$, $g(x)=3x+100$ și $h(x)=3x$ sunt toate strict crescătoare — graficele lor sunt drepte paralele, toate înclinate la fel.

3. Rata de schimbare, altfel spus

Împărțind egalitatea demonstrată mai sus la $x_2-x_1\ne 0$, obținem un rezultat pe care l-ai întâlnit deja:

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=a.$$

Raportul acesta se numește rata de schimbare (sau raportul de variație) și, la funcția afină, e constant. Interpretarea monotoniei devine astfel foarte concretă:

• $a>0$ înseamnă că la fiecare unitate în plus pe orizontală valoarea urcă cu $a$;
• $a<0$ înseamnă că valoarea coboară cu $|a|$.

Pentru $f(x)=5x-2$: între $x=3$ și $x=7$, valorile trec de la $13$ la $33$, iar raportul $\frac{33-13}{7-3}=5$ este chiar $a$. Cu cât $|a|$ este mai mare, cu atât urcușul sau coborâșul este mai abrupt — la fel ca la un drum de munte.

4. Tabelul de variație

Rezultatul se scrie compact într-un tabel de variație (numit și tabel de monotonie). Pe primul rând punem argumentul, de la $-\infty$ la $+\infty$; pe al doilea, valorile funcției, cu o săgeată care arată sensul.

Pentru $f(x)=3x-5$ (cu $a=3>0$):

Pentru $f(x)=-4x+9$ (cu $a=-4<0$):

Săgeata $\nearrow$ se citește „crește", săgeata $\searrow$ se citește „scade". La funcția afină tabelul are mereu o singură săgeată: dreapta nu-și schimbă niciodată sensul. Tabele cu mai multe săgeți vei întâlni la funcțiile pe ramuri (punctul 7) și, mai târziu, la funcția de gradul al doilea.

5. Citirea monotoniei de pe grafic

Regula vizuală e cea mai simplă din tot capitolul. Parcurgi graficul de la stânga la dreapta, în sensul creșterii argumentului, și te întrebi ce face:

• dacă dreapta urcă, funcția este strict crescătoare (și $a>0$);
• dacă dreapta coboară, funcția este strict descrescătoare (și $a<0$);
• dacă dreapta este orizontală, funcția este constantă (și $a=0$).

Atenție la o confuzie foarte răspândită: monotonia nu are nicio legătură cu poziția față de axa $Ox$. O dreaptă poate să urce și totuși să fie tot timpul sub axă pe o porțiune (de exemplu $f(x)=2x-100$ pentru $x$ mic), sau poate să coboare rămânând deasupra axei. Întrebarea „urcă sau coboară?" este despre monotonie; întrebarea „e deasupra sau sub axă?" este despre semnul funcției și îi este dedicată lecția despre semnul funcției afine și intersecțiile cu axele.

6. La ce folosește: comparări fără calcul și valori extreme

A. Compararea valorilor. Dacă știi monotonia, poți compara $f(x_1)$ cu $f(x_2)$ fără să calculezi nimic.

Exemplu. Fie $f(x)=-2x+7$. Cum $a=-2<0$, funcția este strict descrescătoare. Din $-3<1$ rezultă imediat $f(-3)>f(1)$. (Verificare: $f(-3)=13$, $f(1)=5$. ✓)

Metoda e cu adevărat utilă când numerele sunt urâte. Pentru $f(x)=3x+2$, care e mai mare, $f(\sqrt{3})$ sau $f(2)$? Nu calculăm nimic: $\sqrt{3}<2$ (pentru că $3<4$), iar funcția e strict crescătoare, deci $f(\sqrt{3})<f(2)$.

B. Valorile extreme pe un interval închis. O funcție strict monotonă pe $[m,n]$ își atinge extremele în capete, niciodată în interior.

Exemplu. Fie $f(x)=3x-5$ pe intervalul $[-1,4]$. Funcția e strict crescătoare, deci cea mai mică valoare e la capătul din stânga, $f(-1)=-8$, iar cea mai mare la capătul din dreapta, $f(4)=7$.

Exemplu. Fie $f(x)=-2x+5$ pe $[-1,3]$. Funcția e strict descrescătoare, deci maximul e la capătul din stânga, $f(-1)=7$, iar minimul la cel din dreapta, $f(3)=-1$. Se răstoarnă totul, exact ca ordinea valorilor.

7. Funcții pe ramuri: intervale de monotonie

Când funcția e definită pe ramuri de funcții afine, graficul e o linie frântă și monotonia se studiază pe fiecare interval separat.

Exemplu. Fie

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}-x+1,& x\le 2\\ 2x-5,& x>2\end{array}$$

Pe ramura din stânga, $a=-1<0$: funcția e strict descrescătoare pe $(-\infty ,2]$. Pe ramura din dreapta, $a=2>0$: e strict crescătoare pe $[2,\infty )$. Cele două formule dau în $x=2$ aceeași valoare, $-1$, deci graficul nu are salt: e o linie frântă în formă de „V", cu vârful în punctul $(2,-1)$.

Tabelul de variație are acum două săgeți:

Valoarea $-1$ este valoarea minimă a funcției pe $\mathbb{R}$, iar $x=2$ se numește punct de minim. Observă distincția, cerută explicit de programă: punctul de extrem este argumentul ($x=2$), iar valoarea extremă este valoarea funcției ($-1$). Nu le confunda în răspunsuri.

Funcția $g$ nu este monotonă pe tot $\mathbb{R}$ — întâi scade, apoi crește. Este monotonă doar pe intervale, iar acelea se numesc intervalele ei de monotonie.

8. O consecință importantă: monotonia strictă și injectivitatea

Dacă $f$ este strict monotonă, atunci argumente diferite dau valori diferite — pentru că din $x_1<x_2$ rezultă $f(x_1)<f(x_2)$ (sau $>$), deci în niciun caz $f(x_1)=f(x_2)$.

Această proprietate are un nume: funcția este injectivă. O vei studia riguros în lecția despre funcții injective, surjective, bijective, dar reține de pe acum consecința practică: dacă $f$ este o funcție afină cu $a\ne 0$, atunci ecuația $f(x)=m$ are cel mult o soluție. Grafic: orice orizontală taie o dreaptă oblică într-un singur punct.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Monotonia din semnul lui $a$

Studiați monotonia funcțiilor definite pe $\mathbb{R}$: a) $f(x)=7x-3$; b) $g(x)=-\frac{1}{2}x+4$; c) $h(x)=6$.

Rezolvare. a) $a=7>0$, deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

b) $a=-\frac{1}{2}<0$, deci $g$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$.

c) $a=0$, deci $h$ este constantă (crescătoare și descrescătoare în sens larg, dar strict monotonă nu este). $■$

Exemplul 2 — Demonstrația cu definiția

Demonstrați, folosind definiția, că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x+1$, este strict descrescătoare.

Rezolvare. Fie $x_1<x_2$ două numere reale oarecare. Calculăm:

$$f(x_2)-f(x_1)=(-3x_2+1)-(-3x_1+1)=-3(x_2-x_1).$$

Cum $x_1<x_2$, avem $x_2-x_1>0$, iar înmulțirea cu $-3$ dă un număr negativ. Deci $f(x_2)-f(x_1)<0$, adică $f(x_2)<f(x_1)$.

Am arătat că pentru orice $x_1<x_2$ rezultă $f(x_1)>f(x_2)$: funcția este strict descrescătoare. $■$ (Verificare rapidă: $f(0)=1$, $f(2)=-5$; într-adevăr, $0<2$ și $1>-5$.)

Exemplul 3 — Comparare fără calcul

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+7$. Comparați, fără a calcula valorile: a) $f(-3)$ și $f(1)$; b) $f\left(\sqrt{2}\right)$ și $f\left(\frac{3}{2}\right)$.

Rezolvare. Coeficientul $a=-2$ este negativ, deci funcția e strict descrescătoare: argumentul mai mare dă valoarea mai mică.

a) Din $-3<1$ rezultă $f(-3)>f(1)$.

b) Comparăm întâi argumentele: $\sqrt{2}<\frac{3}{2}$, pentru că ridicând la pătrat ambele numere pozitive obținem $2<\frac{9}{4}$, adevărat. Deci $f\left(\sqrt{2}\right)>f\left(\frac{3}{2}\right)$. $■$

Exemplul 4 — Extreme pe un interval

Determinați valoarea minimă și valoarea maximă ale funcției $f:[-1,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+5$, precizând punctele în care sunt atinse.

Rezolvare. Cum $a=-2<0$, funcția este strict descrescătoare pe tot intervalul. Prin urmare valorile scad de la capătul din stânga spre cel din dreapta:

• valoarea maximă este $f(-1)=2+5=7$, atinsă în punctul de maxim $x=-1$;
• valoarea minimă este $f(3)=-6+5=-1$, atinsă în punctul de minim $x=3$.

Mulțimea valorilor funcției este așadar intervalul $[-1,7]$. $■$

Exemplul 5 — Funcție pe ramuri

Studiați monotonia funcției $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=\{\begin{array}{ll}2x+4,& x\le -1\\ -x+1,& x>-1\end{array}$ și determinați valoarea ei maximă.

Rezolvare. Prima ramură: $a=2>0$, deci $h$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-1]$.

A doua ramură: $a=-1<0$, deci $h$ este strict descrescătoare pe $[-1,\infty )$.

Racordarea: în $x=-1$, prima formulă dă $2\cdot (-1)+4=2$, iar a doua tinde spre $-(-1)+1=2$. Valorile coincid, deci graficul este o linie frântă continuă, cu vârful în $(-1,2)$.

Funcția urcă până în $x=-1$ și coboară după, deci $x=-1$ este punct de maxim, iar valoarea maximă este $h(-1)=2$. Verificări: $h(-3)=-2$, $h(0)=1$, $h(2)=-1$ — toate mai mici decât $2$, cum era de așteptat. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+2$. a) Arătați că $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. b) Comparați numerele $f\left(\sqrt{3}\right)$ și $f(2)$.

Rezolvare. a) Fie $x_1<x_2$. Atunci $f(x_2)-f(x_1)=3(x_2-x_1)>0$, deoarece $x_2-x_1>0$. Deci $f(x_1)<f(x_2)$ pentru orice $x_1<x_2$: funcția este strict crescătoare.

b) Comparăm argumentele: $\sqrt{3}<2$, pentru că $3<4$ și ambele numere sunt pozitive. Funcția fiind strict crescătoare, păstrează ordinea, deci

$$f\left(\sqrt{3}\right)<f(2).$$

$■$ (Cerința b) se rezolvă în două rânduri prin monotonie; calculul direct ar cere aproximarea lui $\sqrt{3}$, adică o rezolvare mai slabă și mai riscantă.)

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Unde se cere „demonstrați", pornește de la $x_1<x_2$ și calculează diferența valorilor — nu te mulțumi cu invocarea semnului lui $a$.

1. Studiază monotonia funcțiilor definite pe $\mathbb{R}$: a) $f(x)=4x-11$; b) $g(x)=-6x+1$; c) $h(x)=\frac{2}{3}x$; d) $u(x)=-9$.

2. Demonstrează cu definiția că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x+1$, este strict descrescătoare.

3. Demonstrează cu definiția că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-2$, este strict crescătoare, apoi calculează raportul $\frac{f(7)-f(3)}{7-3}$ și compară-l cu $a$.

4. Scrie tabelul de variație pentru: a) $f(x)=3x-5$; b) $g(x)=-4x+9$.

5. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+7$. Compară, fără să calculezi valorile: a) $f(-3)$ și $f(1)$; b) $f(0)$ și $f(100)$.

6. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-1$. Compară $f\left(\sqrt{2}\right)$ cu $f\left(\frac{3}{2}\right)$, justificând întâi ordinea argumentelor.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $b>0$, funcția $f(x)=ax+b$ este crescătoare."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție afină poate fi crescătoare pe un interval și descrescătoare pe altul."

9. Determină valoarea minimă și valoarea maximă ale funcției $f:[-1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-5$, precizând punctele în care sunt atinse.

10. Determină valoarea minimă și valoarea maximă ale funcției $f:[0,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+1$. Care este mulțimea valorilor funcției?

11. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(m-3)x+2$. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care funcția este: a) strict crescătoare; b) strict descrescătoare; c) constantă.

12. Fie $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=(2-m)x+1$. Pentru ce valori ale lui $m$ funcția este strict descrescătoare?

13. (Problemă aplicată.) Un rezervor conține $60$ de litri și pierde $4$ litri pe minut: $V(t)=60-4t$, pentru $t\in [0,15]$. a) Este $V$ crescătoare sau descrescătoare? Justifică prin semnul coeficientului. b) Care este volumul maxim și când e atins? c) Ce înseamnă practic monotonia găsită?

14. Fie $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\{\begin{array}{ll}-x+1,& x\le 2\\ 2x-5,& x>2\end{array}$. a) Determină intervalele de monotonie. b) Arată că graficul nu are salt în $x=2$. c) Precizează punctul de minim și valoarea minimă.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+2$. a) Arătați că $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. b) Comparați numerele $f\left(\sqrt{3}\right)$ și $f(2)$.

16. Fie $f(x)=2x+1$ și $g(x)=3x-4$, definite pe $\mathbb{R}$. Arată că funcția $s(x)=f(x)+g(x)$ este strict crescătoare și explică, în cuvinte, de ce era de așteptat.

17. (Problemă aplicată.) Graficul unei funcții $T$, care dă temperatura dintr-o seră în funcție de oră, este linia frântă prin punctele $(6,10)$, $(13,24)$ și $(20,16)$. a) Pe ce intervale este $T$ crescătoare și pe ce intervale descrescătoare? b) Care este temperatura maximă și la ce oră se atinge? c) Cu câte grade pe oră a crescut temperatura dimineața?

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(m^2-4)x+1$, cu $m$ parametru real. a) Determină valorile lui $m$ pentru care $f$ este strict descrescătoare. b) Pentru ce valori ale lui $m$ funcția este constantă? c) Arată că, dacă $f$ este strict crescătoare, atunci $|m|>2$.

Răspunsuri și explicații

1. a) $a=4>0$: strict crescătoare. b) $a=-6<0$: strict descrescătoare. c) $a=\frac{2}{3}>0$: strict crescătoare. d) $a=0$: funcție constantă, nu este strict monotonă.

2. Fie $x_1<x_2$. Atunci $f(x_2)-f(x_1)=-3(x_2-x_1)$. Cum $x_2-x_1>0$, produsul este negativ, deci $f(x_2)<f(x_1)$. Prin urmare $f$ este strict descrescătoare.

3. Fie $x_1<x_2$: $f(x_2)-f(x_1)=5(x_2-x_1)>0$, deci $f(x_1)<f(x_2)$ — strict crescătoare. Raportul: $f(7)=33$, $f(3)=13$, deci $\frac{33-13}{4}=5=a$. Rata de schimbare este chiar coeficientul $a$, cum arată demonstrația generală.

4. a) Pentru $f(x)=3x-5$: pe rândul lui $x$ scriem $-\infty$ și $+\infty$, iar pe rândul valorilor $-\infty \nearrow +\infty$ (o singură săgeată, crescătoare). b) Pentru $g(x)=-4x+9$: valorile merg $+\infty \searrow -\infty$ (o singură săgeată, descrescătoare).

5. Funcția e strict descrescătoare ($a=-2<0$), deci răstoarnă ordinea. a) Din $-3<1$ rezultă $f(-3)>f(1)$. b) Din $0<100$ rezultă $f(0)>f(100)$.

6. Ordinea argumentelor: $\sqrt{2}<\frac{3}{2}$, pentru că prin ridicare la pătrat (ambele pozitive) obținem $2<\frac{9}{4}$, adevărat. Cum $a=3>0$, funcția este strict crescătoare și păstrează ordinea: $f\left(\sqrt{2}\right)<f\left(\frac{3}{2}\right)$.

7. Fals. Monotonia depinde exclusiv de $a$; $b$ se simplifică în diferența $f(x_2)-f(x_1)$. Contraexemplu: $f(x)=-5x+3$ are $b=3>0$, dar este strict descrescătoare.

8. Fals. Semnul lui $a$ este același pe tot domeniul, deci sensul de variație nu se poate schimba: graficul e o dreaptă, iar o dreaptă urcă peste tot sau coboară peste tot. (Singura excepție formală este funcția constantă, cu $a=0$: ea e simultan crescătoare și descrescătoare în sens larg pe orice interval, dar tocmai de aceea nu-și schimbă nicăieri sensul de variație.) Comportamentul „urcă apoi coboară" apare doar la funcții definite pe ramuri, cu pante de semne diferite.

9. Funcția e strict crescătoare ($a=3>0$), deci minimul e în capătul stâng: $f(-1)=-8$, iar maximul în capătul drept: $f(4)=7$. Punct de minim $x=-1$, punct de maxim $x=4$.

10. $a=4>0$, strict crescătoare: valoarea minimă $f(0)=1$ (în $x=0$), valoarea maximă $f(5)=21$ (în $x=5$). Funcția fiind continuă și strict crescătoare pe interval, mulțimea valorilor este $[1,21]$.

11. a) Strict crescătoare $⟺m-3>0⟺m>3$. b) Strict descrescătoare $⟺m-3<0⟺m<3$. c) Constantă $⟺m-3=0⟺m=3$ (atunci $f(x)=2$).

12. Strict descrescătoare $⟺2-m<0⟺m>2$.

13. a) Coeficientul lui $t$ este $-4<0$, deci $V$ este strict descrescătoare pe $[0,15]$. b) Volumul maxim este $V(0)=60$ de litri, atins la momentul inițial (capătul din stânga al intervalului, pentru o funcție descrescătoare). c) Practic: apa doar scade, niciodată nu crește — rezervorul nu este alimentat în timpul golirii.

14. a) Pe $(-\infty ,2]$ coeficientul este $-1<0$: strict descrescătoare; pe $[2,\infty )$ coeficientul este $2>0$: strict crescătoare. b) În $x=2$: prima formulă dă $-2+1=-1$, a doua dă $4-5=-1$ — aceeași valoare, deci fără salt. c) Punctul de minim este $x=2$, iar valoarea minimă este $g(2)=-1$.

15. a) Pentru $x_1<x_2$: $f(x_2)-f(x_1)=3(x_2-x_1)>0$, deci $f(x_1)<f(x_2)$; funcția e strict crescătoare. b) $\sqrt{3}<2$ (căci $3<4$), iar funcția păstrează ordinea, deci $f\left(\sqrt{3}\right)<f(2)$.

16. $s(x)=(2x+1)+(3x-4)=5x-3$, funcție afină cu $a=5>0$, deci strict crescătoare. Era de așteptat: dacă ambele funcții urcă atunci când argumentul crește, suma lor urcă și ea — pantele se adună, $5=2+3$.

17. a) $T$ este crescătoare pe $[6,13]$ (de la $10$ la $24$ de grade) și descrescătoare pe $[13,20]$ (de la $24$ la $16$ grade). b) Temperatura maximă este $24$ de grade, atinsă la ora $13$ — punctul de maxim. c) Panta primului segment: $\frac{24-10}{13-6}=\frac{14}{7}=2$ grade pe oră.

18. a) Strict descrescătoare $⟺m^2-4<0⟺m^2<4⟺|m|<2⟺m\in (-2,2)$. b) Constantă $⟺m^2-4=0⟺m\in \{-2,2\}$. c) Strict crescătoare $⟺m^2-4>0⟺m^2>4$; cum ambii membri sunt nenegativi, aceasta echivalează cu $|m|>2$, adică $m<-2$ sau $m>2$. Verificare pentru $m=3$: $f(x)=5x+1$, într-adevăr strict crescătoare.

De reținut

• $f$ este strict crescătoare dacă din $x_1<x_2$ rezultă $f(x_1)<f(x_2)$ și strict descrescătoare dacă rezultă $f(x_1)>f(x_2)$; „orice $x_1,x_2$" este esențial în definiție.
• Pentru funcția afină, $f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)$: semnul lui $a$ decide singur monotonia. $a>0$ — crește; $a<0$ — scade; $a=0$ — constantă. Coeficientul $b$ nu contează.
• Pe grafic: dreapta care urcă de la stânga la dreapta înseamnă funcție crescătoare, cea care coboară înseamnă descrescătoare. Monotonia nu se confundă cu semnul funcției.
• Pe un interval închis $[m,n]$, o funcție afină strict monotonă își atinge extremele în capete; punctul de extrem este argumentul, valoarea extremă este valoarea funcției.
• La funcțiile definite pe ramuri de funcții afine, monotonia se studiază pe fiecare interval, iar în punctul de racordare poate apărea un punct de minim sau de maxim.

Greșeli frecvente

• Crezi că $b$ influențează monotonia. Nu o influențează niciodată: $b$ se simplifică în diferența valorilor. $f(x)=-5x+100$ scade, oricât de mare ar fi $b$.
• Confunzi monotonia cu semnul funcției. „Crește" înseamnă că graficul urcă; „e pozitivă" înseamnă că graficul e deasupra axei $Ox$. Sunt întrebări diferite, cu răspunsuri independente.
• Verifici monotonia pe două valori și tragi concluzia. Două calcule nu demonstrează nimic; definiția cere „pentru orice $x_1<x_2$". La funcția afină, demonstrația generală ia un rând — nu o sări.
• Cauți maximul în interiorul intervalului. La o funcție afină strict monotonă, extremele sunt mereu în capete. Interiorul nu are niciun candidat.
• Confunzi punctul de extrem cu valoarea extremă. Pentru $g$ cu vârful în $(2,-1)$: punctul de minim este $x=2$, iar valoarea minimă este $-1$. Enunțurile de examen cer, uneori, exact una dintre ele.

Aplică acasă

1. Monotonia din jurul tău. Găsește trei mărimi din viața ta care se schimbă în timp și decide, pentru fiecare, dacă dependența e crescătoare, descrescătoare sau niciuna: nivelul bateriei telefonului în timpul unei zile, suma strânsă într-o pușculiță în care pui zilnic aceeași sumă, numărul de pagini rămase dintr-o carte pe care o citești. Pentru cele afine, estimează $a$ și spune ce unitate de măsură are.

2. Cursorul de pantă. În GeoGebra sau Desmos trasează $y=ax+2$ cu un cursor pentru $a$. Plimbă cursorul de la $-5$ la $5$ și notează în caiet ce se întâmplă cu dreapta când $a$ trece prin $0$. Scrie apoi, cu propriile cuvinte, de ce funcția constantă nu e nici strict crescătoare, nici strict descrescătoare.

3. Profilul unei drumeții. Caută pe internet profilul altimetric al unui traseu montan (grafic altitudine–distanță). Marchează pe el intervalele de creștere și de descreștere, identifică punctul de maxim și estimează, pe porțiunea cea mai abruptă, rata de schimbare în metri pe kilometru.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă o intuiție („graficul urcă") într-un enunț demonstrabil. Miza pedagogică este dublă: pe de o parte, definiția riguroasă a monotoniei, cu cuantificatorul „pentru orice" luat în serios; pe de altă parte, criteriul practic — la funcția afină, semnul lui $a$ decide totul. Elevii care rețin doar criteriul rezolvă exercițiile de rutină, dar se împotmolesc la cerințele de tip „demonstrați", frecvente în examene.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că $f$ e strict crescătoare?"; „De ce nu contează $b$?" (se simplifică în diferență); „Poate o funcție afină să crească pe un interval și să scadă pe altul?" (nu); „Unde își atinge o funcție afină maximul pe $[2,7]$?" (într-un capăt, după semnul lui $a$); „Care e diferența dintre punct de minim și valoare minimă?". Semne că a înțeles: scrie demonstrația pornind de la $x_1<x_2$, folosește monotonia pentru comparări cu radicali în loc să aproximeze, și nu confundă monotonia cu semnul funcției.

La teze și la Bacalaureat, cerințele obișnuite sunt: „arătați că funcția este strict crescătoare", „comparați $f(\sqrt{5})$ cu $f(2)$", „determinați $m$ astfel încât funcția să fie descrescătoare", „determinați valoarea maximă a funcției pe intervalul dat". Deprinderea se transferă direct la funcția de gradul al doilea, unde monotonia se schimbă în vârful parabolei, și mai departe la funcțiile trigonometrice.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o funcție este crescătoare? Că păstrează ordinea: dacă argumentul crește, valoarea nu scade. Riguros, pentru orice $x_1<x_2$ din domeniu avem $f(x_1)\le f(x_2)$; dacă inegalitatea este strictă, funcția se numește strict crescătoare.

Cum aflu dacă funcția afină $f(x)=ax+b$ crește sau scade? Te uiți doar la semnul lui $a$: dacă $a>0$ funcția este strict crescătoare, dacă $a<0$ este strict descrescătoare, iar dacă $a=0$ este constantă. Coeficientul $b$ nu influențează monotonia.

De ce nu contează $b$ la monotonie? Pentru că se simplifică: $f(x_2)-f(x_1)=(a{x}_2+b)-(a{x}_1+b)=a(x_2-x_1)$. Termenul liber apare de două ori, cu semne opuse, și dispare din diferență.

Cum citesc monotonia direct de pe grafic? Parcurgi graficul de la stânga la dreapta: dacă dreapta urcă, funcția crește; dacă dreapta coboară, funcția scade; dacă e orizontală, funcția e constantă.

Care e diferența dintre monotonie și semnul funcției? Monotonia spune dacă graficul urcă sau coboară; semnul spune dacă graficul e deasupra sau sub axa $Ox$. O funcție poate să crească fiind negativă sau să scadă fiind pozitivă — sunt proprietăți independente.

Unde își atinge o funcție afină valoarea maximă pe un interval? Într-unul dintre capete: dacă $a>0$, maximul e în capătul din dreapta; dacă $a<0$, în capătul din stânga. În interiorul intervalului nu poate exista un extrem.

Ce este un punct de extrem și ce este o valoare extremă? Punctul de extrem este argumentul în care funcția atinge cea mai mare (sau cea mai mică) valoare, iar valoarea extremă este valoarea funcției în acel punct. Pentru un vârf de coordonate $(2,-1)$, punctul de minim este $2$, iar valoarea minimă este $-1$.

Poate o funcție să fie și crescătoare, și descrescătoare? Da, dar numai funcția constantă: la ea $f(x_1)=f(x_2)$ mereu, deci ambele inegalități nestricte sunt adevărate. Strict crescătoare și strict descrescătoare simultan nu poate fi nicio funcție.