Funcția $$f : (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}_{20}, +)$$, $$f(k) = \hat{k}$$, este:

morfism surjectiv, dar nu injectiv

Ce se întâmplă cu simetricul printr-un morfism?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Morfisme de grupuri

Trece în simetricul imaginii: $f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1}$ . Demonstrația pleacă de la $x \cdot x^{- 1} = e$ ; aplicând $f$ și folosind $f (e) = e^{'}$ , se ajunge la $f (x) * f (x^{- 1}) = e^{'}$ , iar într-un grup un singur produs egal cu neutrul stabilește simetricul. Mai general, $f (x^{k}) = f (x)^{k}$ pentru orice exponent întreg, așa că un morfism duce puterile în puteri.

O funcție $f : (G, \cdot) \to (G^{'}, *)$ este morfism de grupuri dacă $f (x \cdot y) = f (x) * f (y)$ pentru orice $x, y \in G$ — adică nu contează dacă efectuezi întâi operația și apoi aplici funcția, sau invers. Cele două operații sunt, în general, diferite: în stânga se calculează în $G$ , în dreapta în $G^{'}$ , al cărui element neutru se notează $e^{'}$ (primul nu înseamnă simetric, ci „al celui de-al doilea grup”). Verificarea are patru pași: scrii cele două grupuri cu operațiile lor, calculezi separat cei doi membri cu litere și îi compari pentru $x$ și $y$ oarecare; un exemplu numeric poate doar să infirme, niciodată să confirme.

Trei proprietăți se demonstrează din definiție: $f (e) = e^{'}$ (pornind de la $e \cdot e = e$ și simplificând), $f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1}$ (din unicitatea simetricului) și $f (x^{k}) = f (x)^{k}$ pentru orice $k \in Z$ (prin inducție). Ultima este unealta de calcul a lecției: un morfism duce puterile în puteri, deci ordinul lui $f (x)$ divide ordinul lui $x$ . Morfismele de reținut sunt logaritmul, determinantul, semnul unei permutări, trecerea la clasa de resturi $f (k) = \hat{k}$ , $f (k) = i^{k}$ , familiile de matrice cu $A (x) A (y) = A (x + y)$ și exponențiala. Contraexemple: $f (x) = x + 1$ pe $(R, +)$ , care nu duce neutrul în neutru, și ridicarea la pătrat, morfism pe $(R^{*}, \cdot)$ , dar nu pe $(R, +)$ .

De reținut

$f (x \cdot y) = f (x) * f (y)$ , cu operații diferite în cei doi membri
$f (e) = e^{'}$ , $f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1}$ , $f (x^{k}) = f (x)^{k}$
morfisme de reținut: logaritmul, determinantul, semnul unei permutări, $f (k) = \hat{k}$

Greșeala tipică

Egalitatea $f (e) = e^{'}$ este trecută printre condițiile definiției. În realitate ea se deduce, pornind de la $e \cdot e = e$ și simplificând, în timp ce definiția cere doar ca imaginea produsului să fie produsul imaginilor.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele funcții nu este morfism de la $(R, +)$ la $(R, +)$ ?
- a) $f (x) = 5 x$
- b) $f (x) = - x$
- c) $f (x) = x + 3$
- d) $f (x) = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f (x) = x + 3$

Un morfism duce elementul neutru în elementul neutru, iar aici $f (0) = 3 \neq = 0$ , deci funcția nu poate fi morfism. Se vede și direct: $f (x + y) = x + y + 3$ , în timp ce $f (x) + f (y) = x + y + 6$ . Funcțiile $f (x) = 5 x$ și $f (x) = - x$ verifică $f (x + y) = f (x) + f (y)$ prin distributivitate, iar funcția constantă nulă este morfismul care duce tot grupul în neutru.
Fie $A \in G L_{2} (R)$ cu $det A = - 2$ . Atunci $det (A^{7})$ este:
- a) $- 128$
- b) $128$
- c) $- 14$
- d) $- 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 128$

Determinantul este morfism de la $(G L_{2} (R), \cdot)$ la $(R^{*}, \cdot)$ , deci $det (A^{k}) = (det A)^{k}$ . Rezultă $det (A^{7}) = (- 2)^{7} = - 128$ . Varianta $128$ pierde semnul (exponentul este impar), varianta $- 14$ înmulțește exponentul cu determinantul în loc să ridice la putere, iar $- 2$ ignoră exponentul.
Funcția $f : (Z, +) \to (Z_{20}, +)$ , $f (k) = \hat{k}$ , este:
- a) morfism injectiv
- b) morfism surjectiv, dar nu injectiv
- c) morfism bijectiv
- d) nu este morfism
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) morfism surjectiv, dar nu injectiv

Este morfism, pentru că adunarea claselor a fost definită tocmai prin $\hat{k} + \hat{l} = k + l$ . Este surjectivă, fiindcă orice clasă are un reprezentant întreg. Nu este însă injectivă: $f (0) = f (20) = \hat{0}$ , iar o infinitate de întregi ajung în aceeași clasă. Faptul că $f (e) = e^{'}$ nu spune nimic despre injectivitate.

Întrebări conexe

De ce nu confirmă un exemplu numeric că o funcție este morfism?

Fiindcă egalitatea se cere pentru toate perechile, nu pentru una. O potrivire la $x = 1$ și $y = 2$ poate fi întâmplătoare, iar funcția să cadă la alte valori. Un exemplu are putere doar în sens negativ: o singură pereche pentru care egalitatea nu iese respinge definitiv.

Ce operații se folosesc în cei doi membri ai condiției de morfism?

În stânga se calculează cu legea grupului de plecare, iar în dreapta cu legea grupului de sosire. Ele pot fi complet diferite: la logaritm, în stânga stă înmulțirea numerelor pozitive, iar în dreapta adunarea, ceea ce dă tocmai $ln (x y) = ln x + ln y$ .

De ce divide ordinul imaginii ordinul elementului?

Dacă $ord (x) = n$ , atunci din $x^{n} = e$ rezultă $f (x)^{n} = e^{'}$ , deci ordinul lui $f (x)$ divide $n$ . Egalitatea nu e sigură: trecerea la clasa de resturi duce numărul $1$ , de ordin infinit, într-o clasă de ordin finit. Bijectivitatea este cea care aduce egalitatea.

Este ridicarea la pătrat morfism pe grupul aditiv al numerelor reale?

Nu, fiindcă $(x + y)^{2}$ nu este $x^{2} + y^{2}$ ; deja pentru $x = y = 1$ ies $4$ și $2$ . Pe grupul multiplicativ $(R^{*}, \cdot)$ însă funcționează, pentru că $(x y)^{2} = x^{2} y^{2}$ . Aceeași expresie poate fi morfism sau nu, după operațiile alese.

Ce înseamnă notația $e^{'}$ în definiția morfismului?

Este elementul neutru al grupului de sosire. Semnul din dreapta sus nu are aici sensul de simetric, ci doar deosebește al doilea grup de primul, așa cum $*$ deosebește a doua lege. Confuzia dintre cele două înțelesuri strică toate demonstrațiile care urmează.

Câți pași are verificarea condiției de morfism?

Patru: scrii cele două grupuri cu legile lor, calculezi separat membrul stâng, calculezi separat membrul drept și compari expresiile obținute. Calculul se face cu litere, pentru $x$ și $y$ oarecare; abia atunci concluzia acoperă toate perechile.

Oamenii mai întreabă și: ce este un morfism de grupuri · cum verific dacă o funcție e morfism · imaginea inversului printr-un morfism · exemple de morfisme de grupuri · morfism și element neutru