Funcția $$g : \mathbb{R} \to \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$, $$g(x) = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$, nu este morfism de inele deoarece:

nu duce elementul unitate în elementul unitate

Care este opusul lui x la legea x ⊕ y=x+y-a?

Este 2a-x. Neutrul acestei legi este a, iar din x⊕ x'=a iese x+x'-a=a, deci x'=2a-x. Se verifică imediat pe un caz: pentru a=3 și x=5 se obține 1, iar 5⊕ 1=3.

Câte condiții are un morfism de inele?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Morfisme de inele; transportul de structură

Trei, nu două: păstrarea adunării, păstrarea înmulțirii și $f (1) = 1^{'}$ . Ultima nu se deduce din primele, cum arată funcția care duce numărul $x$ în matricea cu $x$ în colțul din stânga sus și zerouri în rest: respectă ambele operații, dar imaginea unității iese o matrice cu determinantul zero. Când un morfism este și bijectiv, el poartă numele de izomorfism, iar funcția lui inversă are aceleași proprietăți.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1, pe programa veche, cea a sesiunilor 2027–2029. Morfismul de inele $f : A \to A^{'}$ are trei condiții, nu două: $f (x + y) = f (x) + f (y)$ , $f (x y) = f (x) f (y)$ și $f (1) = 1^{'}$ . A treia nu decurge din primele două — contraexemplul-etalon este $g (x) = (x 0 00)$ , care respectă ambele operații, dar duce unitatea într-o matrice neinversabilă. Un morfism bijectiv se numește izomorfism, se scrie $A ≃ A^{'}$ , iar inversa lui este tot izomorfism. Orice morfism păstrează $0$ , opusele, puterile și inversele, deci duce $U (A)$ în $U (A^{'})$ ; orice morfism de corpuri este injectiv, deci devine izomorfism de îndată ce e surjectiv.

Transportul de structură este rețeta pentru legile deghizate $x \oplus y = x + y - a$ și $x \otimes y = (x - a) (y - a) + a$ : se ia $f (x) = x - a$ , se verifică cele trei condiții și bijectivitatea, apoi axiomele se transferă, nu se reverifică. Elementele remarcabile se citesc prin $f^{- 1}$ : zeroul este $a$ , unitatea este $a + 1$ , simetricul față de $\oplus$ este $x^{'} = 2 a - x$ , iar simetricul față de $\otimes$ , definit pentru $x \neq = a$ , este $a + \frac{1}{x - a}$ . Pe $R$ se obține un corp izomorf cu $(R, +, \cdot)$ ; pe $Z$ , inversabilele sunt doar $a - 1$ și $a + 1$ . Două inele nu sunt izomorfe dacă diferă prin cardinal, comutativitate, existența divizorilor lui zero sau grupul unităților.

De reținut

morfism de inele: $f (x + y) = f (x) + f (y)$ , $f (x y) = f (x) f (y)$ și $f (1) = 1^{'}$
prin $f (x) = x - a$ : zeroul este $a$ , unitatea $a + 1$ , opusul $2 a - x$
orice morfism de corpuri este injectiv

Greșeala tipică

Se verifică doar cele două condiții cu operațiile și se sare peste $f (1) = 1^{'}$ . Prima pereche nu o implică pe a treia, iar fără ea funcția poate strica inversabilitatea elementelor.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $g : R \to M_{2} (R)$ , $g (x) = (x 0 00)$ , nu este morfism de inele deoarece:
- a) nu respectă adunarea
- b) nu respectă înmulțirea
- c) nu duce elementul unitate în elementul unitate
- d) nu este injectivă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu duce elementul unitate în elementul unitate

Se verifică direct că $g (x + y) = g (x) + g (y)$ și $g (x y) = g (x) g (y)$ , deci ambele operații sunt respectate. Cade însă a treia condiție: $g (1) = (1000) \neq = I_{2}$ . Consecința se vede imediat — $1$ e inversabil în $R$ , dar imaginea lui are determinantul nul, deci nu e inversabilă. Funcția $g$ este de fapt injectivă, deci enunțul care neagă injectivitatea este fals.
Pe $R$ se definesc legile $x \oplus y = x + y + 14$ și $x \otimes y = x y + 14 x + 14 y + 182$ . Elementul unitate al lui $\otimes$ este:
- a) $- 14$
- b) $- 13$
- c) $14$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 13$

Grupăm: $x \otimes y = (x + 14) (y + 14) - 14$ , deci legile sunt cele deghizate cu $a = - 14$ . Zeroul este $a = - 14$ , iar unitatea este $a + 1 = - 13$ . Verificare: $x \otimes (- 13) = (x + 14) (- 13 + 14) - 14 = x + 14 - 14 = x$ . Varianta $- 14$ este elementul nul, adică singurul element neinversabil, nu unitatea.
Pentru legile $x \oplus y = x + y + 14$ și $x \otimes y = (x + 14) (y + 14) - 14$ definite pe $R$ , izomorfismul cu $(R, +, \cdot)$ este dat de funcția:
- a) $f (x) = x + 14$
- b) $f (x) = 14 x$
- c) $f (x) = x - 14$
- d) $f (x) = x + 13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f (x) = x + 14$

Pentru legile deghizate cu parametrul $a$ , izomorfismul este $f (x) = x - a$ ; aici $a = - 14$ , deci $f (x) = x + 14$ , cu inversa $f^{- 1} (t) = t - 14$ . Verificare: $f (x \oplus y) = x + y + 28 = f (x) + f (y)$ și $f (x \otimes y) = (x + 14) (y + 14) = f (x) f (y)$ , iar $f (- 13) = 1$ , deci și a treia condiție este îndeplinită.

Întrebări conexe

Ce contraexemplu arată că $f (1) = 1^{'}$ nu decurge din celelalte condiții?

Funcția $g (x) = (x 0 00)$ , de la $R$ la $M_{2} (R)$ . Ea duce suma în sumă și produsul în produs, dar imaginea lui $1$ nu este $I_{2}$ , ci o matrice cu determinantul zero. Fără a treia condiție, inversabilitatea s-ar putea pierde pe drum.

Care este opusul lui $x$ la legea $x \oplus y = x + y - a$ ?

Este $2 a - x$ . Neutrul acestei legi este $a$ , iar din $x \oplus x^{'} = a$ iese $x + x^{'} - a = a$ , deci $x^{'} = 2 a - x$ . Se verifică imediat pe un caz: pentru $a = 3$ și $x = 5$ se obține $1$ , iar $5 \oplus 1 = 3$ .

Ce se întâmplă cu elementele inversabile printr-un morfism de inele?

Rămân inversabile: din $ab = 1$ se obține $f (a) f (b) = f (1) = 1^{'}$ , deci $f (a)$ are invers. Prin urmare morfismul duce grupul unităților primului inel în grupul unităților celui de-al doilea. Aici se vede la ce folosește condiția asupra unității.

Care este zeroul structurii obținute prin transport?

Numărul $a$ , adică neutrul legii $\oplus$ . Se citește prin funcția inversă: zeroul obișnuit se întoarce în $f^{- 1} (0) = a$ . Unitatea structurii, neutrul celei de-a doua legi, este $a + 1$ , deci cele două elemente speciale nu coincid niciodată.

Ce elemente inversabile are pe $Z$ structura transportată?

Doar $a - 1$ și $a + 1$ . Prin funcția $f (x) = x - a$ ele ajung în $- 1$ și $1$ , singurele numere întregi cu invers întreg. Structura obținută pe $Z$ este așadar inel, dar nu corp, spre deosebire de cea construită pe $R$ .

Prin ce se deosebesc două inele care nu sunt izomorfe?

Prin cel puțin un invariant: numărul de elemente, comutativitatea înmulțirii, existența divizorilor lui zero sau câte elemente inversabile au. Se alege trăsătura care se citește cel mai ușor și se arată că valorile ei diferă, ceea ce închide problema.

Oamenii mai întreabă și: morfism de inele · transport de structură · legile x plus y minus a · izomorfism de inele · de ce se cere f de 1 egal 1