Mulțimea $$A=\left\{\dfrac{5n-2}{n+1}\ \middle\vert\ n\in\mathbb{N}^{*}\right\}$$ este inclusă în intervalul:

$$\left[\dfrac{3}{2},\,5\right)$$

$$\left[\dfrac{5}{2},\,5\right)$$

$$\left(\dfrac{3}{2},\,5\right]$$

$$\left[\dfrac{3}{2},\,5\right]$$

Care dintre următoarele mulțimi nu este mărginită?

$$\left\{\dfrac{n^2}{n+1}\ \middle\vert\ n\in\mathbb{N}^{*}\right\}$$

$$\left\{\dfrac{2n}{n+1}\ \middle\vert\ n\in\mathbb{N}^{*}\right\}$$

$$\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\le5\}$$

$$\{(-1)^n\mid n\in\mathbb{N}^{*}\}$$

Pentru a demonstra că o mulțime $$B$$ nu este majorată, trebuie să arăți că:

pentru orice $$M\in\mathbb{R}$$ există $$x\in B$$ cu $$x>M$$

există $$x\in B$$ cu $$x>10^{100}$$

există $$M\in\mathbb{R}$$ astfel încât $$x>M$$ pentru orice $$x\in B$$

$$B$$ conține elemente oricât de apropiate de $$0$$

Ce înseamnă o mulțime mărginită?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Mulțimi mărginite și nemărginite

Este mărginită atunci când toate elementele ei încap într-un interval de lungime finită, adică există două numere între care stau toate. Formal, se cere un $M > 0$ cu $∣ x ∣ \leq M$ pentru orice element $x$ . Intervalul $(2, 7)$ este mărginit, la fel mulțimea valorilor $\frac{n}{n + 1}$ ; mulțimea numerelor naturale nu este, fiindcă depășește orice prag ales dinainte.

Analiza matematică începe cu o întrebare despre bariere. Un număr $M$ este majorant al mulțimii nevide $A \subseteq R$ dacă $x \leq M$ pentru orice $x \in A$ , iar $m$ este minorant dacă $m \leq x$ pentru orice $x \in A$ . Majoranții nu sunt unici și nu aparțin obligatoriu mulțimii: pentru $A = (0, 1)$ , numărul $1$ este majorant, dar $1 \in / A$ . Mulțimea se numește majorată dacă are un majorant, minorată dacă are un minorant și mărginită dacă le are pe amândouă — echivalent, dacă $A \subseteq [m, M]$ sau, în forma cu modul, dacă există $M > 0$ cu $∣ x ∣ \leq M$ pentru orice $x \in A$ .

La mulțimile date printr-o fracție, tehnica standard este rescrierea $\frac{an + b}{c n + d} = \frac{a}{c} + \frac{k}{c n + d}$ : raportul devine o constantă plus ceva mic, iar încadrarea se citește dintr-o privire.

Nemărginirea nu se demonstrează cu un exemplu, ci cu o rețetă: pentru orice $M$ trebuie să produci un element al mulțimii mai mare decât $M$ . Este negația definiției, cu cuantificatorii schimbați între ei. Tot aici se rețin două proprietăți ale lui $R$ : conține numere pe care $Q$ nu le are (precum $2$ ), iar raționalele sunt dense — între oricare două numere reale distincte încap o infinitate de raționale și o infinitate de iraționale, deci pe axă nu există niciodată numărul următor.

De reținut

Mărginită $⟺ \exists M > 0$ astfel încât $∣ x ∣ \leq M$ pentru orice element
Mărginită superior $⟺$ are majoranți; mărginită inferior $⟺$ are minoranți
$N$ este mărginită inferior, dar nu superior

Greșeala tipică

Se caută un prag care să depindă de $n$ , de tipul „toți termenii sunt mai mici decât $n + 1$ ”. Pragul trebuie să fie un număr fix, valabil pentru toate elementele deodată, altfel condiția nu spune nimic.

Exerciții din această mini-lecție

Mulțimea $A = {\frac{5 n - 2}{n + 1} n \in N^{*}}$ este inclusă în intervalul:
- a) $[\frac{5}{2}, 5)$
- b) $[\frac{3}{2}, 5)$
- c) $(\frac{3}{2}, 5]$
- d) $[\frac{3}{2}, 5]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[\frac{3}{2}, 5)$

Rescriem $\frac{5 n - 2}{n + 1} = \frac{5 ( n + 1 ) - 7}{n + 1} = 5 - \frac{7}{n + 1}$ . Din $n \geq 1$ avem $n + 1 \geq 2$ , deci $0 < \frac{7}{n + 1} \leq \frac{7}{2}$ și $5 - \frac{7}{2} \leq x < 5$ , adică $\frac{3}{2} \leq x < 5$ . Capătul $\frac{3}{2}$ se atinge la $n = 1$ (deci paranteză închisă), iar $5$ nu se atinge niciodată (deci paranteză deschisă).
Care dintre următoarele mulțimi nu este mărginită?
- a) ${\frac{2 n}{n + 1} n \in N^{*}}$
- b) ${x \in R ∣ x^{2} \leq 5}$
- c) ${(- 1)^{n} ∣ n \in N^{*}}$
- d) ${\frac{n ^{2}}{n + 1} n \in N^{*}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) ${\frac{n ^{2}}{n + 1} n \in N^{*}}$

Din $\frac{n ^{2}}{n + 1} > \frac{n ^{2}}{2 n} = \frac{n}{2}$ pentru $n \geq 1$ , elementele depășesc orice prag $M$ (alegem $n > 2 M$ ), deci mulțimea nu este majorată. Celelalte trei sunt mărginite: $0 < \frac{2 n}{n + 1} < 2$ , apoi ${x \in R ∣ x^{2} \leq 5} = [- 5, 5]$ , iar a treia are doar elementele $- 1$ și $1$ .
Pentru a demonstra că o mulțime $B$ nu este majorată, trebuie să arăți că:
- a) pentru orice $M \in R$ există $x \in B$ cu $x > M$
- b) există $x \in B$ cu $x > 1 0^{100}$
- c) există $M \in R$ astfel încât $x > M$ pentru orice $x \in B$
- d) $B$ conține elemente oricât de apropiate de $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) pentru orice $M \in R$ există $x \in B$ cu $x > M$

„ $B$ este majorată” înseamnă „există $M$ astfel încât $x \leq M$ pentru orice $x \in B$ ”; negația schimbă cuantificatorii între ei și strictează inegalitatea. Varianta b) nu spune nimic: și mulțimea $[0, 1 0^{200}]$ conține un astfel de element, dar este mărginită. Varianta c) este chiar definiția minorării, nu negația majorării.

Întrebări conexe

Câți majoranți are o mulțime mărginită superior?

O infinitate: dacă un număr este majorant, atunci orice număr mai mare decât el este tot majorant. Dintre toți aceștia, interesează cel mai mic, care poartă numele de margine superioară.

Ce mulțimi de numere reale sunt mărginite doar inferior?

Cele care au un prag de jos, dar cresc oricât de mult, cum sunt numerele naturale sau intervalul $[3, + \infty)$ . Pentru ele se poate vorbi despre margine inferioară, dar nu și despre una superioară.

Este mărginită mulțimea numerelor naturale?

Nu este mărginită superior: oricare ar fi pragul ales, se găsește un număr natural mai mare decât el. Este însă mărginită inferior de $0$ , care este chiar cel mai mic element al ei.

Cum arăt că o mulțime dată prin inegalități este mărginită?

Prelucrezi inegalitățile până obții o încadrare de forma $a \leq x \leq b$ cu numere fixe. Dacă mulțimea este descrisă printr-o expresie cu $n$ , se majorează și se minorează acea expresie, fără ca marginile să depindă de $n$ .

Ce înseamnă că un interval este mărginit?

Că amândouă capetele lui sunt numere reale, indiferent dacă sunt sau nu incluse. Intervalele care conțin simbolul infinit nu sunt mărginite de acea parte, oricât de departe ar începe.

Poate o mulțime infinită să fie mărginită?

Da, iar exemplul cel mai simplu este intervalul $(0, 1)$ , care are o infinitate de elemente strânse între două praguri. Numărul elementelor și mărginirea sunt proprietăți independente una de alta.

Oamenii mai întreabă și: mulțime mărginită · mulțime mărginită superior și inferior · ce înseamnă mărginit la mulțimi de numere · mulțime nemărginită exemplu