Cum aflu mulțimea valorilor unei parabole?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Mulțimea valorilor: semidreapta mărginită de vârf

Calculezi vârful: abscisa lui este $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ , iar ordonata $y_{V} = f (x_{V})$ . Pe toată axa reală, dacă $a > 0$ valorile pornesc de la $y_{V}$ în sus, deci imaginea este $[y_{V}, \infty)$ ; dacă $a < 0$ , ele coboară de la $y_{V}$ , deci imaginea este $(- \infty, y_{V}]$ . Capătul se scrie închis, fiindcă vârful chiar se atinge. Pentru $x^{2} - 6 x + 11$ obții $[2, \infty)$ .

Mulțimea valorilor (imaginea) unei funcții $f : D \to R$ este $Im f = {f (x) ∣ x \in D}$ — valorile efectiv atinse, nu tot codomeniul. Pentru $f (x) = a x^{2} + b x + c$ cu $a \neq = 0$ , pe $R$ rezultatul este o semidreaptă mărginită de ordonata vârfului $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ : dacă $a > 0$ , $Im f = [y_{V}, \infty)$ ; dacă $a < 0$ , $Im f = (- \infty, y_{V}]$ . Capătul este închis, pentru că $y_{V}$ se atinge exact în $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ . Se demonstrează prin dublă incluziune, plecând de la forma canonică $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ . Un fapt-cheie: $m \in Im f$ dacă și numai dacă ecuația $f (x) = m$ are soluții reale — de aici discuția „câte soluții” (zero, una sau două, după poziția lui $m$ față de $y_{V}$ ). Pe un interval $[p, q]$ , procedura are trei pași: verifici dacă $x_{V} \in [p, q]$ , calculezi $f (p)$ , $f (q)$ și, dacă e cazul, $y_{V}$ , apoi combini folosind monotonia pe fiecare bucată — dacă vârful e înăuntru, el dă o margine, iar cel mai depărtat capăt dă cealaltă. La capete excluse, o valoare poate rămâne totuși în imagine dacă e atinsă în alt punct al domeniului, prin simetria parabolei față de $x_{V}$ .

De reținut

$x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ , $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$
$a > 0$ : $Im f = [y_{V}, \infty)$ ; $a < 0$ : $(- \infty, y_{V}]$
capătul este închis, fiindcă vârful se atinge

Greșeala tipică

Se ia drept margine termenul liber, adică valoarea în zero, în loc de ordonata vârfului; marginea imaginii se citește mereu din vârf, nu din tăietura cu axa verticală.

Exerciții din această mini-lecție

Determinați mulțimea valorilor funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 6 x + 11$ .
- a) $[2, \infty)$
- b) $(2, \infty)$
- c) $(- \infty, 2]$
- d) $[11, \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[2, \infty)$

Avem $a = 1 > 0$ , deci funcția are minim. $x_{V} = - \frac{- 6}{2} = 3$ și $y_{V} = f (3) = 9 - 18 + 11 = 2$ . Deci $Im f = [2, \infty)$ , cu paranteză dreaptă, pentru că valoarea $2$ este efectiv atinsă în $x = 3$ . Varianta b) greșește tipul parantezei (ar însemna că $2$ nu se atinge niciodată); c) inversează direcția semidreptei, ceea ce s-ar întâmpla doar dacă $a < 0$ ; d) confundă ordonata vârfului cu termenul liber $c = 11$ .
Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = - x^{2} + 4 x - 1$ . Care dintre următoarele numere nu este valoare a funcției?
- a) $3$
- b) $4$
- c) $2$
- d) $- 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4$

Avem $a = - 1 < 0$ , deci funcția are maxim. $x_{V} = - \frac{4}{- 2} = 2$ și $y_{V} = f (2) = - 4 + 8 - 1 = 3$ , deci $Im f = (- \infty, 3]$ . Numărul $4 > 3$ nu poate fi atins: din $- x^{2} + 4 x - 1 = 4$ obținem $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ , cu $Δ = 16 - 20 = - 4 < 0$ , fără soluții reale. Celelalte trei numere sunt $\leq 3$ și aparțin imaginii: $3$ este chiar $y_{V}$ (atins în $x = 2$ ); pentru $2$ , ecuația $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ are $Δ = 4 > 0$ ; pentru $- 1$ , ecuația $x^{2} - 4 x - 2 = 0$ are $Δ = 24 > 0$ — deci ambele se ating.
Determinați mulțimea valorilor funcției $f : [0, 5] \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .
- a) $[- 3, 6]$
- b) $[1, 6]$
- c) $[- 3, 1]$
- d) $[- 3, 5]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[- 3, 6]$

Avem $a = 1 > 0$ și $x_{V} = 2 \in (0, 5)$ : vârful cade în interiorul intervalului, deci acolo se atinge cea mai mică valoare, $y_{V} = f (2) = 4 - 8 + 1 = - 3$ . La capete: $f (0) = 1$ și $f (5) = 25 - 20 + 1 = 6$ . Cea mai mare dintre valorile de la capete este $6$ , iar toate valorile intermediare sunt atinse. Deci $Im f = [- 3, 6]$ . Varianta b) ignoră vârful, c) ignoră capătul din dreapta, iar d) confundă valoarea $f (5) = 6$ cu capătul domeniului $5$ .

Întrebări conexe

Ce este ordonata vârfului și cum o calculez?

Este valoarea extremă a funcției, adică rezultatul obținut în punctul de simetrie. O afli fie înlocuind abscisa vârfului în formulă, fie direct cu $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ . Pentru $x^{2} - 6 x + 11$ ai $x_{V} = 3$ și $y_{V} = 2$ .

Ce valoare minimă are funcția x la pătrat minus 4x plus 7?

Coeficientul dominant este pozitiv, deci există minim. Abscisa vârfului este $2$ , iar valoarea acolo este $4 - 8 + 7 = 3$ . Prin completare de pătrat se vede la fel: $(x - 2)^{2} + 3$ , iar pătratul nu coboară sub zero. Minimul este $3$ , atins în $x = 2$ .

De ce parabola cu a negativ are valori doar sub un prag?

Ramurile se deschid în jos, deci funcția urcă până în vârf și apoi coboară la nesfârșit. Valoarea din vârf este cea mai mare pe care o atinge, iar orice număr aflat deasupra ei rămâne inaccesibil. De aceea imaginea este o semidreaptă care se oprește la ordonata vârfului.

Ce legătură are mulțimea valorilor cu surjectivitatea?

O funcție este surjectivă exact când imaginea ei umple tot codomeniul. Cum o funcție de gradul al doilea are drept imagine doar o semidreaptă, ea nu poate fi surjectivă de la numere reale la numere reale. Devine surjectivă dacă iei drept codomeniu chiar acea semidreaptă.

Cum folosesc mulțimea valorilor ca să arăt că o ecuație nu are soluții?

Un număr este valoare a funcției exact atunci când ecuația cu el în membrul drept are soluții. Dacă numărul cade în afara imaginii, ecuația nu are soluții reale. Pentru $- x^{2} + 4 x - 1$ imaginea se oprește la $3$ , deci egalitatea cu $4$ este imposibilă.

Oamenii mai întreabă și: imaginea funcției de gradul doi · mulțimea valorilor unei funcții pătratice · cum aflu Im f la o parabolă · valorile pe care le ia o parabolă