Mulțimea valorilor funcției de gradul al doilea

Un jet de apă dintr-o fântână arteziană urcă până la $9$ metri și apoi coboară. Dacă întrebi ce înălțimi atinge apa, răspunsul nu e „toate": nicio picătură nu ajunge la $12$ metri și niciuna nu coboară sub nivelul solului. Înălțimile efectiv atinse formează un interval bine delimitat, de la $0$ la $9$ metri — și acest interval este, în limbaj matematic, mulțimea valorilor funcției care descrie jetul.

Întrebarea „care valori sunt atinse și care nu?" apare peste tot. Un termostat nu poate coborî temperatura sub o anumită limită; un motor nu poate depăși o turație; un magazin nu poate obține orice venit, oricât ar manevra prețul. La funcția de gradul al doilea, răspunsul are o formă surprinzător de simplă și de elegantă: valorile umplu exact o semidreaptă, mărginită de ordonata vârfului. Toate instrumentele de care ai nevoie le ai deja — vârful, din lecția despre parabolă: vârf, axă de simetrie, ramuri, și valoarea extremă, din lecția despre monotonia și valoarea extremă.

Ce vei învăța

Vei ști ce înseamnă mulțimea valorilor (imaginea) unei funcții și cum se deosebește de codomeniu.
Vei ști să determini $Im f$ pe $R$ : $[y_{V}, \infty)$ dacă $a > 0$ și $(- \infty, y_{V}]$ dacă $a < 0$ .
Vei ști să demonstrezi acest rezultat, prin dublă incluziune, nu doar să-l aplici.
Vei ști să citești mulțimea valorilor direct pe grafic, proiectând curba pe axa $O y$ .
Vei ști să determini $Im f$ când funcția este definită pe un interval, cu atenție la capete închise sau deschise.
Vei ști să decizi, în funcție de $m$ , câte soluții are ecuația $f (x) = m$ .

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă mulțimea valorilor

Reamintim, din lecția despre noțiunea de funcție: pentru $f : D \to C$ , mulțimea valorilor (sau imaginea funcției) este

$Im f = {f (x) ∣ x \in D},$

adică mulțimea tuturor valorilor pe care funcția le atinge efectiv. Ea este întotdeauna o submulțime a codomeniului, dar nu neapărat egală cu el: codomeniul este mulțimea în care pot cădea valorile, imaginea este mulțimea în care ele chiar cad.

Un exemplu simplu, ca să fixăm distincția. Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ , are codomeniul $R$ , dar valorile ei sunt toate nenegative: $Im f = [0, \infty)$ . Numărul $- 4$ aparține codomeniului, dar nu este atins de nimeni — ecuația $x^{2} = - 4$ nu are soluții reale.

De aici iese și metoda generală, valabilă la orice funcție: $m \in Im f$ dacă și numai dacă ecuația $f (x) = m$ are cel puțin o soluție în domeniu. Tot ce urmează în lecție este aplicarea acestei idei la parabolă.

2. Rezultatul principal, pe $R$

Teoremă. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = a x^{2} + b x + c$ cu $a \neq = 0$ , și fie $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ ordonata vârfului. Atunci:

$Im f = {[y_{V}, \infty), (- \infty, y_{V}], dac \overset{a}{˘} a > 0 dac \overset{a}{˘} a < 0.$

Cu alte cuvinte, valorile funcției umplu tot intervalul de la valoarea extremă până la infinit, în direcția în care se deschid ramurile. Nimic dincolo de vârf, dar absolut totul de partea cealaltă.

Demonstrație (cazul $a > 0$ ; celălalt e identic, cu inegalitățile inversate). Folosim forma canonică $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ și arătăm două incluziuni.

Incluziunea $Im f \subseteq [y_{V}, \infty)$ . Pentru orice $x$ real, $(x - x_{V})^{2} \geq 0$ , iar $a > 0$ , deci $a (x - x_{V})^{2} \geq 0$ și prin urmare $f (x) \geq y_{V}$ . Așadar nicio valoare a funcției nu coboară sub $y_{V}$ .

Incluziunea $[y_{V}, \infty) \subseteq Im f$ . Fie $m \geq y_{V}$ oarecare. Căutăm un $x$ cu $f (x) = m$ :

$a (x - x_{V})^{2} + y_{V} = m ⟺ (x - x_{V})^{2} = \frac{m - y _{V}}{a} .$

Membrul drept este un raport de două numere nenegative ( $m - y_{V} \geq 0$ prin ipoteză, $a > 0$ ), deci este nenegativ și admite radical. Rezultă

$x = x_{V} + \frac{m - y _{V}}{a},$

un număr real perfect determinat. Deci orice $m \geq y_{V}$ este atins.

Cele două incluziuni dau egalitatea. $■$

Observă ce a demonstrat, de fapt, partea a doua: nu doar că valorile nu sar peste nimic, ci și cum găsești argumentul care produce o valoare cerută. Este exact procedura pe care o vei folosi la exerciții.

3. Citirea pe grafic

Geometric, mulțimea valorilor este umbra graficului pe axa $O y$ . Imaginează-ți că trimiți raze orizontale dinspre curbă spre axa verticală: porțiunea de axă luminată este $Im f$ .

Pentru o parabolă cu ramuri în sus, umbra începe în dreptul vârfului și urcă la nesfârșit — de unde intervalul $[y_{V}, \infty)$ . Pentru ramuri în jos, umbra pornește de sus și coboară până în dreptul vârfului, adică $(- \infty, y_{V}]$ . Faptul că vârful aparține mulțimii (paranteză dreaptă, nu rotundă) vine din aceea că valoarea $y_{V}$ este efectiv atinsă, în $x = x_{V}$ .

Această citire este exact tipul de lectură grafică exersat la graficul unei funcții: domeniul se citește ca umbră pe orizontală, imaginea ca umbră pe verticală.

4. Ecuația $f (x) = m$ și numărul soluțiilor

Rezultatul de mai sus se traduce imediat într-o discuție de tip „câte soluții". Grafic, soluțiile ecuației $f (x) = m$ sunt abscisele punctelor în care dreapta orizontală $y = m$ taie parabola. Pentru $a > 0$ :

Poziția lui $m$	Dreapta $y = m$	Număr de soluții
$m < y_{V}$	trece pe sub vârf	$0$
$m = y_{V}$	atinge vârful	$1$
$m > y_{V}$	taie ambele ramuri	$2$

Pentru $a < 0$ tabelul se răstoarnă: zero soluții pentru $m > y_{V}$ , una pentru $m = y_{V}$ , două pentru $m < y_{V}$ .

Rezultatul se regăsește și algebric, prin discriminant, dar citirea grafică este mai rapidă și mai greu de greșit. Exemplu: pentru $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ avem $V (2, 3)$ și $a > 0$ , deci $Im f = [3, \infty)$ . Ecuația $f (x) = 2$ nu are soluții (căci $2 < 3$ ), ecuația $f (x) = 3$ are exact una ( $x = 2$ ), iar $f (x) = 10$ are două — într-adevăr, $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ are $Δ = 28 > 0$ .

5. Mulțimea valorilor pe un interval

Când funcția este restrânsă la un interval $[p, q]$ , mulțimea valorilor se schimbă, iar totul depinde de poziția vârfului. Procedura are trei pași și funcționează întotdeauna:

calculezi $x_{V}$ și verifici dacă aparține intervalului;
calculezi valorile la capete, $f (p)$ și $f (q)$ , și, dacă e cazul, $y_{V}$ ;
combini rezultatele știind că funcția e monotonă pe fiecare bucată.

Cazul „vârful înăuntru", $p < x_{V} < q$ , cu $a > 0$ . Funcția coboară până la $y_{V}$ , apoi urcă. Cea mai mică valoare este $y_{V}$ , cea mai mare este $max {f (p), f (q)}$ , iar toate valorile intermediare sunt atinse:

$Im f = [y_{V}, max {f (p), f (q)}] .$

Cazul „vârful în afară". Intervalul e cuprins integral într-o ramură, deci funcția e monotonă pe el, iar imaginea este intervalul dintre valorile de la capete: $[f (p), f (q)]$ dacă e crescătoare, $[f (q), f (p)]$ dacă e descrescătoare.

Exemplu. $f : [0, 3] \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ . Avem $x_{V} = 1 \in (0, 3)$ și $y_{V} = f (1) = 1 - 2 - 3 = - 4$ ; la capete, $f (0) = - 3$ și $f (3) = 9 - 6 - 3 = 0$ . Cea mai mare dintre valorile de la capete este $0$ , deci $Im f = [- 4, 0]$ .

Exemplu. $f : [2, 5] \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ . Aici $x_{V} = 2$ este chiar capătul din stânga, deci funcția este crescătoare pe tot intervalul. Cu $f (2) = - 3$ și $f (5) = 25 - 20 + 1 = 6$ , obținem $Im f = [- 3, 6]$ .

6. Capete deschise: unde dispar parantezele drepte

Aici e locul unde se pierd cele mai multe puncte. Dacă un capăt al domeniului este exclus, valoarea corespunzătoare poate să lipsească din imagine — dar numai dacă nu este atinsă altundeva.

Exemplu instructiv. $f : (0, 3) \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x$ . Vârful $x_{V} = 1$ aparține intervalului, cu $y_{V} = f (1) = - 1$ ; capetele ar da $f (0) = 0$ și $f (3) = 3$ , dar ambele sunt excluse din domeniu.

Valoarea $- 1$ este atinsă, în $x = 1$ , deci intră în imagine cu paranteză dreaptă.
Valoarea $3$ nu este atinsă: singurul argument care ar da-o este $x = 3$ , care nu aparține domeniului. Deci capătul din dreapta rămâne deschis.
Valoarea $0$ , în schimb, este atinsă — dar nu în $x = 0$ , ci în $x = 2$ , care aparține domeniului! Verificare: $f (2) = 4 - 4 = 0$ ✓.

Rezultatul final este $Im f = [- 1, 3)$ . Morala: nu decide niciodată deschiderea unui capăt din reflex, ci verifică dacă valoarea respectivă e atinsă de vreun argument din domeniu — simetria parabolei oferă adesea o a doua șansă.

7. Probleme cu parametru

Cerințele tipice traduc o condiție despre imagine într-o ecuație privind $y_{V}$ .

Exemplu. Determinăm $m$ astfel încât valoarea minimă a funcției $f (x) = x^{2} - 6 x + m$ să fie $5$ . Cum $a = 1 > 0$ , valoarea minimă este $y_{V} = f (x_{V})$ , cu $x_{V} = 3$ . Deci $f (3) = 9 - 18 + m = m - 9$ , iar condiția $m - 9 = 5$ dă $m = 14$ . Într-adevăr, $f (x) = x^{2} - 6 x + 14$ are $Δ = 36 - 56 = - 20$ și $y_{V} = - \frac{- 20}{4} = 5$ ✓, deci $Im f = [5, \infty)$ .

Exemplu. Determinăm valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $x^{2} - 4 x + 7 = m$ are soluții reale. Ecuația are soluții exact atunci când $m \in Im f = [3, \infty)$ , deci $m \geq 3$ . (Verificare prin discriminant: $x^{2} - 4 x + 7 - m = 0$ are $Δ = 16 - 4 (7 - m) = 4 m - 12 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 3$ ✓ — aceeași condiție, obținută pe două drumuri.)

8. De ce contează în practică

Mulțimea valorilor răspunde la întrebări foarte concrete. Într-o seră, temperatura evoluează după $T (t) = - t^{2} + 12 t + 4$ pe parcursul a zece ore. Vârful e la $t = 6$ , cu $T (6) = - 36 + 72 + 4 = 40$ ; la capete, $T (0) = 4$ și $T (10) = - 100 + 120 + 4 = 24$ . Temperaturile efectiv înregistrate formează intervalul $[4, 40]$ — informație directă pentru cine trebuie să aleagă plantele potrivite sau să dimensioneze aerisirea.

La fel, jetul fântânii cu $f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x$ pe $[0, 12]$ are $V (6, 9)$ și $f (0) = f (12) = 0$ , deci $Im f = [0, 9]$ : apa atinge toate înălțimile între sol și $9$ metri, dar niciuna peste. Cine proiectează bazinul știe exact cât spațiu trebuie lăsat deasupra.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Imaginea pe $R$ , ramuri în sus

Determinați mulțimea valorilor funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ .

Rezolvare. $a = 1 > 0$ , deci funcția are minim și ramurile sunt în sus.

$x_{V} = - \frac{- 4}{2} = 2, y_{V} = f (2) = 4 - 8 + 7 = 3.$

Prin urmare $Im f = [3, \infty)$ .

Verificare prin formă canonică: $f (x) = (x - 2)^{2} + 3$ , iar $(x - 2)^{2}$ parcurge exact $[0, \infty)$ când $x$ parcurge $R$ ; adunând $3$ , valorile parcurg $[3, \infty)$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Imaginea pe $R$ , ramuri în jos

Determinați mulțimea valorilor funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - x^{2} + 2 x + 8$ , și precizați dacă numerele $9$ și $10$ sunt valori ale funcției.

Rezolvare. $a = - 1 < 0$ , deci funcția are maxim. $x_{V} = - \frac{2}{- 2} = 1$ și $y_{V} = f (1) = - 1 + 2 + 8 = 9$ .

Deci $Im f = (- \infty, 9]$ .

Numărul $9$ este valoare a funcției: $9 = y_{V}$ , atinsă în $x = 1$ . Numărul $10$ nu este: $10 > 9$ , deci se află în afara imaginii, iar ecuația $- x^{2} + 2 x + 8 = 10$ , adică $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ , are $Δ = 4 - 8 = - 4 < 0$ , deci nu are soluții reale ✓. $■$

Exemplul 3 — Imagine pe interval, cu vârful înăuntru

Determinați mulțimea valorilor funcției $f : [1, 4] \to R$ , $f (x) = - x^{2} + 4 x + 2$ .

Rezolvare. $a = - 1 < 0$ și $x_{V} = - \frac{4}{- 2} = 2 \in (1, 4)$ : vârful cade în interiorul intervalului, deci acolo se atinge cea mai mare valoare.

$y_{V} = f (2) = - 4 + 8 + 2 = 6, f (1) = - 1 + 4 + 2 = 5, f (4) = - 16 + 16 + 2 = 2.$

Funcția crește de la $5$ la $6$ pe $[1, 2]$ și coboară de la $6$ la $2$ pe $[2, 4]$ . Cea mai mică valoare este $2$ , cea mai mare este $6$ , iar toate valorile intermediare sunt atinse. Deci

$Im f = [2, 6] .$

Atenție: minimul nu este în vârf, ci într-un capăt — pe intervale mărginite, capetele decid întotdeauna una dintre margini. $■$

Exemplul 4 — Imagine pe interval, cu vârful în afară

Determinați mulțimea valorilor funcției $f : [- 1, 1] \to R$ , $f (x) = - x^{2} + 4 x + 2$ .

Rezolvare. Aceeași lege ca la exemplul precedent, dar alt domeniu. Vârful are $x_{V} = 2 \in / [- 1, 1]$ , deci intervalul este în întregime la stânga vârfului. Cum $a < 0$ , funcția este strict crescătoare pe $(- \infty, 2]$ , deci și pe $[- 1, 1]$ .

$f (- 1) = - 1 - 4 + 2 = - 3, f (1) = - 1 + 4 + 2 = 5.$

Fiind crescătoare, funcția pornește de la $- 3$ și urcă până la $5$ , trecând prin toate valorile intermediare:

$Im f = [- 3, 5] . ■$

Exemplul 5 — Capete deschise

Determinați mulțimea valorilor funcției $f : (0, 3) \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x$ .

Rezolvare. $a = 1 > 0$ , $x_{V} = 1 \in (0, 3)$ , $y_{V} = f (1) = - 1$ . Capetele domeniului sunt excluse; valorile „de la capete" ar fi $f (0) = 0$ și $f (3) = 3$ .

Analizăm fiecare margine:

$- 1$ este atinsă efectiv, în $x = 1 \in (0, 3)$ , deci face parte din imagine;
$3$ ar proveni doar din $x = 3$ , exclus din domeniu — și, prin simetrie față de $x_{V} = 1$ , celălalt argument care ar da $3$ este $x = - 1$ , tot în afara domeniului. Deci $3 \in / Im f$ ;
valorile strict între $- 1$ și $3$ sunt toate atinse, pe una dintre ramuri.

Prin urmare $Im f = [- 1, 3)$ .

Observație utilă: valoarea $0$ , care „ar fi venit" din capătul exclus $x = 0$ , este totuși atinsă — în $x = 2$ , căci $f (2) = 4 - 4 = 0$ . Simetria parabolei salvează adesea o valoare pe care ai fi eliminat-o în grabă. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 6 x + 14$ . a) Scrieți $f$ sub formă canonică. b) Determinați mulțimea valorilor funcției $f$ . c) Determinați numărul real $m$ pentru care ecuația $f (x) = m$ are exact o soluție reală.

Rezolvare. a) $x^{2} - 6 x + 14 = (x^{2} - 6 x + 9) + 5 = (x - 3)^{2} + 5$ .

b) Cum $(x - 3)^{2} \geq 0$ pentru orice $x$ , avem $f (x) \geq 5$ , iar valoarea $5$ se atinge pentru $x = 3$ . Reciproc, orice $m \geq 5$ este atins: din $(x - 3)^{2} = m - 5 \geq 0$ rezultă $x = 3 + m - 5$ . Deci $Im f = [5, \infty)$ .

c) Ecuația $f (x) = m$ se scrie $(x - 3)^{2} = m - 5$ . Ea are exact o soluție când membrul drept este zero, adică pentru $m = 5$ (soluția fiind $x = 3$ ). Pentru $m > 5$ are două soluții, iar pentru $m < 5$ niciuna.

Verificare prin discriminant: $x^{2} - 6 x + 14 - m = 0$ are $Δ = 36 - 4 (14 - m) = 4 m - 20$ , iar $Δ = 0$ dă $m = 5$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Începe fiecare exercițiu cu semnul lui $a$ și cu vârful — mulțimea valorilor se scrie apoi aproape singură.

1. Determină mulțimea valorilor pentru $f : R \to R$ : a) $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ ; b) $f (x) = - x^{2} + 2 x + 8$ ; c) $f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 7$ ; d) $f (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 1$ .

2. Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ , precizează care dintre numerele $2$ , $3$ și $10$ aparțin mulțimii valorilor. Justifică fiecare răspuns.

3. Determină mulțimea valorilor funcției $f : [0, 3] \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

4. Determină mulțimea valorilor funcției $f : [2, 5] \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .

5. Determină mulțimea valorilor funcției $f : [- 1, 1] \to R$ , $f (x) = - x^{2} + 4 x + 2$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea valorilor oricărei funcții de gradul al doilea definite pe $R$ este $R$ ."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a > 0$ , atunci $Im f = [- \frac{Δ}{4 a}, \infty)$ ."

8. Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ , discută numărul de soluții ale ecuației $f (x) = m$ după valorile parametrului real $m$ .

9. Determină mulțimea valorilor și cea mai mare valoare a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 3$ .

10. Determină numărul real $m$ pentru care valoarea minimă a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 6 x + m$ , este egală cu $5$ . Scrie apoi mulțimea valorilor.

11. (Problemă aplicată.) Jetul unei fântâni urmează curba $f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x$ pentru $x \in [0, 12]$ (metri). Determină mulțimea înălțimilor atinse de apă și explică ce înseamnă practic capetele intervalului.

12. Determină mulțimea valorilor funcției $f : (0, 3) \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x$ . Atenție la capetele excluse.

13. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $x^{2} - 4 x + 7 = m$ are soluții reale. Rezolvă în două moduri: prin mulțimea valorilor și prin discriminant.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 6 x + 14$ . a) Scrie $f$ sub formă canonică. b) Determină $Im f$ . c) Determină numărul real $m$ pentru care ecuația $f (x) = m$ are exact o soluție reală.

15. Determină numărul real $b$ știind că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + b x + 3$ , are mulțimea valorilor $[- 1, \infty)$ .

16. (Problemă aplicată.) Temperatura dintr-o seră, în grade Celsius, este $T (t) = - t^{2} + 12 t + 4$ , unde $t \in [0, 10]$ este timpul în ore de la răsărit. a) Determină temperatura maximă și ora la care se atinge. b) Determină mulțimea temperaturilor înregistrate. c) A fost vreodată în seră exact $30$ de grade?

17. Determină mulțimea valorilor funcției $f : [1, 4] \to R$ , $f (x) = - x^{2} + 4 x + 2$ , și compară rezultatul cu cel de la exercițiul 5. Ce concluzie tragi despre rolul domeniului?

18. (Provocare.) a) Demonstrează, prin dublă incluziune, că pentru $a < 0$ avem $Im f = (- \infty, y_{V}]$ . b) Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ , determină $Im f$ , apoi arată că ecuația $f (x) = 1$ nu are soluții reale, iar ecuația $f (x) = 6$ are exact două. c) Explică de ce, pentru orice $m$ din interiorul mulțimii valorilor, cele două soluții ale ecuației $f (x) = m$ sunt simetrice față de $x_{V}$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) $x_{V} = 2$ , $y_{V} = 3$ , $a > 0$ : $Im f = [3, \infty)$ . b) $x_{V} = 1$ , $y_{V} = 9$ , $a < 0$ : $Im f = (- \infty, 9]$ . c) $x_{V} = 1$ , $y_{V} = 2 - 4 + 7 = 5$ , $a > 0$ : $Im f = [5, \infty)$ . d) $x_{V} = 1$ , $y_{V} = - 3 + 6 + 1 = 4$ , $a < 0$ : $Im f = (- \infty, 4]$ .

2. $Im f = [3, \infty)$ . Numărul $2$ nu aparține ( $2 < 3$ ): ecuația $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ are $Δ = 16 - 20 = - 4 < 0$ . Numărul $3$ aparține: este chiar $y_{V}$ , atins în $x = 2$ . Numărul $10$ aparține: $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ are $Δ = 16 + 12 = 28 > 0$ , deci există soluții reale.

3. $x_{V} = 1 \in (0, 3)$ , $y_{V} = f (1) = - 4$ ; $f (0) = - 3$ , $f (3) = 0$ . Cea mai mare valoare la capete este $0$ , deci $Im f = [- 4, 0]$ .

4. $x_{V} = 2$ coincide cu capătul din stânga, deci funcția este strict crescătoare pe $[2, 5]$ . Cu $f (2) = - 3$ și $f (5) = 6$ , rezultă $Im f = [- 3, 6]$ .

5. $x_{V} = 2 \in / [- 1, 1]$ , iar $a < 0$ , deci pe $(- \infty, 2]$ funcția este crescătoare — în particular pe $[- 1, 1]$ . Cu $f (- 1) = - 3$ și $f (1) = 5$ : $Im f = [- 3, 5]$ .

6. Fals. Valorile sunt mărginite într-o direcție: pentru $a > 0$ nicio valoare nu coboară sub $y_{V}$ , iar pentru $a < 0$ niciuna nu urcă peste $y_{V}$ . Contraexemplu: $f (x) = x^{2} + 1$ are $Im f = [1, \infty) \neq = R$ , căci $0$ nu este atins.

7. Adevărat. Este chiar teorema lecției: pentru $a > 0$ , imaginea este $[y_{V}, \infty)$ , iar $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ . Demonstrația se face prin dublă incluziune, pornind de la forma canonică.

8. $V (2, 3)$ și $a > 0$ . Pentru $m < 3$ : nicio soluție (dreapta $y = m$ trece pe sub vârf). Pentru $m = 3$ : exact o soluție, $x = 2$ . Pentru $m > 3$ : două soluții distincte, simetrice față de $x = 2$ .

9. $a = - 2 < 0$ , $x_{V} = - \frac{8}{- 4} = 2$ , $y_{V} = f (2) = - 8 + 16 - 3 = 5$ . Deci $Im f = (- \infty, 5]$ , iar cea mai mare valoare a funcției este $5$ , atinsă în $x = 2$ .

10. $a = 1 > 0$ , $x_{V} = 3$ , iar valoarea minimă este $f (3) = 9 - 18 + m = m - 9$ . Condiția $m - 9 = 5$ dă $m = 14$ , deci $f (x) = x^{2} - 6 x + 14$ și $Im f = [5, \infty)$ .

11. $x_{V} = 6 \in [0, 12]$ , $y_{V} = f (6) = - 9 + 18 = 9$ ; la capete, $f (0) = 0$ și $f (12) = - 36 + 36 = 0$ . Deci $Im f = [0, 9]$ . Practic: apa pleacă de la nivelul solului ( $0$ ), urcă până la $9$ m — înălțimea maximă a jetului — și revine la sol; toate înălțimile intermediare sunt atinse, câte o dată la urcare și o dată la coborâre.

12. $x_{V} = 1 \in (0, 3)$ și $y_{V} = - 1$ , atinsă efectiv, deci capătul din stânga este închis. Valoarea $3$ ar veni doar din $x = 3$ (sau, prin simetrie, din $x = - 1$ ), ambele în afara domeniului, deci capătul din dreapta rămâne deschis. Toate valorile din $(- 1, 3)$ sunt atinse. Rezultă $Im f = [- 1, 3)$ . (Valoarea $0$ este atinsă în $x = 2$ , deși capătul $x = 0$ e exclus.)

13. Prin mulțimea valorilor: ecuația are soluții exact când $m \in Im f = [3, \infty)$ , deci $m \geq 3$ . Prin discriminant: $x^{2} - 4 x + 7 - m = 0$ are $Δ = 16 - 4 (7 - m) = 4 m - 12$ , iar condiția $Δ \geq 0$ dă $m \geq 3$ . Aceeași soluție, $m \in [3, \infty)$ .

14. a) $f (x) = (x - 3)^{2} + 5$ . b) $(x - 3)^{2} \geq 0$ dă $f (x) \geq 5$ , iar orice $m \geq 5$ este atins prin $x = 3 + m - 5$ ; deci $Im f = [5, \infty)$ . c) Ecuația $(x - 3)^{2} = m - 5$ are exact o soluție când $m - 5 = 0$ , adică $m = 5$ (soluția $x = 3$ , chiar vârful).

15. $a = 1 > 0$ , deci $Im f = [y_{V}, \infty)$ , iar condiția devine $y_{V} = - 1$ . Cu $x_{V} = - \frac{b}{2}$ : $y_{V} = f (- \frac{b}{2}) = \frac{b ^{2}}{4} - \frac{b ^{2}}{2} + 3 = 3 - \frac{b ^{2}}{4}$ . Din $3 - \frac{b ^{2}}{4} = - 1$ rezultă $b^{2} = 16$ , deci $b = 4$ sau $b = - 4$ . Verificare pentru $b = 4$ : $f (x) = x^{2} + 4 x + 3$ , cu $x_{V} = - 2$ și $f (- 2) = 4 - 8 + 3 = - 1$ ✓.

16. a) $t_{V} = - \frac{12}{- 2} = 6$ și $T (6) = - 36 + 72 + 4 = 40$ : temperatura maximă este de $40$ °C, atinsă la $6$ ore după răsărit. b) La capete: $T (0) = 4$ și $T (10) = - 100 + 120 + 4 = 24$ . Vârful e înăuntru, deci cea mai mică valoare este $min {4, 24} = 4$ , iar cea mai mare este $40$ : $Im T = [4, 40]$ . c) Da: $30 \in [4, 40]$ , deci temperatura de $30$ °C a fost atinsă (de fapt de două ori — o dată la încălzire și o dată la răcire).

17. $x_{V} = 2 \in (1, 4)$ , $y_{V} = 6$ ; $f (1) = 5$ și $f (4) = 2$ . Deci $Im f = [2, 6]$ . La exercițiul 5, aceeași lege de calcul, pe $[- 1, 1]$ , dădea $[- 3, 5]$ . Concluzia: mulțimea valorilor depinde de domeniu, nu doar de formulă — schimbând domeniul, schimbi funcția și, odată cu ea, imaginea.

18. a) Fie $a < 0$ . Prima incluziune: pentru orice $x$ , $(x - x_{V})^{2} \geq 0$ și $a < 0$ , deci $a (x - x_{V})^{2} \leq 0$ și $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V} \leq y_{V}$ ; așadar $Im f \subseteq (- \infty, y_{V}]$ . A doua incluziune: fie $m \leq y_{V}$ . Ecuația $f (x) = m$ devine $(x - x_{V})^{2} = \frac{m - y _{V}}{a}$ , iar membrul drept este raportul a două numere negative sau nule, deci nenegativ; există atunci $x = x_{V} + \frac{m - y _{V}}{a} \in R$ cu $f (x) = m$ . Cele două incluziuni dau egalitatea. $■$

b) $x_{V} = 1$ , $y_{V} = f (1) = 1 - 2 + 3 = 2$ , $a > 0$ , deci $Im f = [2, \infty)$ . Ecuația $f (x) = 1$ nu are soluții, căci $1 < 2$ ; algebric, $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ are $Δ = 4 - 8 = - 4 < 0$ ✓. Ecuația $f (x) = 6$ are două soluții, căci $6 > 2$ ; algebric, $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ are $Δ = 16$ , cu soluțiile $x = 3$ și $x = - 1$ ✓.

c) Din forma canonică, $f (x) = m$ devine $(x - x_{V})^{2} = \frac{m - y _{V}}{a}$ , deci $x - x_{V} = \pm \frac{m - y _{V}}{a}$ . Cele două soluții sunt $x_{V}$ plus și minus același număr, adică sunt egal depărtate de $x_{V}$ — exact simetria față de axa de simetrie. Se vede și pe soluțiile $3$ și $- 1$ de mai sus: media lor este $1 = x_{V}$ ✓.

De reținut

Mulțimea valorilor $Im f = {f (x) ∣ x \in D}$ conține exact valorile atinse efectiv; ea este inclusă în codomeniu, dar poate fi strict mai mică.
Pe $R$ : $Im f = [y_{V}, \infty)$ dacă $a > 0$ și $Im f = (- \infty, y_{V}]$ dacă $a < 0$ , unde $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ . Capătul este inclus, pentru că $y_{V}$ este atins în $x_{V}$ .
$m \in Im f$ dacă și numai dacă ecuația $f (x) = m$ are soluții. De aici: pentru $a > 0$ , ecuația are zero, una sau două soluții după cum $m$ este sub, egal cu sau peste $y_{V}$ .
Pe un interval, imaginea se determină în trei pași: poziția lui $x_{V}$ față de interval, valorile la capete, apoi combinarea lor pe bucățile de monotonie.
La capete excluse verifică dacă valoarea respectivă nu este atinsă totuși în alt punct al domeniului — simetria parabolei o poate salva.

Greșeli frecvente

Spui că $Im f = R$ . O parabolă este mărginită într-o direcție: nu coboară sub vârf dacă $a > 0$ și nu urcă peste vârf dacă $a < 0$ . Imaginea este întotdeauna o semidreaptă, niciodată tot $R$ .
Confuzi codomeniul cu imaginea. Codomeniul e scris în enunț, imaginea se calculează. Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 1$ , codomeniul e $R$ , dar imaginea e $[1, \infty)$ .
Pui paranteză rotundă la $y_{V}$ . Valoarea $y_{V}$ este atinsă, exact în $x_{V}$ , deci capătul e închis: $[y_{V}, \infty)$ , nu $(y_{V}, \infty)$ .
Pe interval, iei doar valorile de la capete. Dacă vârful e înăuntru, el furnizează una dintre margini, iar capetele pe cealaltă. Verifică întotdeauna dacă $x_{V}$ aparține intervalului înainte de a scrie răspunsul.
Elimini automat valoarea unui capăt exclus. Uneori acea valoare e atinsă în alt punct, prin simetrie: la $f (x) = x^{2} - 2 x$ pe $(0, 3)$ , valoarea $0$ rămâne în imagine datorită lui $x = 2$ .

Aplică acasă

Umbra pe perete. Desenează pe o foaie o parabolă cu vârf clar, apoi ține foaia lângă un perete și luminează-o dintr-o parte cu lanterna telefonului, astfel încât umbra să cadă pe o riglă verticală. Porțiunea „acoperită" de umbră este mulțimea valorilor. Repetă cu foaia întoarsă (ramuri în jos) și notează ce se schimbă.
Temperatura zilei tale. Notează temperatura din oră în oră, timp de opt ore. Găsește temperatura minimă și maximă înregistrate și scrie intervalul valorilor. Compară-l cu intervalul pe care l-ar prezice un model pătratic potrivit pe primele trei măsurători. Unde se depărtează modelul de realitate?
Domeniul schimbă răspunsul. Ia funcția $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ și determină $Im f$ pe patru domenii diferite: $R$ , $[0, 2]$ , $[2, 5]$ și $(0, 4)$ . Scrie cele patru rezultate unul sub altul și formulează, cu propriile cuvinte, o regulă despre cum influențează domeniul mulțimea valorilor.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie studiul comportamentului global al funcției de gradul al doilea: după vârf, monotonie și extrem, urmează mulțimea valorilor. Elevul trebuie să plece de aici cu rezultatul principal ( $[y_{V}, \infty)$ pentru $a > 0$ , $(- \infty, y_{V}]$ pentru $a < 0$ ), cu echivalența „ $m$ este valoare $\Leftrightarrow$ ecuația $f (x) = m$ are soluții" și cu procedura pentru domenii restrânse. Demonstrația prin dublă incluziune este dată integral și merită parcursă: partea a doua arată efectiv cum se construiește argumentul care produce o valoare cerută.

Întrebări bune de control: „Care este mulțimea valorilor pentru $f (x) = x^{2} + 1$ ?" ( $[1, \infty)$ ); „De ce nu poate fi imaginea egală cu $R$ ?" (parabola e mărginită într-o direcție de vârf); „Câte soluții are $f (x) = m$ dacă $m$ e mai mic decât valoarea minimă?" (niciuna); „Se schimbă imaginea dacă restrâng domeniul la $[0, 2]$ ?" (da, aproape întotdeauna). Semne că a înțeles: nu confundă codomeniul cu imaginea, folosește paranteză dreaptă la $y_{V}$ și verifică poziția vârfului înainte de a lucra pe un interval.

La teze și la Bacalaureat, cerințele apar sub mai multe deghizări: „determinați mulțimea valorilor", „arătați că $f (x) \geq k$ pentru orice $x$ real", „determinați $m$ astfel încât ecuația $f (x) = m$ să aibă soluții" sau „să aibă soluție unică". Toate se reduc la aceeași informație — ordonata vârfului și semnul lui $a$ — motiv pentru care merită insistat pe scrierea corectă a intervalului, cu capătul închis în dreptul lui $y_{V}$ .

Întrebări frecvente

Ce este mulțimea valorilor unei funcții? Este mulțimea tuturor valorilor pe care funcția le atinge efectiv, notată $Im f$ . Ea este inclusă în codomeniu, dar poate fi mai mică: codomeniul spune unde pot cădea valorile, imaginea spune unde chiar cad.

Cum determin mulțimea valorilor unei funcții de gradul al doilea pe $R$ ? Calculezi ordonata vârfului $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ și te uiți la semnul lui $a$ . Dacă $a > 0$ , mulțimea valorilor este $[y_{V}, \infty)$ ; dacă $a < 0$ , este $(- \infty, y_{V}]$ .

De ce capătul intervalului este închis? Pentru că valoarea $y_{V}$ este efectiv atinsă, în punctul $x_{V}$ . O paranteză rotundă ar însemna că valoarea nu se atinge niciodată, ceea ce ar fi fals: vârful aparține graficului.

Poate mulțimea valorilor unei parabole să fie tot $R$ ? Nu. Din forma canonică rezultă că funcția este mărginită inferior de $y_{V}$ dacă $a > 0$ și superior de $y_{V}$ dacă $a < 0$ , deci întotdeauna rămân valori neatinse de partea cealaltă a vârfului.

Cum aflu dacă un număr $m$ este valoare a funcției? Verifici dacă $m$ aparține mulțimii valorilor, adică dacă se află de partea potrivită a lui $y_{V}$ . Echivalent, rezolvi ecuația $f (x) = m$ : dacă are cel puțin o soluție reală în domeniu, atunci $m$ este valoare a funcției.

Câte soluții are ecuația $f (x) = m$ ? Pentru $a > 0$ : niciuna dacă $m < y_{V}$ , exact una dacă $m = y_{V}$ și două dacă $m > y_{V}$ . Pentru $a < 0$ situația se răstoarnă. Grafic, discuția înseamnă câte puncte comune are dreapta orizontală $y = m$ cu parabola.

Cum determin mulțimea valorilor pe un interval? Verifici întâi dacă $x_{V}$ aparține intervalului. Dacă da, vârful dă una dintre margini, iar cealaltă vine de la capătul cu valoarea cea mai depărtată. Dacă nu, funcția e monotonă pe interval și imaginea este cuprinsă între valorile de la cele două capete.

Ce fac dacă un capăt al domeniului este exclus? Verifici dacă valoarea corespunzătoare este atinsă în alt punct al domeniului — prin simetria parabolei, adesea este. Dacă da, capătul rămâne închis; dacă nu, capătul se scrie cu paranteză rotundă.