Nedeterminarea $$0 \cdot \infty$$ se rezolvă:

transformând produsul în fracție, $$f \cdot g = \dfrac{f}{1/g}$$ sau $$\dfrac{g}{1/f}$$

aplicând direct regula lui L'Hôpital produsului

Cum rezolv nedeterminarea 0 ori infinit?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Nedeterminările reduse la L'Hopital

O transformi în fracție, răsturnând unul dintre factori: $f \cdot g$ devine $\frac{f}{1/ g}$ sau $\frac{g}{1/ f}$ . Alegi varianta care simplifică — de regulă cobori puterea lui $x$ la numitor și lași sus logaritmul sau exponențiala. La $x ln x$ , cu $x$ coborând spre zero prin valori pozitive, obții $\frac{ln x}{1/ x}$ , formă $\frac{\infty}{\infty}$ , iar rezultatul este $0$ .

Regulile lui L'Hôpital vorbesc doar două limbi, $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty}{\infty}$ , dar lista canonică are șapte poziții: $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \cdot \infty, 1^{\infty}, \infty^{0}, 0^{0} .$ Celelalte cinci se traduc, după rețete fixe.

$0 \cdot \infty$ : răstorni unul dintre factori, $f \cdot g = \frac{f}{1/ g}$ sau $\frac{g}{1/ f}$ . Alegi varianta care simplifică: coboară jos puterea lui $x$ și lasă sus logaritmul sau exponențiala. La $x ln x$ , coborârea logaritmului duce la $- x ln^{2} x$ — mai greu decât originalul.

$\infty - \infty$ : aduci la același numitor, iar la radicali amplifici cu conjugata; adesea nici nu mai e nevoie de derivate.

$1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$ : logaritmezi, $f^{g} = e^{g l n f}$ , calculezi limita exponentului (mereu un caz $0 \cdot \infty$ ) și revii la exponențială. Dacă $g ln f \to λ$ , răspunsul este $e^{λ}$ , nu $λ$ — este pierderea de punctaj cea mai frecventă la această temă.

Două avertismente: după logaritmare, verifică dacă exponentul nu e o limită fundamentală mascată (atunci o folosești pe ea, nu regula); iar dacă derivarea nu simplifică deloc expresia, ai intrat într-o buclă și ieșirea este algebrică.

De reținut

$0 \cdot \infty$ se răstoarnă în fracție
$1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ și $0^{0}$ se logaritmează: $f^{g} = e^{g l n f}$
după logaritmare, răspunsul este $e^{λ}$ , nu $λ$

Greșeala tipică

Se dă ca răspuns limita exponentului, uitând întoarcerea la exponențială. Dacă $g ln f$ tinde la $λ$ , limita căutată este $e^{λ}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Nedeterminarea $0 \cdot \infty$ se rezolvă:
- a) aplicând direct regula lui L'Hôpital produsului
- b) prin logaritmare
- c) transformând produsul în fracție, $f \cdot g = \frac{f}{1/ g}$ sau $\frac{g}{1/ f}$
- d) prin amplificare cu conjugata
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) transformând produsul în fracție, $f \cdot g = \frac{f}{1/ g}$ sau $\frac{g}{1/ f}$

Enunțul regulii vorbește despre un raport, deci produsul trebuie mai întâi transformat în fracție. Logaritmarea este rețeta cazurilor cu exponent, iar conjugata, cea a diferențelor cu radicali. Alegi varianta de răsturnare care duce la derivate mai simple.
La un caz $1^{\infty}$ se logaritmează și se obține $lim g (x) ln f (x) = 3$ . Limita cerută este:
- a) $3$
- b) $ln 3$
- c) $e$
- d) $e^{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $e^{3}$

Expresia inițială este $f^{g} = e^{g l n f}$ , iar limita calculată este a exponentului. Prin continuitatea exponențialei, limita cerută este $e^{3}$ . Uitarea acestui pas transformă un calcul corect într-un răspuns greșit, iar baremul îl punctează separat.
Valoarea limitei $x \to + \infty lim x^{2} e^{- x}$ este:
- a) $+ \infty$
- b) $0$
- c) $1$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $0$

Caz $0 \cdot \infty$ . Scriem $x^{2} e^{- x} = \frac{x ^{2}}{e ^{x}}$ , caz $\frac{\infty}{\infty}$ , cu $g^{'} (x) = e^{x} \neq = 0$ . Două aplicări succesive dau $lim \frac{2 x}{e ^{x}}$ , apoi $lim \frac{2}{e ^{x}} = 0$ . Este ierarhia infiniților: exponențiala învinge orice putere.

Întrebări conexe

Cât este limita din x înmulțit cu ln x, când x tinde la zero la dreapta?

Este $0$ . Scrii produsul ca $\frac{ln x}{1/ x}$ , formă $\frac{\infty}{\infty}$ , și derivezi: obții $\frac{1/ x}{- 1/ x ^{2}} = - x$ , care tinde la zero. Logaritmul coboară mai încet decât urcă $\frac{1}{x}$ , așa că produsul lor se stinge.

Cum logaritmez o expresie de forma f la puterea g?

Scrii $f^{g} = e^{g l n f}$ , calculezi limita exponentului — care iese mereu un caz de tip zero ori infinit — și apoi te întorci la exponențială. Pasul final nu se sare: răspunsul este $e$ la puterea limitei, nu limita însăși.

Care factor se răstoarnă la un produs de tip zero ori infinit?

Cel care se simplifică mai bine după derivare. De obicei cobori puterea lui $x$ la numitor și lași sus logaritmul. Alegerea inversă poate complica expresia: la $x ln x$ , coborârea logaritmului duce la ceva mai greu decât originalul.

Câte aplicări la rând ale regulii sunt de folos?

Atâtea câte scad gradul nedeterminării, de obicei una sau două. Dacă după câțiva pași expresia se complică în loc să se simplifice, metoda nu este cea potrivită și merită încercată o transformare algebrică sau o limită fundamentală.

Ce fac dacă după logaritmare apare o limită fundamentală?

O folosești pe ea, nu regula lui L'Hôpital. Aplicarea regulii ar fi un ocol inutil și, la limitele fundamentale, chiar un raționament circular. Verifici forma exponentului înainte de a începe să derivezi.

Cât este limita din x la puterea x, când x tinde la zero la dreapta?

Este $1$ . Logaritmând, ajungi la $x ln x$ , care tinde la $0$ , deci rezultatul este $e^{0} = 1$ . Exemplul arată de ce nedeterminarea $0^{0}$ nu are un răspuns fix: totul depinde de exponentul obținut.

Oamenii mai întreabă și: nedeterminarea zero ori infinit · nedeterminări reduse la L'Hôpital · cum rezolv unu la infinit cu logaritm · nedeterminarea infinit la puterea zero · logaritmarea unei puteri la limite