Ce fac la o limită cu radicali?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Nedeterminările ∞ − ∞ și 0 · ∞. Radicali

Amplifici cu conjugata, ca radicalii să dispară din diferență: $(A - B) (A + B) = A - B$ , iar ce rămâne se compară după puteri. La ordinul al treilea rolul conjugatei îl ia $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ . Ai grijă la $- \infty$ : fiindcă $x^{2} = ∣ x ∣$ , factorul scos de sub radical este $- x$ , nu $x$ . Nedeterminarea nu dispare, ci se mută într-una pe care o știi rezolva.

Fiecare tipar are unealta lui.

Diferență de polinoame: scoți factor forțat termenul de grad maxim; paranteza tinde la coeficientul dominant, iar semnul iese din calcul, nu din intuiție.

Diferență de fracții, punct finit: aduci la același numitor — termenii care explodează se sting reciproc la numărător.

Diferență cu radical de ordinul al doilea: amplifici cu conjugata, folosind $(A - B) (A + B) = A - B$ . Nedeterminarea nu dispare, ci se mută: din $\infty - \infty$ ajungi la $\frac{\infty}{\infty}$ , tipar pe care îl știi rezolva. Se scrie și că amplificatorul este nenul pe vecinătatea de lucru.

Radical de ordinul al treilea: amplifici cu trinomul $a^{2} + ab + b^{2}$ , din $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ — nu cu $a + b$ .

Produs de tip $0 \cdot \infty$ : cobori un factor la numitor; de regulă prelucrezi întâi diferența, iar produsul se rezolvă singur.

⚠️ Capcana capitolului: $x^{2} = ∣ x ∣$ , deci la $x \to - \infty$ se scoate factor $- x$ , nu $x$ . Cine scrie $x^{2} = x$ la stânga obține un rezultat fals fără să vadă nicio greșeală de calcul.

De reținut

$(A - B) (A + B) = A - B$
$(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ pentru radicalii de ordinul al treilea
$x^{2} = ∣ x ∣$ , deci la $- \infty$ se scoate $- x$

Greșeala tipică

Se amplifică o diferență de radicali de ordinul al treilea cu suma lor, ca la ordinul al doilea. Partenerul corect este trinomul $a^{2} + ab + b^{2}$ , altfel radicalii nu dispar.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $x \to + \infty lim (x^{2} + 8 x - x)$ .
- a) $0$
- b) $8$
- c) $4$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4$

Tip $\infty - \infty$ . Amplificăm cu $x^{2} + 8 x + x$ , strict pozitiv pentru $x > 0$ : expresia devine $\frac{8 x}{x ^{2} + 8 x + x}$ . Pentru $x > 0$ , $x^{2} + 8 x = x 1 + \frac{8}{x}$ , deci raportul este $\frac{8}{1 + \frac{8}{x} + 1} \to \frac{8}{2} = 4$ . Varianta a) presupune că diferența „se pierde”, ceea ce e tocmai ce trebuie verificat.
Calculați $x \to - \infty lim (x^{2} + 10 x + x)$ .
- a) $5$
- b) $- 5$
- c) $0$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 5$

La $- \infty$ suma este cea de tip $\infty - \infty$ . Amplificăm cu $x^{2} + 10 x - x$ și obținem $\frac{10 x}{x ^{2} + 10 x - x}$ . Aici intervine capcana: pentru $x < 0$ , $x^{2} + 10 x = - x 1 + \frac{10}{x}$ , deci numitorul este $- x (1 + \frac{10}{x} + 1)$ și raportul devine $\frac{- 10}{1 + \frac{10}{x} + 1} \to - 5$ . Varianta a) apare dacă scrii, greșit, $x^{2} = x$ .
Calculați $x \to 0 lim \frac{1 + 4 x - 1}{x}$ .
- a) $2$
- b) $4$
- c) $\frac{1}{2}$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2$

Tip $\frac{0}{0}$ cu radical. Amplificăm cu $1 + 4 x + 1$ , strict pozitiv lângă $0$ : $\frac{( 1 + 4 x ) - 1}{x ( 1 + 4 x + 1 )} = \frac{4 x}{x ( 1 + 4 x + 1 )}$ . Pentru $x \neq = 0$ simplificăm cu $x$ și rămâne $\frac{4}{1 + 4 x + 1} \to \frac{4}{2} = 2$ .

Întrebări conexe

Cât este limita din radical de x pătrat plus x, minus x?

Amplifici cu $x^{2} + x + x$ și numărătorul devine $x$ . Rămâne $\frac{x}{x ^{2} + x + x}$ ; împărțind la $x$ obții $\frac{1}{1 + \frac{1}{x} + 1}$ , care tinde la $\frac{1}{2}$ . Rezultatul este pentru $+ \infty$ ; la $- \infty$ calculul se schimbă.

Cu ce amplific la o diferență de radicali de ordinul al treilea?

Cu trinomul $a^{2} + ab + b^{2}$ , unde $a$ și $b$ sunt cei doi radicali, pentru că $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ . Suma $a + b$ nu ajută aici, ea fiind partenerul potrivit doar pentru radicalii de ordinul al doilea.

De ce se scoate factor comun minus x la minus infinit?

Pentru că $x^{2}$ înseamnă modulul lui $x$ , iar pentru valori negative modulul este $- x$ . Cine scrie $x^{2} = x$ acolo obține un rezultat fals fără nicio greșeală vizibilă de calcul. Este capcana cea mai costisitoare a capitolului.

Cum aduc o diferență de fracții la același numitor, la limite?

Înmulțești fiecare fracție cu ce îi lipsește, ca să obții un singur raport. Termenii care cresc nemărginit se sting atunci reciproc la numărător, iar ce rămâne este de obicei o nedeterminare $\frac{0}{0}$ , rezolvabilă prin factorizare.

În ce nedeterminare se transformă infinit minus infinit după conjugată?

De regulă în $\frac{\infty}{\infty}$ , adică într-un raport pe care îl rezolvi împărțind la puterea dominantă. Amplificarea nu șterge dificultatea, ci o mută într-un tipar cunoscut. Se scrie și că expresia cu care ai amplificat nu se anulează pe vecinătatea de lucru.

Cum cobor un factor la numitor la un produs zero ori infinit?

Îl răstorni: scrii $f \cdot g$ fie ca $\frac{f}{1/ g}$ , fie ca $\frac{g}{1/ f}$ , după cum îți convine. De obicei prelucrezi întâi diferența dinăuntru, iar produsul se rezolvă apoi de la sine. Alegerea greșită complică expresia în loc să o simplifice.

Oamenii mai întreabă și: ce fac la nedeterminarea infinit minus infinit · amplificarea cu conjugata · limite cu radicali · diferență de radicali la infinit · nedeterminarea zero ori infinit