Ce fac la nedeterminarea infinit minus infinit?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Nedeterminări: infinit minus infinit, infinit pe infinit

Aduci expresia la o formă în care creșterile se compară, nu se scad. La o diferență de polinoame dai factor comun puterea cea mai mare, la o diferență de logaritmi folosești proprietatea diferenței, iar la o diferență de fracții treci la un numitor comun. Cazul se preschimbă astfel într-unul pe care îl știi rezolva, de obicei $\frac{\infty}{\infty}$ . De exemplu $n^{3} - n^{2} = n^{3} (1 - \frac{1}{n})$ , care tinde la infinit.

Toate tehnicile sunt aceeași idee: cine domină? Într-o sumă de termeni care cresc nemărginit, unul crește mai repede; îl scoți factor forțat, iar restul tind la $0$ și ies din calcul. Dintre puteri domină exponentul mai mare, dintre exponențiale domină baza mai mare.

Raportul a două polinoame $\frac{P ( n )}{Q ( n )}$ : se împarte la puterea dominantă a numitorului. Grade egale $\Rightarrow$ raportul coeficienților dominanți; numitorul de grad mai mare $\Rightarrow$ limita $0$ ; numărătorul de grad mai mare $\Rightarrow$ limită infinită, cu semnul dat de raportul coeficienților dominanți.

La radicali, $n^{2}$ contează ca $n$ (pentru $n \geq 1$ , unde $∣ n ∣ = n$ ). La exponențiale se forțează baza cea mai mare; atenție, $5^{n + 1} = 5 \cdot 5^{n}$ .

Pentru $\infty - \infty$ : la polinoame, factor forțat cu termenul de grad maxim; la radicali de ordinul doi, amplificare cu conjugata, folosind $(A - B) (A + B) = A - B$ (conjugata trebuie să fie nenulă, iar la șiruri e strict pozitivă); la ordinul trei, amplificare cu $a^{2} + ab + b^{2}$ ; la diferențe de fracții, aducere la același numitor. Rezultatul de reținut: $n \to \infty lim (n^{2} + an - n) = \frac{a}{2}$ .

De reținut

Grade egale $\Rightarrow$ raportul coeficienților dominanți
Grad mai mare sus $\Rightarrow \pm \infty$ ; grad mai mare jos $\Rightarrow 0$
Diferență de radicali: se amplifică cu suma lor

Greșeala tipică

Se simplifică direct termenii care „arată la fel” în numărător și în numitor, fără să se scoată factor. Simplificarea se face doar după ce puterea dominantă a fost scoasă din amândouă părțile.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea limitei $n \to \infty lim \frac{2 - 5 n ^{3}}{3 n ^{3} + n}$ este:
- a) $0$
- b) $- \infty$
- c) $\frac{5}{3}$
- d) $- \frac{5}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- \frac{5}{3}$

Gradele sunt egale, deci limita este raportul coeficienților dominanți: $\frac{- 5}{3}$ . Scris complet, prin împărțire la $n^{3}$ : $\frac{\frac{2}{n ^{3}} - 5}{3 + \frac{1}{n ^{2}}} \to - \frac{5}{3}$ . Semnul minus vine din numărător și este greșeala cea mai frecventă la acest tip de exercițiu.
Valoarea limitei $n \to \infty lim (n^{2} + 10 n - n)$ este:
- a) $5$
- b) $0$
- c) $10$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$

Amplificăm cu conjugata $n^{2} + 10 n + n$ , strict pozitivă pentru $n \geq 1$ : numărătorul devine $(n^{2} + 10 n) - n^{2} = 10 n$ , deci expresia este $\frac{10 n}{n ( 1 + \frac{10}{n} + 1 )} \to \frac{10}{2} = 5$ . Este cazul particular al formulei $n \to \infty lim (n^{2} + an - n) = \frac{a}{2}$ , cu $a = 10$ .
Valoarea limitei $n \to \infty lim \frac{2 ^{n + 1} + 3}{2 ^{n} - 1}$ este:
- a) $1$
- b) $\frac{1}{2}$
- c) $2$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2$

Se folosește $2^{n + 1} = 2 \cdot 2^{n}$ și se forțează $2^{n}$ sus și jos: $\frac{2 + \frac{3}{2 ^{n}}}{1 - \frac{1}{2 ^{n}}} \to \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$ , fiindcă $(\frac{1}{2})^{n} \to 0$ . Scrierea $2^{n + 1} = 2^{n} + 2$ este greșită și strică tot calculul.

Întrebări conexe

De ce se împarte prin cea mai mare putere a lui n?

Fiindcă împărțirea nu schimbă valoarea raportului, dar transformă termenii mai mici în fracții care se sting. Rămân atunci doar coeficienții puterilor dominante, iar nedeterminarea dispare fără niciun alt artificiu.

Ce limită are un raport în care numitorul are grad mai mare?

Zero. Numitorul crește mai repede decât numărătorul, așa că raportul se strânge spre nimic. Se vede împărțind sus și jos prin puterea cea mai mare din numitor: numărătorul se topește, iar numitorul rămâne cu coeficientul lui dominant.

Cum scap de infinit minus infinit la o diferență de polinoame?

Scoți factor comun puterea cea mai mare și te uiți la paranteza rămasă. Dacă ea tinde la un număr nenul, limita este infinită, cu semnul dat de produsul dintre factor și acel număr.

Ce fac dacă gradul numărătorului e mai mare?

Limita este infinită, iar semnul se citește din coeficienții dominanți: același semn dă $+ \infty$ , semne diferite dau $- \infty$ . Nu are rost niciun calcul suplimentar după stabilirea gradelor.

Ce limită are diferența dintre radical din n plus 1 și radical din n?

Tinde la zero. Amplificând cu suma radicalilor, expresia devine $\frac{1}{n + 1 + n}$ , iar numitorul crește nemărginit, deci fracția se stinge, deși diferența pare la prima vedere nedeterminată.

Cum ordonez termenii după viteza de creștere?

De la cel mai lent la cel mai rapid: logaritmul, apoi puterile lui $n$ în ordinea exponenților, apoi exponențialele cu baza peste $1$ , apoi factorialul. Cel mai rapid dintre termeni decide singur comportarea expresiei.

Oamenii mai întreabă și: ce fac la nedeterminarea infinit pe infinit · nedeterminarea infinit minus infinit · cum scap de infinit minus infinit · diferență de polinoame la infinit · limita unui raport de polinoame