Studiați existența limitei funcției $$f(x)=\dfrac{x^{2}-9}{(x+3)^{2}}$$ în punctul $$-3$$.

limita nu există, deoarece $$l_s(-3)=+\infty$$ și $$l_d(-3)=-\infty$$

limita există și este $$-\infty$$

limita nu există, deoarece $$l_s(-3)=-\infty$$ și $$l_d(-3)=+\infty$$

Cum rezolv nedeterminarea 0 supra 0?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Nedeterminările 0/0 și ∞/∞ la funcții raționale

Descompui numărătorul și numitorul în factori și simplifici factorul $x - x_{0}$ , care apare la amândouă fiindcă $x_{0}$ le anulează pe amândouă. Simplificarea este permisă pentru că lucrezi cu $x \neq = x_{0}$ . La $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 2}$ în $2$ rămâne $x - 3$ , deci limita este $- 1$ . După fiecare simplificare verifici din nou ce formă a rămas.

Nedeterminarea $\frac{0}{0}$ apare într-un punct finit $x_{0}$ , când $x_{0}$ e rădăcină comună a numărătorului și a numitorului; $\frac{\infty}{\infty}$ apare la $\pm \infty$ . Prima întrebare este mereu: se anulează amândouă, sau numai numitorul?

Pentru $\frac{0}{0}$ : din teorema lui Bézout, factorul $x - x_{0}$ se găsește la ambele polinoame, deci se descompune și se simplifică. Simplificarea e legitimă pentru că se lucrează cu $x \neq = x_{0}$ , iar limita nu depinde de valoarea funcției în $x_{0}$ (caracterul local); justificarea „pentru $x \neq = x_{0}$ avem …” se scrie. Uneltele: formulele $x^{2} - a^{2}$ și $x^{3} - a^{3}$ , rădăcinile trinomului, schema lui Horner. După fiecare simplificare reverifici: dacă a rămas $\frac{0}{0}$ , continui; dacă numitorul se anulează, iar numărătorul nu, treci la limite laterale.

Pentru $\frac{\infty}{\infty}$ : împarți la puterea dominantă a numitorului, ca acesta să ajungă la o limită finită nenulă. Cu $p$ și $q$ gradele: dacă $p = q$ , limita e $\frac{a _{p}}{b _{q}}$ ; dacă $p < q$ , e $0$ ; dacă $p > q$ , e infinită. La $- \infty$ decide paritatea lui $p - q$ — greșeala numărul unu a lecției este să copiezi acolo rezultatul de la $+ \infty$ .

De reținut

$\frac{0}{0}$ apare într-un punct finit, iar $\frac{\infty}{\infty}$ la $\pm \infty$
la $\frac{0}{0}$ se scoate și se simplifică factorul $x - x_{0}$
grade egale dau raportul coeficienților dominanți; numitor de grad mai mare dă $0$

Greșeala tipică

Se copiază la minus infinit rezultatul găsit la plus infinit, la un raport de polinoame. Semnul depinde de paritatea diferenței gradelor, deci al doilea capăt se calculează separat.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $x \to - 2 lim \frac{x ^{2} + x - 2}{x ^{2} - 4}$ .
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $- \frac{3}{4}$
- c) $0$
- d) $\frac{3}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{3}{4}$

Tip $\frac{0}{0}$ . Descompunem: $x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)$ și $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ . Pentru $x \neq = - 2$ simplificăm cu $x + 2$ și obținem $\frac{x - 1}{x - 2} \to \frac{- 3}{- 2 - 2} = \frac{- 3}{- 4} = \frac{3}{4}$ . Varianta b) pierde semnul de la numitor.
Calculați $x \to - \infty lim \frac{4 x ^{3} - x}{2 x ^{2} + 7}$ .
- a) $- \infty$
- b) $+ \infty$
- c) $2$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \infty$

Gradele sunt $p = 3$ și $q = 2$ , deci rămâne factorul $x^{p - q} = x$ , înmulțit cu o fracție care tinde la $\frac{4}{2} = 2$ . Cum $x \to - \infty$ , produsul tinde la $- \infty$ . Diferența $p - q = 1$ fiind impară, rezultatul este opus celui de la $+ \infty$ (unde limita ar fi $+ \infty$ ) — exact capcana de semn a lecției.
Studiați existența limitei funcției $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{( x + 3 ) ^{2}}$ în punctul $- 3$ .
- a) limita există și este $- \infty$
- b) limita nu există, deoarece $l_{s} (- 3) = + \infty$ și $l_{d} (- 3) = - \infty$
- c) limita nu există, deoarece $l_{s} (- 3) = - \infty$ și $l_{d} (- 3) = + \infty$
- d) limita există și este $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) limita nu există, deoarece $l_{s} (- 3) = + \infty$ și $l_{d} (- 3) = - \infty$

Tip $\frac{0}{0}$ ; simplificăm o dată: $f (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x + 3 ) ^{2}} = \frac{x - 3}{x + 3}$ pentru $x \neq = - 3$ . Numărătorul are limita $- 6 < 0$ , iar numitorul se anulează în continuare: la stânga lui $- 3$ el este $0^{-}$ , deci $\frac{- 6}{0 ^{-}} = + \infty$ ; la dreapta este $0^{+}$ , deci $- \infty$ . Fiind diferite, limita nu există.

Întrebări conexe

Cum factorizez ca să scap de nedeterminarea zero supra zero?

Folosești formulele $x^{2} - a^{2} = (x - a) (x + a)$ și $x^{3} - a^{3} = (x - a) (x^{2} + a x + a^{2})$ , rădăcinile trinomului sau schema lui Horner. Toate scot la iveală același factor $x - x_{0}$ . Alegerea depinde de grad: la gradul al doilea merge cel mai repede descompunerea după rădăcini.

Cât este limita din x la pătrat minus 4, supra x minus 2, în 2?

Numărătorul se scrie $(x - 2) (x + 2)$ , se simplifică factorul comun și rămâne $x + 2$ . Înlocuind $2$ , limita iese $4$ . Verificarea numerică sprijină rezultatul: pentru $x = 2, 001$ raportul dă $4, 001$ .

Ce limită are un raport de polinoame de grade egale?

Raportul coeficienților termenilor de grad maxim. La $\frac{2 x ^{3} + x}{5 x ^{3} - 7}$ limita este $\frac{2}{5}$ în amândouă capetele, fiindcă ceilalți termeni devin neglijabili. Rezultatul se obține împărțind sus și jos la $x^{3}$ .

Ce se întâmplă dacă gradul numitorului este mai mare?

Limita este $0$ . Numitorul crește mult mai repede, deci raportul se strivește: la $\frac{x + 1}{x ^{2}}$ valorile devin oricât de mici. Când, dimpotrivă, numărătorul are gradul mai mare, rezultatul este infinit, iar semnul lui se discută separat.

Cum folosesc teorema lui Bezout la o nedeterminare?

Ea asigură că un polinom care se anulează în $x_{0}$ se divide exact cu $x - x_{0}$ . Deci, de îndată ce ai constatat forma $\frac{0}{0}$ , știi dinainte că factorul comun există și îl poți scoate cu schema lui Horner.

De ce se împarte la puterea dominantă a numitorului?

Ca numitorul să se stabilizeze pe un număr diferit de zero, de obicei chiar coeficientul lui dominant. Atunci comportarea întregului raport se citește din numărător. Împărțind la puterea din numărător ai risca să obții tot o formă nedeterminată.

Oamenii mai întreabă și: nedeterminarea zero supra zero · cum scap de 0 pe 0 · limita unui raport de polinoame · simplificarea la limite · nedeterminarea infinit supra infinit