La limita $$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\frac{5}{n}+\frac{2}{n^{2}}}{\frac{1}{n}-\frac{3}{n^{2}}}$$ se scoate factor forțat:

$$\dfrac{1}{n}$$, puterea cea mai mică

$$\dfrac{1}{n^{2}}$$, puterea cea mai mare

nimic, expresia nu se poate simplifica

Ce fac la nedeterminarea zero ori infinit?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Nedeterminări: 0 ori infinit, 0 supra 0, 1 la infinit

Rescrii produsul ca raport, mutând unul dintre factori la numitor sub formă de inversă, și obții una dintre nedeterminările deja cunoscute. Din $n \cdot \frac{1}{n + 1}$ iese $\frac{n}{n + 1}$ , care tinde la $1$ . Rezultatul nu este niciodată automat zero: factorul care crește poate întrece scăderea celuilalt, deci limita poate fi orice număr, poate fi infinită sau poate lipsi.

$0 \cdot \infty$ nu este un caz nou. A împărți înseamnă a înmulți cu inversul, deci $a_{n} b_{n} = \frac{a _{n}}{1/ b _{n}}$ (tip $\frac{0}{0}$ ) sau $\frac{b _{n}}{1/ a _{n}}$ (tip $\frac{\infty}{\infty}$ ): alegi forma în care expresia se scrie mai simplu. Cel mai des e de ajuns să înmulțești efectiv fracțiile. Când factorul care tinde la $0$ este o diferență, îl prelucrezi întâi — numitor comun la fracții, conjugata la radicali.

$\frac{0}{0}$ apare la șiruri când sus și jos stau puteri negative ale lui $n$ . Tehnica este oglinda celei de la $\frac{\infty}{\infty}$ : forțezi puterea cea mai mică a lui $\frac{1}{n}$ , adică termenul care se stinge cel mai încet, deci cel care domină. Simplificarea e permisă fiindcă $\frac{1}{n} \neq = 0$ . Verificare: după simplificare, numitorul trebuie să aibă limită finită și nenulă.

$1^{\infty}$ : mai întâi verifică baza. La $(a_{n})^{b_{n}}$ cu $b_{n} \to + \infty$ , limita bazei decide: $a > 1$ dă $+ \infty$ , $0 < a < 1$ dă $0$ , și doar $a = 1$ este nedeterminare. Cazul cere ambele condiții — la $(1 + \frac{3}{n})^{4}$ exponentul e constant, deci limita este $1$ . Nedeterminarea autentică se rezolvă cu instrumentul construit odată cu numărul $e$ ; până atunci, o recunoști și o numești.

De reținut

$0 \cdot \infty$ : se rescrie ca raport și se tratează ca $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$
$\frac{0}{0}$ : se simplifică factorul care anulează amândouă părțile
Rezultatul depinde de viteze, nu de formă

Greșeala tipică

Se anunță că un produs de tip $0 \cdot \infty$ face zero, fiindcă „un factor tinde la zero”. Celălalt factor crește nemărginit, deci poate compensa complet scăderea; rezultatul se află abia după rescriere.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea limitei $n \to \infty lim n^{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ este:
- a) $2$
- b) $0$
- c) $1$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2$

Paranteza tinde la $0$ , iar $n^{2} \to + \infty$ : tip $0 \cdot \infty$ . Aducem paranteza la același numitor: $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} = \frac{2}{n ( n + 2 )}$ . Atunci expresia devine $\frac{2 n ^{2}}{n ^{2} + 2 n}$ , raport de polinoame de grade egale, cu limita $2$ . Control: pentru $n = 1000$ valoarea este $1, 996$ .
Valoarea limitei $n \to \infty lim (\frac{4 n + 1}{n + 2})^{n}$ este:
- a) $1$
- b) $4$
- c) $0$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $+ \infty$

Primul pas este limita bazei: $\frac{4 n + 1}{n + 2} \to 4 > 1$ , deci nu avem nicio nedeterminare, ci rândul $a^{+ \infty} = + \infty$ din tabel. Expresia doar seamănă cu $1^{\infty}$ , fiindcă baza este un raport de polinoame de același grad și exponentul crește. Control: pentru $n = 20$ valoarea depășește $2 \cdot 1 0^{11}$ .
La limita $n \to \infty lim \frac{\frac{5}{n} + \frac{2}{n ^{2}}}{\frac{1}{n} - \frac{3}{n ^{2}}}$ se scoate factor forțat:
- a) $\frac{1}{n ^{2}}$ , puterea cea mai mare
- b) $\frac{1}{n}$ , puterea cea mai mică
- c) $n^{2}$ , la numărător
- d) nimic, expresia nu se poate simplifica
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{n}$ , puterea cea mai mică

La exponent negativ ierarhia se răstoarnă: $\frac{1}{n}$ domină pe $\frac{1}{n ^{2}}$ , fiindcă se stinge mai încet. Forțând $\frac{1}{n}$ sus și jos și simplificând (permis, căci $\frac{1}{n} \neq = 0$ ), rămâne $\frac{5 + \frac{2}{n}}{1 - \frac{3}{n}} \to 5$ . Alegerea puterii celei mai mari ar lăsa o expresie tot nedeterminată.

Întrebări conexe

Ce limită are n înmulțit cu 1 supra n plus 1?

Este $1$ . Produsul se scrie ca fracția $\frac{n}{n + 1}$ , iar împărțind prin $n$ rămân $1$ și $1 + \frac{1}{n}$ . Cei doi factori se echilibrează, deși unul crește, iar celălalt se stinge.

Cum tratez nedeterminarea zero supra zero la șiruri?

Cauți factorul care anulează amândouă părțile și îl simplifici, după o descompunere sau o amplificare cu conjugata. Ce rămâne după simplificare are, de obicei, limită care se citește direct.

Ce limită are n la pătrat înmulțit cu 1 supra n la a treia?

Este zero. Produsul se strânge la $\frac{1}{n}$ , care se stinge, deși primul factor crește nemărginit. Exemplul arată că o formă $0 \cdot \infty$ poate da și zero, alături de rezultate finite nenule sau infinite.

Ce limită are n ori diferența dintre radical din n plus 1 și radical din n?

Este $+ \infty$ . Diferența se scrie ca $\frac{1}{n + 1 + n}$ , deci produsul devine aproximativ $\frac{n}{2}$ , care crește nemărginit. Iată o formă $0 \cdot \infty$ al cărei rezultat nu este nici zero, nici finit.

De ce zero supra zero nu este 1?

Fiindcă cele două părți se sting cu viteze diferite. Raportul $\frac{1/ n}{1/ n ^{2}}$ tinde la infinit, iar $\frac{1/ n ^{2}}{1/ n}$ tinde la zero, deși amândouă au aceeași formă la prima vedere.

Cum verific rezultatul unei limite cu nedeterminare?

Calculezi termenul pentru câteva ranguri mari și compari cu valoarea găsită. Potrivirea nu ține loc de demonstrație, dar prinde imediat o greșeală de semn sau o simplificare făcută greșit.

Oamenii mai întreabă și: nedeterminare zero ori infinit · produs de tip zero ori infinit · cum transform un produs în raport la limite · nedeterminare zero supra zero la șiruri