Se consideră $$A \in \mathcal{M}_{5,3}(\mathbb{C})$$. Care dintre afirmații este adevărată?

coloana a doua a lui $$A$$ are $$5$$ elemente

elementul $$a_{35}$$ este bine definit

$$A$$ este pătratică de ordin $$5$$

O matrice adună numere într-un tablou dreptunghiular cuprins de paranteze rotunde, cu m linii și n coloane, deci cu m· n elemente. Se spune că este de tipul m× n. Elementul aᵢⱼ stă pe linia i și pe coloana j, în această ordine, care nu se schimbă niciodată. Așa capătă un tabel de date o formă matematică: etichetele dispar, iar ce spuneau ele se citește din poziția fiecărui număr.

Ce este o matrice?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Noțiunea de matrice

O matrice adună numere într-un tablou dreptunghiular cuprins de paranteze rotunde, cu $m$ linii și $n$ coloane, deci cu $m \cdot n$ elemente. Se spune că este de tipul $m \times n$ . Elementul $a_{ij}$ stă pe linia $i$ și pe coloana $j$ , în această ordine, care nu se schimbă niciodată. Așa capătă un tabel de date o formă matematică: etichetele dispar, iar ce spuneau ele se citește din poziția fiecărui număr.

O matrice de tipul $m \times n$ este un tablou dreptunghiular de numere complexe, scris între paranteze rotunde, cu $m$ linii, $n$ coloane și exact $m \cdot n$ elemente. Un tabel de date devine astfel obiect matematic: etichetele dispar, dar informația lor trece în poziție. Vânzările a două magazine pentru trei articole se scriu $V = (18302415912)$ , iar $v_{23} = 12$ înseamnă „al doilea magazin, al treilea articol”.

În $a_{ij}$ , primul indice arată linia, al doilea coloana, iar ordinea nu se schimbă niciodată. Inversarea ei este greșeala numărul unu a capitolului, tocmai pentru că nu dă niciun semnal de eroare: calculul merge mai departe, cu numere greșite. Mulțimea matricelor cu $m$ linii și $n$ coloane se notează $M_{m, n} (C)$ ; când $m = n$ , matricea este pătratică de ordin $n$ și scriem $M_{n} (C)$ . Lucrăm implicit peste $C$ .

Scrierea compactă $A = (a_{ij})_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ permite definirea unei matrice printr-o formulă în $i$ și $j$ , de pildă $a_{ij} = 4 i - j$ ; tabloul se completează linie cu linie, ținând $i$ fix și lăsând $j$ să parcurgă coloanele. O matrice cu o singură linie se numește matrice linie, una cu o singură coloană matrice coloană — formele în care vor fi scrise mai târziu necunoscutele unui sistem. Reține: aceleași numere așezate altfel dau o altă matrice.

De reținut

tip $m \times n$ : $m$ linii, $n$ coloane, $m \cdot n$ elemente
în $a_{ij}$ , întâi linia, apoi coloana
$M_{n} (C)$ : matrice pătratice de ordin $n$

Greșeala tipică

Indicii sunt citiți invers, ca și cum primul ar arăta coloana. Elementul $a_{32}$ se află pe linia a treia și pe coloana a doua; greșeala nu dă niciun semnal, iar calculul merge mai departe cu numere greșite.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $A = (a_{ij}) \in M_{3, 4} (R)$ , unde $a_{ij} = 3 i - 2 j$ . Elementul $a_{32}$ este:
- a) $5$
- b) $0$
- c) $- 5$
- d) $13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$

Primul indice este linia, al doilea coloana, deci $i = 3$ și $j = 2$ : $a_{32} = 3 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 9 - 4 = 5$ . Varianta $0$ vine din inversarea indicilor ( $a_{23} = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 0$ ), varianta $- 5$ din scrierea pe dos a formulei, iar $13$ din pierderea semnului minus.
Se consideră $A = (a_{ij}) \in M_{2, 3} (R)$ , unde $a_{ij} = i \cdot j - 4$ . Câte elemente nule are $A$ ?
- a) niciunul
- b) exact unul
- c) exact două
- d) exact trei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) exact unul

Completăm linie cu linie: pentru $i = 1$ obținem $- 3, - 2, - 1$ , iar pentru $i = 2$ obținem $- 2, 0, 2$ . Deci $A = (- 3 - 2 - 2 0 - 1 2)$ și singurul element nul este $a_{22} = 2 \cdot 2 - 4 = 0$ .
Se consideră $A \in M_{5, 3} (C)$ . Care dintre afirmații este adevărată?
- a) $A$ are $53$ de elemente
- b) elementul $a_{35}$ este bine definit
- c) coloana a doua a lui $A$ are $5$ elemente
- d) $A$ este pătratică de ordin $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) coloana a doua a lui $A$ are $5$ elemente

O coloană are atâtea elemente câte linii are matricea, adică $5$ . Formatul este o pereche, deci numărul de elemente este $5 \cdot 3 = 15$ , nu „ $53$ ”. Scrierea $a_{35}$ nu desemnează niciun număr, pentru că $j = 5 > 3$ . Iar $A$ nu este pătratică, fiindcă $5 \neq = 3$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă tipul unei matrice?

Este perechea formată din numărul de linii și numărul de coloane, scrisă $m \times n$ . Tipul nu este un singur număr: o matrice $3 \times 4$ are $12$ elemente, nu douăsprezece linii. Tipul decide și ce operații se pot face cu ea.

În ce fel de paranteze se scrie o matrice?

În paranteze rotunde, care cuprind tot tabloul. Parantezele drepte se folosesc în alte manuale, dar convenția din programa românească este cea rotundă. Barele verticale nu se folosesc niciodată pentru matrice: ele notează determinantul, un număr, nu un tablou.

Ce se întâmplă dacă schimb ordinea numerelor într-o matrice?

Obții o altă matrice. Informația unei matrice stă în poziții, nu doar în valorile numerelor, așa că două tablouri cu aceleași numere așezate diferit nu sunt egale. Egalitatea cere același tip și numere egale pe fiecare poziție.

Cum se notează mulțimea matricelor pătratice de ordin $n$ ?

Se scrie $M_{n} (C)$ , prescurtare pentru mulțimea matricelor cu $n$ linii și $n$ coloane și elemente complexe. Pentru tipuri dreptunghiulare se scriu ambele numere, ca în $M_{2, 3} (R)$ , unde se precizează și mulțimea din care sunt luate elementele.

Cum transform un tabel de date într-o matrice?

Păstrezi numerele în aceeași așezare și renunți la capetele de rând și de coloană. Vânzările a două magazine pentru trei produse dau o matrice de tipul $2 \times 3$ , în care numărul aflat jos în dreapta arată al treilea produs vândut de al doilea magazin.

Există elementul $a_{41}$ într-o matrice cu trei linii?

Nu, fiindcă primul indice trebuie să fie cel mult egal cu numărul de linii. Verifică întotdeauna că indicele de linie stă între $1$ și $m$ , iar cel de coloană între $1$ și $n$ , altfel scrii despre un element care nu există.

Oamenii mai întreabă și: ce este o matrice · definiția matricei · tablou de numere cu linii și coloane · tipul unei matrice