Pe mulțimea $$\mathbb{R}^{*}$$, două primitive ale funcției $$f(x) = \dfrac{1}{x}$$:

pot diferi prin constante diferite pe cele două intervale

diferă întotdeauna printr-o constantă

De ce se spune o primitivă, nu primitiva?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Noțiunea de primitivă

Fiindcă sunt o infinitate. Pe un interval, două funcții cu aceeași derivată se deosebesc printr-o constantă, așa că plecând de la una singură obții toate celelalte adunându-i un număr real oarecare. Articolul hotărât se potrivește numai când o cerință suplimentară alege una anume, de tipul $F (x_{0}) = y_{0}$ : scrii mulțimea, pui condiția și obții constanta căutată.

Funcția $F$ este primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ dacă $F$ este derivabilă pe $I$ și $F^{'} (x) = f (x)$ pentru orice $x \in I$ . Este problema inversă derivării, iar verificarea se face într-un singur pas: derivezi candidatul și compari cu funcția dată, pe tot intervalul.

Cuvântul „interval” nu poate lipsi. Pe un interval, două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă — este Consecința 1 a teoremei lui Lagrange — deci, dacă $F$ este o primitivă, toate celelalte sunt $F + c$ , cu $c \in R$ . Pe o reuniune de intervale afirmația este falsă: pe $R^{*}$ , două primitive ale lui $\frac{1}{x}$ pot diferi prin constante diferite pe cele două ramuri.

De aici, formularea corectă este „o primitivă a lui $f$ ”, iar cerința care selectează una singură este o condiție de tipul $F (x_{0}) = y_{0}$ : scrii forma generală, impui condiția, afli constanta. Tot din $F^{'} = f$ vine și cea mai rapidă informație despre grafic: semnul lui $f$ este tabelul de semn al derivatei oricărei primitive, deci monotonia și extremele lui $F$ se citesc direct din semnul lui $f$ .

În sfârșit, nu orice funcție admite primitive: cele care sar peste valori, cum este funcția-semn, nu sunt derivata nimănui pe un interval care conține saltul.

De reținut

$F$ este primitivă a lui $f$ pe $I$ dacă e derivabilă acolo și $F^{'} = f$
pe un interval, două primitive se deosebesc printr-o constantă
semnul lui $f$ dă monotonia oricărei primitive a lui

Greșeala tipică

Se scrie $ln x$ acolo unde intervalul de lucru cuprinde numere negative. Logaritmul nu are sens acolo, iar forma corectă a primitivei lui $\frac{1}{x}$ folosește modulul.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $F : R \to R$ , $F (x) = (2 x + 3) e^{x}$ , este o primitivă a funcției:
- a) $f (x) = (2 x + 3) e^{x}$
- b) $f (x) = 2 e^{x}$
- c) $f (x) = (2 x + 1) e^{x}$
- d) $f (x) = (2 x + 5) e^{x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f (x) = (2 x + 5) e^{x}$

Se derivează cu regula produsului: $F^{'} (x) = 2 e^{x} + (2 x + 3) e^{x} = (2 x + 5) e^{x}$ . Varianta $2 e^{x}$ apare când se derivează doar primul factor, iar $(2 x + 3) e^{x}$ când se derivează doar exponențiala; ambele ratează suma celor doi termeni.
Pe mulțimea $R^{*}$ , două primitive ale funcției $f (x) = \frac{1}{x}$ :
- a) diferă întotdeauna printr-o constantă
- b) pot diferi prin constante diferite pe cele două intervale
- c) sunt obligatoriu egale
- d) nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) pot diferi prin constante diferite pe cele două intervale

Teorema constantei cere ca domeniul să fie interval, iar $R^{*}$ nu este. Funcțiile $F (x) = ln ∣ x ∣$ și $G$ , egală cu $ln ∣ x ∣ + 3$ pe $(- \infty, 0)$ și cu $ln ∣ x ∣ - 1$ pe $(0, + \infty)$ , sunt amândouă primitive ale lui $\frac{1}{x}$ , dar $G - F$ nu este constantă.
Primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x^{3} - 10 x$ , care verifică $F (1) = 2$ , este:
- a) $F (x) = x^{4} - 5 x^{2} - 2$
- b) $F (x) = 12 x^{2} - 10$
- c) $F (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 6$
- d) $F (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $F (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 6$

Forma generală este $F (x) = x^{4} - 5 x^{2} + c$ . Din $F (1) = 1 - 5 + c = 2$ rezultă $c = 6$ . Varianta cu $+ 2$ apare când se pune direct constanta egală cu valoarea impusă, iar $12 x^{2} - 10$ este derivata lui $f$ , nu o primitivă a lui.

Întrebări conexe

Ce proprietate a derivatelor blochează existența primitivelor?

Faptul că o derivată nu poate sări peste valori pe un interval: ea ia toate valorile dintre oricare două dintre valorile ei. Funcțiile cu salt, precum cea care dă semnul unui număr, nu îndeplinesc cerința, deci nu sunt derivata nimănui.

Poate o funcție discontinuă să admită primitive?

Da, dacă discontinuitatea nu este un salt. Funcția $sin \frac{1}{x}$ , prelungită cu $0$ în origine, are primitive, deși nu este continuă acolo. Ce nu se poate niciodată este o discontinuitate de speța întâi: proprietatea lui Darboux o interzice.

De ce apare cuvântul interval în definiția primitivei?

Pentru că afirmația despre constantă cade în afara lui. Pe o reuniune de intervale, două primitive pot să difere prin numere deosebite pe fiecare bucată, cum se întâmplă cu $\frac{1}{x}$ pe mulțimea numerelor reale nenule. Lucrul se face separat, pe fiecare interval.

Ce teoremă stă la baza afirmației despre constantă?

Consecința teoremei lui Lagrange care spune că o funcție a cărei derivată se anulează peste tot pe un interval rămâne constantă acolo. Aplicată diferenței a două primitive ale aceleiași funcții, ea dă exact rezultatul căutat, fiindcă acea diferență are derivata nulă.

Ce formă are mulțimea tuturor primitivelor unei funcții?

Este ${F + c ∣ c \in R}$ , unde $F$ este oricare dintre ele. Graficele se obțin unul din altul prin mutare pe verticală, deci au aceeași formă și aceleași intervale de monotonie, doar așezate la înălțimi deosebite.

Ce se întâmplă pe cele două ramuri ale numerelor reale nenule?

Primitivele lui $\frac{1}{x}$ se scriu $ln ∣ x ∣ + c_{1}$ pe partea negativă și $ln ∣ x ∣ + c_{2}$ pe cea pozitivă, cu constante care nu au de ce să coincidă. De aceea rezultatul despre diferența constantă cere un interval, nu o reuniune.

Oamenii mai întreabă și: ce este o primitivă · primitivele diferă printr-o constantă · primitiva lui 1 supra x · funcții care admit primitive · primitiva printr-un punct dat