Șirul $$e_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$$ este convergent pentru că:

este strict crescător și mărginit, iar teorema lui Weierstrass se aplică

tabelul de valori arată că se stabilizează în jurul lui $$2{,}718$$

Cum apare numărul e ca limită de șir?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Numărul e și limita fundamentală

Din șirul cu termenul general $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ , care se dovedește crescător și mărginit superior, deci convergent; limita lui se notează $e$ și este aproximativ $2, 718$ . Baza se apropie de $1$ , iar exponentul crește, deci forma este nedeterminată, ceea ce explică de ce rezultatul nu este $1$ . Aceeași limită apare în orice expresie adusă la această formă.

Șirul $e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ este scrierea-etalon a nedeterminării $1^{\infty}$ : baza coboară spre $1$ , exponentul crește nemărginit. Scris cu binomul lui Newton, el se dovedește strict crescător (fiecare termen al dezvoltării crește, iar la $e_{n + 1}$ apare unul în plus) și mărginit, cu $2 \leq e_{n} < 3$ — majorarea folosește $k! \geq 2^{k - 1}$ și suma unei progresii geometrice.

Teorema lui Weierstrass închide cercul: șirul e convergent, iar limita lui definește un număr nou, $e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} \approx 2, 718$ , irațional și bază a logaritmului natural. Tabelul de valori nu ar fi demonstrat nimic: convergența e foarte lentă.

Limita fundamentală, în cele două forme echivalente: $(1 + \frac{1}{y _{n}})^{y_{n}} \to e$ pentru $y_{n} \to \pm \infty$ și $(1 + x_{n})^{\frac{1}{x _{n}}} \to e$ pentru $x_{n} \to 0$ , $x_{n} \neq = 0$ .

Rețeta pentru $1^{\infty}$ : verifici că baza tinde la $1$ și exponentul la infinit; scrii baza ca $1 + u_{n}$ ; construiești exponentul $\frac{1}{u _{n}}$ ; calculezi $c = n \to \infty lim b_{n} (a_{n} - 1)$ ; răspunzi $e^{c}$ . Pasul cu $c$ nu se sare: $1^{\infty}$ nu înseamnă automat $e$ — poate da $1$ , o putere oarecare a lui $e$ sau chiar $+ \infty$ . Înainte de toate, verifică baza: dacă ea nu tinde la $1$ , limita se citește dintr-un singur rând al tabelului operațiilor, iar rețeta ar fi timp pierdut.

De reținut

$lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e \approx 2, 718$
$lim (1 + \frac{1}{u _{n}})^{u_{n}} = e$ pentru orice $u_{n} \to \infty$
$1^{\infty}$ este nedeterminare, nu $1$

Greșeala tipică

Se scrie că limita este $1$ , fiindcă baza tinde la $1$ . Exponentul crește nemărginit în același timp, iar cele două tendințe se compensează parțial, dând un număr strict mai mare decât unu.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea limitei $n \to \infty lim (1 + \frac{3}{n})^{n}$ este:
- a) $e^{3}$
- b) $e$
- c) $3 e$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $e^{3}$

Baza tinde la $1$ și exponentul la $+ \infty$ : caz $1^{\infty}$ . Cu $u_{n} = \frac{3}{n}$ avem $\frac{1}{u _{n}} = \frac{n}{3}$ , deci $(1 + \frac{3}{n})^{n} = [(1 + \frac{3}{n})^{\frac{n}{3}}]^{3}$ ; paranteza tinde la $e$ , exponentul este constant $3$ . Același rezultat prin rețetă: $c = n \to \infty lim n \cdot \frac{3}{n} = 3$ .
Valoarea limitei $n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n ^{3}})^{n}$ este:
- a) $e$
- b) $e^{3}$
- c) $1$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1$

Este tot o nedeterminare $1^{\infty}$ , dar baza se apropie de $1$ mult mai repede decât crește exponentul: $c = n \to \infty lim n \cdot \frac{1}{n ^{3}} = n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} = 0$ , deci limita este $e^{0} = 1$ . Exemplul arată de ce pasul de calcul al lui $c$ este obligatoriu.
Șirul $e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ este convergent pentru că:
- a) tabelul de valori arată că se stabilizează în jurul lui $2, 718$
- b) baza lui tinde la $1$
- c) este mărginit
- d) este strict crescător și mărginit, iar teorema lui Weierstrass se aplică
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) este strict crescător și mărginit, iar teorema lui Weierstrass se aplică

Convergența cere ambele ipoteze: monotonia (din dezvoltarea binomială) și mărginirea ( $2 \leq e_{n} < 3$ ). Un tabel de valori nu demonstrează nimic — cu atât mai puțin aici, unde apropierea este foarte lentă. Nici mărginirea singură nu ajunge ( $((- 1)^{n})$ e mărginit fără limită), iar b) e chiar sursa nedeterminării, nu un argument.

Întrebări conexe

Ce valoare aproximativă are numărul e?

Aproximativ $2, 718281$ , un număr irațional și chiar transcendent. Primii termeni ai șirului sunt $2$ și $2, 25$ , deci apropierea de valoarea finală se face lent, ceea ce arată că aproximarea numerică nu este calea potrivită.

Ce limită are șirul cu 1 plus 2 supra n la puterea n?

Este $e^{2}$ . Se scrie exponentul sub forma $\frac{n}{2} \cdot 2$ și se aduce baza la forma fundamentală, cu $u_{n} = \frac{n}{2}$ . Paranteza astfel pregătită tinde la $e$ , iar factorul rămas la exponent ridică rezultatul la pătrat.

Cum aduc o limită de tip 1 la infinit la forma fundamentală?

Scrii baza ca $1 + \frac{1}{u _{n}}$ , cu $u_{n}$ tinzând la infinit, apoi potrivești exponentul înmulțind și împărțind cu $u_{n}$ . Ce rămâne în afara parantezei fundamentale dă exponentul lui $e$ .

Ce limită are 1 minus 1 supra n la puterea n?

Este $\frac{1}{e}$ . Baza se scrie ca $1 + \frac{1}{- n}$ , deci după aducerea la forma fundamentală rămâne un exponent egal cu $- 1$ . Rezultatul este așadar inversul numărului $e$ , adică aproximativ $0, 368$ .

Ce se întâmplă dacă exponentul crește mai repede decât numitorul?

Limita devine infinită. La $(1 + \frac{1}{n})^{n^{2}}$ , expresia se scrie ca puterea a $n$ -a a parantezei fundamentale, iar aceasta din urmă tinde la un număr mai mare decât $1$ . Forma $1^{\infty}$ nu duce, așadar, întotdeauna la o valoare finită.

De ce baza e este folosită la logaritmul natural?

Fiindcă în această bază creșterea și derivata funcției exponențiale coincid, ceea ce simplifică toate formulele de analiză. Alegerea nu este o convenție arbitrară, ci una care scoate constantele suplimentare din calcule.

Oamenii mai întreabă și: numărul e ca limită · limita fundamentală 1 plus 1 pe n la puterea n · de unde vine numărul e · cât este numărul e aproximativ