Ecuația $$x\,e^{-x} = m$$ are exact o soluție reală dacă și numai dacă:

$$m \le 0$$ sau $$m = \dfrac{1}{e}$$

Câte soluții are o ecuație cu parametru?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Numărul soluțiilor unei ecuații

Separi parametrul, aducând ecuația la forma $g (x) = m$ , apoi faci tabelul de variație al lui $g$ . Numărul soluțiilor este numărul ramurilor de monotonie a căror mulțime de valori îl conține pe $m$ , adică de câte ori dreapta orizontală $y = m$ taie graficul. Valorile de graniță ale discuției sunt chiar extremele din tabel; când $m$ este una dintre ele, soluția se numără o singură dată.

Numărul soluțiilor unei ecuații se citește din tabelul de variație, ramură cu ramură. O ramură este o porțiune a domeniului cu o singură săgeată, deci o porțiune pe care funcția e continuă și strict monotonă.

Criteriul ramurii: pe o asemenea porțiune, ecuația $f (x) = m$ are exact o soluție dacă $m$ aparține imaginii ramurii și niciuna în rest. „Cel mult una" vine din injectivitatea funcției strict monotone, iar „cel puțin una" din consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (teorema lui Bolzano). Numărul total de soluții este numărul ramurilor a căror imagine îl conține pe $m$ .

Când ecuația are un parametru, primul gest este separarea lui, sub forma $g (x) = m$ : numărul soluțiilor devine numărul punctelor în care dreapta orizontală $y = m$ taie graficul lui $g$ . Marele câștig este că un singur tabel rezolvă discuția pentru toate valorile parametrului deodată.

Valorile de graniță ale discuției sunt exact valorile extreme din tabel. Când $m$ este egal cu una dintre ele, punctul critic este capătul comun a două ramuri vecine, iar soluția se numără o singură dată: geometric, dreapta e tangentă graficului, algebric, două soluții s-au contopit.

Metoda funcționează și acolo unde nicio formulă nu ajută, ca la $ln x = x - 2$ sau la ecuațiile cu exponențiale. Înainte de a deriva, merită o transformare echivalentă care simplifică funcția.

De reținut

o ramură de monotonie dă cel mult o soluție
numărul soluțiilor este numărul ramurilor a căror imagine conține $m$
valorile extreme din tabel sunt granițele discuției

Greșeala tipică

Se numără de două ori soluția care apare într-un punct de extrem. Acolo cele două ramuri se ating, iar rădăcina se contopește într-una singură.

Exerciții din această mini-lecție

Numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^{3} - 12 x + 4 = 0$ este:
- a) $1$
- b) $3$
- c) $2$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$

Cu $f (x) = x^{3} - 12 x + 4$ avem $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12$ , cu rădăcinile $\pm 2$ și semnele $+$ , $-$ , $+$ . Valorile extreme sunt $f (- 2) = 20$ și $f (2) = - 12$ , iar limitele la capete sunt $- \infty$ și $+ \infty$ . Imaginile ramurilor, $(- \infty, 20]$ , $[- 12, 20]$ și $[- 12, + \infty)$ , îl conțin toate pe $0$ , deci ecuația are câte o soluție pe fiecare ramură.
Ecuația $x^{4} - 4 x^{2} = m$ are exact trei soluții reale:
- a) doar pentru $m = 0$
- b) pentru orice $m \in (- 4, 0)$
- c) doar pentru $m = - 4$
- d) pentru niciun $m$ real
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) doar pentru $m = 0$

$g^{'} (x) = 4 x^{3} - 8 x = 4 x (x^{2} - 2)$ are rădăcinile $- 2$ , $0$ , $2$ , cu $g (\pm 2) = - 4$ (minime globale) și $g (0) = 0$ (maxim local); limitele la $\pm \infty$ sunt $+ \infty$ . Dreapta $y = m$ taie graficul în patru puncte pentru $- 4 < m < 0$ , în două pentru $m = - 4$ și pentru $m > 0$ , în niciunul pentru $m < - 4$ . Exact trei intersecții apar numai la nivelul maximului local, adică pentru $m = 0$ .
Ecuația $x e^{- x} = m$ are exact o soluție reală dacă și numai dacă:
- a) $m > \frac{1}{e}$
- b) $0 < m < \frac{1}{e}$
- c) $m \leq 0$ sau $m = \frac{1}{e}$
- d) $m \geq 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $m \leq 0$ sau $m = \frac{1}{e}$

$g^{'} (x) = e^{- x} (1 - x)$ dă maximul global $g (1) = \frac{1}{e}$ ; limita la $- \infty$ este $- \infty$ , iar la $+ \infty$ este $0$ , fără să fie atinsă. Ramurile au imaginile $(- \infty, \frac{1}{e}]$ și $(0, \frac{1}{e}]$ . Pentru $m \leq 0$ doar prima ramură dă soluție; pentru $0 < m < \frac{1}{e}$ dau amândouă, deci sunt două; pentru $m = \frac{1}{e}$ ele se contopesc în $x = 1$ ; pentru $m > \frac{1}{e}$ nu există niciuna.

Întrebări conexe

Ce este criteriul ramurii la numărarea soluțiilor?

Pe o porțiune pe care funcția este continuă și strict monotonă, ecuația $f (x) = m$ are exact o soluție dacă $m$ se află în mulțimea de valori a acelei porțiuni, și niciuna altfel. „Cel mult una” vine din injectivitate, „cel puțin una” din teorema lui Bolzano.

Câte soluții are ecuația ln x egal x minus 2?

Două. Studiezi $h (x) = ln x - x + 2$ pe $(0, + \infty)$ : derivata $\frac{1}{x} - 1$ se anulează în $1$ , unde $h$ are maximul $1$ , pozitiv, iar la ambele capete $h$ coboară la $- \infty$ . Deci graficul taie axa de două ori.

De ce un singur tabel rezolvă discuția pentru toate valorile parametrului?

Fiindcă după separare parametrul nu mai apare în funcție, ci doar în dreapta orizontală. Tabelul lui $g$ se face o dată, iar discuția se poartă mutând nivelul $m$ în sus și în jos peste el. Acesta este câștigul mare al metodei.

Ce înseamnă geometric numărul de intersecții cu o dreaptă orizontală?

Este chiar numărul soluțiilor ecuației $g (x) = m$ . Fiecare punct de intersecție dă o valoare a lui $x$ pentru care funcția ia valoarea $m$ . Citirea vizuală ajută, dar concluzia se justifică prin tabel, nu prin desen.

De ce se cer limitele la capete în discuția numărului de soluții?

Fiindcă ele dau marginile imaginii fiecărei ramuri, iar tocmai imaginile hotărăsc pentru ce valori ale lui $m$ dreapta taie graficul. Fără limitele de la capete nu poți spune unde începe și unde se termină fiecare interval de valori.

Câte soluții are ecuația x la a treia minus 3x egal 1?

Trei. Cu $g (x) = x^{3} - 3 x$ obții $g^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1)$ , deci maximul local este $g (- 1) = 2$ , iar minimul local $g (1) = - 2$ . Nivelul $1$ se află strict între ele, așa că dreapta orizontală taie graficul pe fiecare dintre cele trei ramuri.

Oamenii mai întreabă și: numărul soluțiilor unei ecuații · discuția după parametru · ramură de monotonie · separarea parametrului · câte soluții are ecuația f de x egal m