Cum se compun două funcții?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Operații cu funcții și compunerea lor

Compunerea înseamnă să aplici o funcție rezultatului celeilalte: $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ , deci lucrezi de la dreapta spre stânga, întâi $f$ , apoi $g$ . Pentru $f (x) = 3 x + 2$ și $g (x) = x - 4$ obții $g (3 x + 2) = 3 x - 2$ . Operația are sens doar dacă valorile primei funcții cad în domeniul celei de a doua, iar ordinea contează: cealaltă compunere dă $3 x - 10$ .

Pentru $f : D_{f} \to R$ și $g : D_{g} \to R$ se definesc, pe $D = D_{f} \cap D_{g}$ : suma $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ , diferența $(f - g) (x) = f (x) - g (x)$ și produsul $(f \cdot g) (x) = f (x) g (x)$ . Raportul cere în plus $g (x) \neq = 0$ , deci domeniul lui $\frac{f}{g}$ este $D_{f} \cap D_{g}$ minus rădăcinile lui $g$ .

Compunerea: pentru $f : A \to B$ , $g : B \to C$ , funcția $g \circ f : A \to C$ este $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ — se lucrează de la dreapta la stânga, întâi $f$ , apoi $g$ . Compunerea are sens exact când $Im f \subseteq D_{g}$ .

Compunerea nu este comutativă: în general $g \circ f \neq = f \circ g$ , fapt infirmat printr-un simplu contraexemplu numeric — exact fenomenul din viața reală în care aplicarea unei reduceri procentuale și a unui voucher fix, în ordini diferite, dă rezultate financiare diferite. În schimb, compunerea este asociativă: $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$ , deci se scrie fără paranteze, indiferent de gruparea aleasă. Funcția identică $1_{A} (x) = x$ este element neutru la compunere: $f \circ 1_{A} = f = 1_{B} \circ f$ , întocmai cum $1$ este element neutru la înmulțire.

Prin compunere se transmit mai departe: monotonia (crescătoare $\circ$ crescătoare = crescătoare), injectivitatea și surjectivitatea, iar dacă $f$ este impară și $g$ este pară, atunci $g \circ f$ este pară. Toate aceste rezultate pregătesc direct funcția inversă, unde relația $f^{- 1} \circ f = 1_{A}$ folosește exact funcția identică și asociativitatea de aici.

De reținut

$(g \circ f) (x) = g (f (x))$ : întâi $f$ , apoi $g$
compunerea are sens dacă $Im f \subseteq D_{g}$
asociativă, dar nu comutativă
funcția identică este element neutru

Greșeala tipică

Se compune în ordinea în care sunt scrise literele, de la stânga la dreapta, deși prima aplicată este funcția din dreapta; verifică pe un număr, unde diferența se vede imediat.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f, g : R \to R$ , $f (x) = x + 5$ , $g (x) = 2 x - 8$ . Care este domeniul funcției $\frac{f}{g}$ ?
- a) $R$
- b) $R ∖ {4}$
- c) $R ∖ {- 5}$
- d) $[4, \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $R ∖ {4}$

Domeniul lui $\frac{f}{g}$ este $D_{f} \cap D_{g}$ din care se scot rădăcinile lui $g$ . Cum $D_{f} = D_{g} = R$ , rămâne doar condiția $g (x) \neq = 0$ , adică $2 x - 8 \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = 4$ . Deci domeniul este $R ∖ {4}$ .
Fie $f, g : R \to R$ , $f (x) = 3 x + 2$ , $g (x) = x - 4$ . Cât este $(g \circ f) (0) - (f \circ g) (0)$ ?
- a) $0$
- b) $8$
- c) $- 8$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8$

$(g \circ f) (x) = g (3 x + 2) = (3 x + 2) - 4 = 3 x - 2$ , deci $(g \circ f) (0) = - 2$ . $(f \circ g) (x) = f (x - 4) = 3 (x - 4) + 2 = 3 x - 10$ , deci $(f \circ g) (0) = - 10$ . Diferența este $- 2 - (- 10) = 8$ , ceea ce arată încă o dată că ordinea contează la compunere.
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x - 6$ , și $g : [0, \infty) \to R$ , $g (t) = t + 3$ . Pentru ce valori ale lui $x$ are sens $(g \circ f) (x)$ ?
- a) $x \in R$
- b) $x \geq 6$
- c) $x \leq 6$
- d) $x \geq - 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x \geq 6$

Expresia $g (f (x))$ are sens doar dacă $f (x)$ aparține domeniului lui $g$ , adică $f (x) \geq 0$ . Din $x - 6 \geq 0$ rezultă $x \geq 6$ . De exemplu $f (6) = 0 \in [0, \infty)$ , dar $f (5) = - 1 \in / [0, \infty)$ , deci compunerea nu are sens pentru $x = 5$ .

Întrebări conexe

Cum calculez f compus cu f, adică f de f de x?

Înlocuiești variabila din formula funcției cu întreaga ei expresie. Pentru $f (x) = 3 x - 4$ obții $f (3 x - 4) = 3 (3 x - 4) - 4 = 9 x - 16$ . Rezolvarea ecuației $9 x - 16 = x$ dă $x = 2$ , un număr pe care funcția îl lasă neschimbat.

Este compunerea funcțiilor asociativă?

Da. Indiferent cum grupezi trei funcții compuse, rezultatul este același, fiindcă la fiecare pas se calculează tot valoarea funcției aplicate rezultatului anterior. De aceea se scrie fără paranteze. Asociativitatea nu are legătură cu ordinea funcțiilor, care rămâne importantă.

Cum aflu f dacă știu g și compunerea lui g cu f?

Notezi expresia necunoscută cu $u$ și rezolvi ecuația în care $g$ aplicat lui $u$ dă rezultatul cerut. Dacă $g (x) = 2 x + 1$ și compunerea dă $6 x + 7$ , din $2 u + 1 = 6 x + 7$ obții $u = 3 x + 3$ , deci aceasta este formula căutată. Verifici înlocuind la loc.

Cum se adună și cum se înmulțesc două funcții?

Aduni sau înmulțești valorile, punct cu punct: rezultatul în fiecare $x$ este suma, respectiv produsul celor două valori. Domeniul noii funcții este partea comună a celor două domenii. La împărțire scoți în plus numerele care anulează numitorul.

Ce se întâmplă cu bijectivitatea la compunerea a două funcții?

Dacă amândouă sunt bijective și se pot compune, rezultatul este tot bijectiv. Injectivitatea se transmite fiindcă valori diferite rămân diferite după fiecare pas, iar surjectivitatea fiindcă orice țintă se atinge mergând înapoi prin cele două etape. Proprietatea este folosită apoi la funcția inversă.

Cum calculez compunerea când una dintre funcții e definită pe ramuri?

Te uiți în ce ramură cade rezultatul primei funcții și folosești formula potrivită acolo. Practic, împarți domeniul după condițiile care decid ramura și scrii compunerea separat pe fiecare bucată. Rezultatul iese tot o funcție definită pe ramuri.

Oamenii mai întreabă și: compunerea funcțiilor · cum se calculează g compus cu f · cum calculez f de g de x · compunere de funcții cu exemplu