Când are sens compunerea g ° f?

Când toate valorile lui f se află în domeniul lui g, adică Im f ⊆ D_g. Dacă nu se întâmplă asta, compunerea se poate defini doar pe o restricție a domeniului lui f.

Operații cu funcții; compunerea funcțiilor

Cumperi un telefon de $1200$ de lei. Magazinul are o reducere de $20%$ , iar tu ai și un voucher de $50$ de lei. Casiera te întreabă: „Aplicăm întâi reducerea sau întâi voucherul?" Pare o întrebare de politețe. Nu este: în primul caz plătești $1200 \cdot 0, 8 - 50 = 910$ lei, în al doilea $(1200 - 50) \cdot 0, 8 = 920$ lei. Zece lei diferență, doar din ordinea în care ai aplicat cele două operații.

Ce se întâmplă acolo este compunerea a două funcții: ieșirea uneia devine intrarea celeilalte, ca la o bandă de asamblare. Iar exemplul arată dintr-o lovitură cea mai importantă proprietate a compunerii — ordinea contează. În lecția aceasta învățăm mai întâi să adunăm, să înmulțim și să împărțim funcții (cu grijă la domenii), apoi construim compunerea, îi demonstrăm proprietățile și învățăm să calculăm $g \circ f$ inclusiv pentru funcții definite pe ramuri. Compunerea e și cheia lecției următoare: doar prin ea se poate defini riguros funcția inversă.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi suma, diferența, produsul și raportul a două funcții și să determini corect domeniul fiecăreia.
Vei ști să calculezi compusa $g \circ f$ și să verifici condiția care face compunerea posibilă.
Vei ști să demonstrezi că compunerea nu este comutativă, cu un contraexemplu bine ales.
Vei ști să demonstrezi asociativitatea compunerii și rolul funcției identice.
Vei ști să compui funcții definite pe ramuri sau cu module și să scrii rezultatul tot pe ramuri.
Vei ști ce proprietăți se transmit prin compunere (monotonie, injectivitate, paritate).

Hai să descoperim împreună

1. Suma și diferența a două funcții

Dacă $f : D_{f} \to R$ și $g : D_{g} \to R$ sunt două funcții numerice, putem construi funcții noi calculând, în fiecare punct, suma sau diferența valorilor.

Definiție. Pe mulțimea $D = D_{f} \cap D_{g}$ definim

$(f + g) (x) = f (x) + g (x), (f - g) (x) = f (x) - g (x) .$

Regula domeniului e simplă și trebuie respectată de fiecare dată: operația are sens doar acolo unde ambele funcții sunt definite, adică pe intersecția domeniilor. Dacă $f$ e definită pe $[0, 5]$ și $g$ pe $[3, 9]$ , atunci $f + g$ e definită pe $[3, 5]$ — atât.

Exemplu. $f, g : R \to R$ , $f (x) = 3 x + 2$ , $g (x) = x - 5$ . Atunci $(f + g) (x) = 4 x - 3$ și $(f - g) (x) = 2 x + 7$ , ambele pe $R$ . Observă că suma a două funcții afine este tot afină.

2. Produsul și raportul; capcana numitorului

Definiție. Pe $D = D_{f} \cap D_{g}$ definim produsul $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$ . Raportul se definește pe mulțimea mai mică

$D^{'} = {x \in D_{f} \cap D_{g} ∣ g (x) \neq = 0}, (\frac{f}{g}) (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )} .$

Aici e greșeala clasică: se scrie formula raportului și se uită excluderea zerourilor numitorului. Domeniul raportului nu este intersecția domeniilor, ci intersecția din care ai scos rădăcinile lui $g$ .

Exemplu. $f, g : R \to R$ , $f (x) = x + 1$ , $g (x) = 2 x - 6$ . Produsul $(f \cdot g) (x) = (x + 1) (2 x - 6) = 2 x^{2} - 4 x - 6$ e definit pe $R$ . Raportul însă cere $2 x - 6 \neq = 0$ , adică $x \neq = 3$ :

$(\frac{f}{g}) : R ∖ {3} \to R, (\frac{f}{g}) (x) = \frac{x + 1}{2 x - 6} .$

Verificăm două valori: în $x = 0$ obținem $\frac{1}{- 6} = - \frac{1}{6}$ , iar în $x = 4$ obținem $\frac{5}{2}$ . În $x = 3$ nu obținem nimic — punctul nu face parte din domeniu. Fiindcă domeniul e altul, funcția e alta: revezi discuția despre funcții egale, restricții și imagine.

3. Compunerea: banda de asamblare

Trecem la operația cea mai importantă. Ideea: trimiți un element prin prima funcție, iar rezultatul îl trimiți prin a doua.

Definiție. Fie $f : A \to B$ și $g : B \to C$ . Funcția compusă $g \circ f : A \to C$ este definită prin

$(g \circ f) (x) = g (f (x)), x \in A .$

Se citește „ $g$ compus cu $f$ " sau „ $g$ după $f$ ". Atenție la ordinea de lectură: se lucrează de la dreapta la stânga — întâi $f$ , apoi $g$ . Notația pare inversată, dar e naturală dacă o citești ca pe o scriere de funcții: în $g (f (x))$ , $f$ e cel dinăuntru, deci acționează primul.

Condiția de existență. Ca $g (f (x))$ să aibă sens, valoarea $f (x)$ trebuie să fie în domeniul lui $g$ . Deci compunerea $g \circ f$ este posibilă exact când

$Im f \subseteq D_{g} .$

Când $f : A \to B$ și $g : B \to C$ sunt date cu codomeniul lui $f$ egal cu domeniul lui $g$ , condiția e automat îndeplinită. Dacă nu, trebuie restrâns domeniul lui $f$ — vezi Exemplul 4.

Exemplu de calcul. $f, g : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ , $g (x) = 3 x - 4$ . Atunci

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (2 x + 1) = 3 (2 x + 1) - 4 = 6 x + 3 - 4 = 6 x - 1.$

Tehnica e mecanică: înlocuiești argumentul lui $g$ cu întreaga expresie a lui $f$ . Verificare numerică în $x = 2$ : $f (2) = 5$ , apoi $g (5) = 11$ ; formula dă $6 \cdot 2 - 1 = 11$ ✓. Încă una, în $x = - 1$ : $f (- 1) = - 1$ , $g (- 1) = - 7$ ; formula dă $- 6 - 1 = - 7$ ✓.

4. Compunerea NU este comutativă

Să calculăm și cealaltă compusă, cu aceleași funcții:

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (3 x - 4) = 2 (3 x - 4) + 1 = 6 x - 8 + 1 = 6 x - 7.$

Comparăm: $g \circ f$ dă $6 x - 1$ , iar $f \circ g$ dă $6 x - 7$ . Sunt funcții diferite — de exemplu, în $x = 0$ prima dă $- 1$ , a doua dă $- 7$ .

Concluzie. În general $g \circ f \neq = f \circ g$ . Ca să demonstrezi asta la un exercițiu, e suficient un contraexemplu: fie calculezi ambele formule și arăți că diferă, fie evaluezi într-un singur punct convenabil.

Uneori însă cele două compuse coincid — pentru anumite perechi de funcții sau pentru anumite valori ale parametrilor. Vei căuta un astfel de caz la exercițiul 10.

5. Asociativitatea: aici avem noroc

Dacă la comutativitate am pierdut, la asociativitate câștigăm — și încă în forma cea mai tare.

Teoremă. Fie $f : A \to B$ , $g : B \to C$ , $h : C \to D$ . Atunci

$(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f) .$

Demonstrație. Ambele funcții au domeniul $A$ și codomeniul $D$ , deci rămâne de arătat că iau aceleași valori. Fie $x \in A$ oarecare. Aplicând de fiecare dată definiția compunerii:

$((h \circ g) \circ f) (x) = (h \circ g) (f (x)) = h (g (f (x))),$

$(h \circ (g \circ f)) (x) = h ((g \circ f) (x)) = h (g (f (x))) .$

Cele două rezultate coincid pentru orice $x \in A$ , deci funcțiile sunt egale. $■$

Practic, asociativitatea înseamnă că poți scrie liniștit $h \circ g \circ f$ , fără paranteze: rezultatul nu depinde de gruparea aleasă, ci doar de ordinea funcțiilor. Verificare pe un exemplu: $f (x) = x + 1$ , $g (x) = 2 x$ , $h (x) = x - 3$ . Atunci $(g \circ f) (x) = 2 x + 2$ și $h \circ (g \circ f)$ dă $2 x - 1$ ; pe de altă parte $(h \circ g) (x) = 2 x - 3$ și $(h \circ g) \circ f$ dă $2 (x + 1) - 3 = 2 x - 1$ ✓. În $x = 5$ , ambele dau $9$ .

6. Funcția identică, elementul neutru

Definiție. Pentru o mulțime $A$ , funcția identică este $1_{A} : A \to A$ , $1_{A} (x) = x$ — funcția care „nu face nimic".

Propoziție. Pentru orice $f : A \to B$ avem $f \circ 1_{A} = f$ și $1_{B} \circ f = f$ .

Demonstrație. Pentru orice $x \in A$ : $(f \circ 1_{A}) (x) = f (1_{A} (x)) = f (x)$ și $(1_{B} \circ f) (x) = 1_{B} (f (x)) = f (x)$ , fiindcă $1_{B}$ lasă neschimbat orice element al lui $B$ . $■$

Funcția identică joacă la compunere exact rolul lui $1$ la înmulțirea numerelor: element neutru. Iar analogia merge mai departe și e miezul lecției următoare: așa cum un număr $a \neq = 0$ are un „invers" $a^{- 1}$ cu $a \cdot a^{- 1} = 1$ , o funcție bijectivă $f$ are o inversă $f^{- 1}$ cu $f^{- 1} \circ f = 1_{A}$ și $f \circ f^{- 1} = 1_{B}$ . Graficul ei se desenează, cum vom vedea, prin simetrie față de prima bisectoare.

7. Ce se transmite prin compunere

Compunerea păstrează multe dintre proprietățile studiate până acum. Iată trei rezultate utile, cu demonstrații scurte.

a) Monotonia. Dacă $f$ și $g$ sunt strict crescătoare, atunci $g \circ f$ este strict crescătoare.

Demonstrație. Fie $x_{1} < x_{2}$ . Din stricta creștere a lui $f$ : $f (x_{1}) < f (x_{2})$ . Aplicăm $g$ , care e la rândul ei strict crescătoare: $g (f (x_{1})) < g (f (x_{2}))$ , adică $(g \circ f) (x_{1}) < (g \circ f) (x_{2})$ . $■$

Analog se arată că o crescătoare compusă cu o descrescătoare dă o funcție descrescătoare — regula semnelor, transpusă la monotonie.

b) Injectivitatea. Dacă $f$ și $g$ sunt injective, atunci $g \circ f$ e injectivă. Demonstrația e cea din lecția despre funcții injective, surjective, bijective: din $g (f (x_{1})) = g (f (x_{2}))$ rezultă, prin injectivitatea lui $g$ , $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , apoi, prin injectivitatea lui $f$ , $x_{1} = x_{2}$ .

c) Paritatea. Dacă $f$ este impară și $g$ este pară, atunci $g \circ f$ este pară.

Demonstrație. $(g \circ f) (- x) = g (f (- x)) = g (- f (x)) = g (f (x)) = (g \circ f) (x)$ , unde am folosit întâi imparitatea lui $f$ , apoi paritatea lui $g$ (revezi funcții pare și impare). $■$

8. Compuneri cu module și funcții pe ramuri

Aici se cere cea mai multă atenție, fiindcă rezultatul trebuie rescris pe ramuri.

Cazul modulului. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = ∣ x ∣$ , și $g : R \to R$ , $g (x) = 2 x - 3$ , studiată în lecția despre funcția modul. Cele două compuneri sunt complet diferite:

$(f \circ g) (x) = f (2 x - 3) = ∣2 x - 3∣ = ⎩ ⎨ ⎧ 3 - 2 x, 2 x - 3, x < \frac{3}{2} x \geq \frac{3}{2}$

$(g \circ f) (x) = g (∣ x ∣) = 2∣ x ∣ - 3 = {- 2 x - 3, 2 x - 3, x < 0 x \geq 0$

Prima are vârful V-ului în $(\frac{3}{2}, 0)$ , a doua în $(0, - 3)$ . În plus, a doua este pară — se vede și din regula de la punctul 7c, dar și direct: $(g \circ f) (- 2) = 2 \cdot 2 - 3 = 1 = (g \circ f) (2)$ .

Cazul funcției pe ramuri. Fie $f (x) = {x + 1, 2 x, x \leq 0 x > 0$ și $g (x) = x - 1$ . Calculăm $(f \circ g) (x) = f (x - 1)$ . Regula de aur: condiția se pune asupra argumentului efectiv, adică asupra lui $x - 1$ , nu asupra lui $x$ .

dacă $x - 1 \leq 0$ , adică $x \leq 1$ : $f (x - 1) = (x - 1) + 1 = x$ ;
dacă $x - 1 > 0$ , adică $x > 1$ : $f (x - 1) = 2 (x - 1) = 2 x - 2$ .

Deci $(f \circ g) (x) = x$ pentru $x \leq 1$ și $2 x - 2$ pentru $x > 1$ . Verificare: în $x = 0$ , $g (0) = - 1$ și $f (- 1) = 0$ ✓; în $x = 3$ , $g (3) = 2$ și $f (2) = 4 = 2 \cdot 3 - 2$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cele patru operații, cu domenii

Fie $f, g : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 1$ și $g (x) = x - 3$ . Determinați $f + g$ , $f - g$ , $f \cdot g$ și $\frac{f}{g}$ , precizând domeniile.

Rezolvare. Domeniile fiind ambele $R$ , intersecția e tot $R$ .

$(f + g) (x) = (2 x - 1) + (x - 3) = 3 x - 4$ , pe $R$ ;
$(f - g) (x) = (2 x - 1) - (x - 3) = x + 2$ , pe $R$ ;
$(f \cdot g) (x) = (2 x - 1) (x - 3) = 2 x^{2} - 7 x + 3$ , pe $R$ ;
pentru raport punem condiția $g (x) \neq = 0$ , adică $x \neq = 3$ : $(\frac{f}{g}) (x) = \frac{2 x - 1}{x - 3}$ , pe $R ∖ {3}$ .

Verificare în $x = 1$ : $f (1) = 1$ , $g (1) = - 2$ ; suma $- 1 = 3 \cdot 1 - 4$ ✓, produsul $- 2 = 2 - 7 + 3$ ✓, raportul $- \frac{1}{2} = \frac{1}{- 2}$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Ambele compuneri și diferența dintre ele

Fie $f, g : R \to R$ , $f (x) = 4 x - 1$ , $g (x) = 3 - x$ . Calculați $(g \circ f) (x)$ , $(f \circ g) (x)$ , apoi $(f \circ g) (2)$ și $(g \circ f) (2)$ .

Rezolvare.

$(g \circ f) (x) = g (4 x - 1) = 3 - (4 x - 1) = 4 - 4 x,$ $(f \circ g) (x) = f (3 - x) = 4 (3 - x) - 1 = 11 - 4 x .$

Cele două funcții diferă (una are termenul liber $4$ , cealaltă $11$ ). În $x = 2$ : $(g \circ f) (2) = 4 - 8 = - 4$ , iar $(f \circ g) (2) = 11 - 8 = 3$ . Verificăm pas cu pas: $f (2) = 7$ , apoi $g (7) = - 4$ ✓; $g (2) = 1$ , apoi $f (1) = 3$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Compunere cu modul, scrisă pe ramuri

Fie $f (x) = ∣ x - 2∣$ și $g (x) = 3 x$ , ambele de la $R$ la $R$ . Calculați $(f \circ g) (x)$ și $(g \circ f) (x)$ și scrieți-le pe ramuri.

Rezolvare. $(f \circ g) (x) = f (3 x) = ∣3 x - 2∣$ . Punctul critic: $3 x - 2 = 0$ , deci $x = \frac{2}{3}$ .

$(f \circ g) (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 - 3 x, 3 x - 2, x < \frac{2}{3} x \geq \frac{2}{3}$

$(g \circ f) (x) = g (∣ x - 2∣) = 3∣ x - 2∣$ , cu punctul critic $x = 2$ :

$(g \circ f) (x) = {6 - 3 x, 3 x - 6, x < 2 x \geq 2$

Verificare în $x = 0$ : $(f \circ g) (0) = ∣ - 2 ∣ = 2$ , iar formula dă $2 - 0 = 2$ ✓; $(g \circ f) (0) = 3 \cdot 2 = 6$ , iar formula dă $6 - 0 = 6$ ✓. Cele două compuse sunt V-uri cu vârfuri și deschideri diferite. $■$

Exemplul 4 — Când compunerea nu are sens pe tot domeniul

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x - 4$ , și $g : [0, \infty) \to R$ , $g (t) = t + 1$ . Pentru ce valori ale lui $x$ are sens $(g \circ f) (x)$ ? Scrieți compusa.

Rezolvare. Expresia $g (f (x))$ are sens numai dacă $f (x)$ aparține domeniului lui $g$ , adică $f (x) \geq 0$ :

$x - 4 \geq 0 ⟺ x \geq 4.$

Prin urmare compunerea nu se poate defini pe tot $R$ , ci doar pe restricția lui $f$ la $[4, \infty)$ . Pe această mulțime:

$(g \circ f) (x) = g (x - 4) = (x - 4) + 1 = x - 3, x \in [4, \infty) .$

Verificare: în $x = 4$ obținem $1 = g (0)$ ✓; în $x = 10$ obținem $7 = g (6)$ ✓. Iar în $x = 1$ compunerea chiar nu are sens: $f (1) = - 3 \in / [0, \infty)$ . $■$

Exemplul 5 — Compunerea unei funcții cu ea însăși

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ . Calculați $(f \circ f) (x)$ și $(f \circ f \circ f) (x)$ , apoi rezolvați ecuația $(f \circ f) (x) = x$ .

Rezolvare.

$(f \circ f) (x) = f (2 x - 3) = 2 (2 x - 3) - 3 = 4 x - 9,$ $(f \circ f \circ f) (x) = f (4 x - 9) = 2 (4 x - 9) - 3 = 8 x - 21.$

Verificare în $x = 1$ : $f (1) = - 1$ , $f (- 1) = - 5$ , $f (- 5) = - 13$ ; formulele dau $4 - 9 = - 5$ ✓ și $8 - 21 = - 13$ ✓.

Ecuația: $4 x - 9 = x ⟺ 3 x = 9 ⟺ x = 3$ . Interesant: $f (3) = 3$ , deci $3$ rămâne pe loc și la o singură aplicare a lui $f$ — un punct fix. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră $f, g : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = x - 3$ . a) Calculați $(g \circ f) (x)$ și $(f \circ g) (x)$ . b) Rezolvați în $R$ ecuația $(g \circ f) (x) = (f \circ g) (x)$ . c) Arătați că $g \circ f$ este bijectivă.

Rezolvare. a) $(g \circ f) (x) = g (2 x + 1) = (2 x + 1) - 3 = 2 x - 2$ și $(f \circ g) (x) = f (x - 3) = 2 (x - 3) + 1 = 2 x - 5$ .

b) Ecuația devine $2 x - 2 = 2 x - 5$ , adică $- 2 = - 5$ — egalitate falsă, independentă de $x$ . Prin urmare mulțimea soluțiilor este $S = \emptyset$ : cele două compuse nu coincid în niciun punct, ceea ce confirmă spectaculos necomutativitatea.

c) $g \circ f$ este funcția afină $h (x) = 2 x - 2$ , cu panta $2 \neq = 0$ . Injectivă: din $2 x_{1} - 2 = 2 x_{2} - 2$ rezultă $x_{1} = x_{2}$ . Surjectivă: pentru $y \in R$ , ecuația $2 x - 2 = y$ are soluția $x = \frac{y + 2}{2} \in R$ . Deci $h$ e bijectivă. $■$

Observație: la punctul c) puteam invoca și rezultatul general — compusa a două funcții bijective este bijectivă, iar $f$ și $g$ sunt afine cu panta nenulă, deci bijective.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La operații, indică întotdeauna domeniul; la compuneri, verifică numeric rezultatul în cel puțin un punct.

1. Fie $f, g : R \to R$ , $f (x) = 3 x + 2$ , $g (x) = x - 5$ . Calculează $(f + g) (x)$ , $(f - g) (x)$ și $(f \cdot g) (x)$ , precizând domeniile.

2. Determină domeniul funcției $\frac{f}{g}$ pentru $f (x) = x + 1$ și $g (x) = 2 x - 6$ , definite pe $R$ , și calculează valorile în $x = 0$ și $x = 4$ .

3. Fie $f (x) = 4 x - 1$ și $g (x) = 3 - x$ , de la $R$ la $R$ . Calculează $(f \circ g) (2)$ și $(g \circ f) (2)$ .

4. Pentru $f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = 3 x - 4$ pe $R$ , calculează $(g \circ f) (x)$ și $(f \circ g) (x)$ și arată că cele două funcții sunt diferite.

5. Fie $f (x) = ∣ x ∣$ și $g (x) = 2 x - 3$ pe $R$ . Scrie $(f \circ g) (x)$ și $(g \circ f) (x)$ pe ramuri și precizează care dintre ele este pară.

6. Arată că, pentru orice funcție afină $f : R \to R$ , avem $f \circ 1_{R} = f = 1_{R} \circ f$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Compunerea funcțiilor este comutativă: $g \circ f = f \circ g$ pentru orice $f$ și $g$ ."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ și $g$ sunt strict crescătoare pe $R$ , atunci $g \circ f$ este strict crescătoare."

9. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ . Calculează $(f \circ f) (x)$ și rezolvă ecuația $(f \circ f) (x) = x$ .

10. Determină numărul real $a$ pentru care funcțiile $f (x) = 2 x + a$ și $g (x) = 3 x - 1$ , definite pe $R$ , verifică $f \circ g = g \circ f$ .

11. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x - 4$ , și $g : [0, \infty) \to R$ , $g (t) = t + 1$ . Pentru ce valori ale lui $x$ are sens $(g \circ f) (x)$ ? Scrie compusa pe acel domeniu.

12. (Problemă aplicată.) Un magazin oferă o reducere de $20%$ (funcția $r (x) = 0, 8 x$ ) și un voucher de $50$ de lei (funcția $v (x) = x - 50$ ). Pentru un produs de $200$ de lei, calculează $(v \circ r) (200)$ și $(r \circ v) (200)$ . Care ordine avantajează clientul? Dar pentru un produs de $500$ de lei — se schimbă concluzia?

13. Verifică asociativitatea pentru $f (x) = x + 1$ , $g (x) = 2 x$ , $h (x) = x - 3$ : calculează $(h \circ g) \circ f$ și $h \circ (g \circ f)$ ca formule, apoi evaluează ambele în $x = 5$ .

14. Fie $f (x) = {x + 1, 2 x, x \leq 0 x > 0$ și $g (x) = x - 1$ . Calculează $(f \circ g) (x)$ pe ramuri și verifică rezultatul în $x = 0$ și $x = 3$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f, g : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 2$ și $g (x) = x + 4$ . a) Calculați $(g \circ f) (x)$ . b) Rezolvați ecuația $(g \circ f) (x) = (f \circ g) (x)$ . c) Arătați că $f \circ g$ este bijectivă.

16. Fie $f : A \to B$ și $g : B \to C$ . Demonstrează că, dacă $g \circ f$ este injectivă, atunci $f$ este injectivă. (Este obligatoriu ca și $g$ să fie injectivă? Caută un exemplu.)

17. Fie $f : R \to R$ impară și $g : R \to R$ pară. Demonstrează că $g \circ f$ este pară și dă un exemplu concret cu funcții din lecție.

18. (Provocare.) Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ . Notăm $f^{[n]} = f \circ f \circ \dots \circ f$ ( $n$ compuneri). Calculează $f^{[2]}$ , $f^{[3]}$ , $f^{[4]}$ , intuiește formula generală a lui $f^{[n]} (x)$ și demonstreaz-o prin inducție matematică.

Răspunsuri și explicații

1. $(f + g) (x) = (3 x + 2) + (x - 5) = 4 x - 3$ ; $(f - g) (x) = (3 x + 2) - (x - 5) = 2 x + 7$ ; $(f \cdot g) (x) = (3 x + 2) (x - 5) = 3 x^{2} - 13 x - 10$ . Toate trei au domeniul $R \cap R = R$ . Verificare în $x = 1$ : $f (1) = 5$ , $g (1) = - 4$ , deci suma $1 = 4 - 3$ ✓ și produsul $- 20 = 3 - 13 - 10$ ✓.

2. Condiția $2 x - 6 \neq = 0$ dă $x \neq = 3$ , deci domeniul este $R ∖ {3}$ . Valorile: $(\frac{f}{g}) (0) = \frac{1}{- 6} = - \frac{1}{6}$ și $(\frac{f}{g}) (4) = \frac{5}{2}$ .

3. $g (2) = 1$ , deci $(f \circ g) (2) = f (1) = 3$ . $f (2) = 7$ , deci $(g \circ f) (2) = g (7) = - 4$ . Valori diferite — încă o dovadă că ordinea contează.

4. $(g \circ f) (x) = 3 (2 x + 1) - 4 = 6 x - 1$ și $(f \circ g) (x) = 2 (3 x - 4) + 1 = 6 x - 7$ . Diferă prin termenul liber; de exemplu, în $x = 0$ prima dă $- 1$ , a doua $- 7$ . Deci $g \circ f \neq = f \circ g$ .

5. $(f \circ g) (x) = ∣2 x - 3∣ = {3 - 2 x, 2 x - 3, x < \frac{3}{2} x \geq \frac{3}{2}$ și $(g \circ f) (x) = 2∣ x ∣ - 3 = {- 2 x - 3, 2 x - 3, x < 0 x \geq 0$ . A doua este pară: $(g \circ f) (- x) = 2∣ - x ∣ - 3 = 2∣ x ∣ - 3 = (g \circ f) (x)$ ; de exemplu, în $\pm 2$ ambele valori sunt $1$ . Prima nu e pară: în $x = 1$ dă $1$ , iar în $x = - 1$ dă $5$ .

6. Pentru orice $x \in R$ : $(f \circ 1_{R}) (x) = f (1_{R} (x)) = f (x)$ și $(1_{R} \circ f) (x) = 1_{R} (f (x)) = f (x)$ . Concret, pentru $f (x) = a x + b$ : $f (x) = a x + b$ în ambele cazuri. Funcția identică e element neutru la compunere.

7. Fals. Contraexemplu: $f (x) = 2 x + 1$ , $g (x) = 3 x - 4$ dau $g \circ f = 6 x - 1$ și $f \circ g = 6 x - 7$ — funcții diferite. Un singur contraexemplu infirmă o afirmație universală.

8. Adevărat. Fie $x_{1} < x_{2}$ . Cum $f$ e strict crescătoare, $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ; aplicând $g$ , tot strict crescătoare, obținem $g (f (x_{1})) < g (f (x_{2}))$ , adică $(g \circ f) (x_{1}) < (g \circ f) (x_{2})$ . $■$

9. $(f \circ f) (x) = 2 (2 x - 3) - 3 = 4 x - 9$ . Ecuația $4 x - 9 = x$ dă $3 x = 9$ , deci $x = 3$ . Verificare: $f (3) = 3$ și $(f \circ f) (3) = 3$ ✓ — punctul fix al funcției.

10. $(f \circ g) (x) = 2 (3 x - 1) + a = 6 x - 2 + a$ și $(g \circ f) (x) = 3 (2 x + a) - 1 = 6 x + 3 a - 1$ . Egalitatea pentru orice $x$ cere $- 2 + a = 3 a - 1$ , adică $- 1 = 2 a$ și $a = - \frac{1}{2}$ . Verificare cu $a = - \frac{1}{2}$ , în $x = 1$ : $f (g (1)) = f (2) = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ și $g (f (1)) = g (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2}$ ✓.

11. Condiția $f (x) \in [0, \infty)$ înseamnă $x - 4 \geq 0$ , deci $x \geq 4$ . Pe $[4, \infty)$ : $(g \circ f) (x) = (x - 4) + 1 = x - 3$ . Verificare: în $x = 4$ dă $1 = g (0)$ ✓; în $x = 1$ compunerea nu are sens, fiindcă $f (1) = - 3 \in / [0, \infty)$ .

12. $(v \circ r) (200) = v (160) = 110$ lei (întâi reducerea, apoi voucherul); $(r \circ v) (200) = r (150) = 120$ lei. Îl avantajează prima ordine: reducerea procentuală întâi, voucherul la sfârșit. Pentru $500$ lei: $(v \circ r) (500) = 400 - 50 = 350$ , iar $(r \circ v) (500) = 0, 8 \cdot 450 = 360$ — aceeași concluzie. Explicația: voucherul aplicat înainte de reducere e „tăiat" și el cu $20%$ , deci valorează doar $40$ de lei.

13. $(g \circ f) (x) = 2 (x + 1) = 2 x + 2$ , deci $h \circ (g \circ f)$ dă $2 x + 2 - 3 = 2 x - 1$ . Pe de altă parte $(h \circ g) (x) = 2 x - 3$ , deci $(h \circ g) \circ f$ dă $2 (x + 1) - 3 = 2 x - 1$ . Aceeași formulă ✓. În $x = 5$ : ambele dau $9$ .

14. Condiția se pune pe argumentul $x - 1$ : dacă $x - 1 \leq 0$ , adică $x \leq 1$ , atunci $f (x - 1) = (x - 1) + 1 = x$ ; dacă $x > 1$ , atunci $f (x - 1) = 2 (x - 1) = 2 x - 2$ . Deci $(f \circ g) (x) = x$ pentru $x \leq 1$ și $2 x - 2$ pentru $x > 1$ . Verificare: în $x = 0$ , $g (0) = - 1$ și $f (- 1) = 0$ ✓; în $x = 3$ , $g (3) = 2$ și $f (2) = 4 = 2 \cdot 3 - 2$ ✓.

15. a) $(g \circ f) (x) = (3 x - 2) + 4 = 3 x + 2$ . b) $(f \circ g) (x) = 3 (x + 4) - 2 = 3 x + 10$ ; ecuația $3 x + 2 = 3 x + 10$ devine $2 = 10$ , fals, deci $S = \emptyset$ . c) $f \circ g$ este funcția afină $3 x + 10$ , cu panta $3 \neq = 0$ : injectivă ( $3 x_{1} + 10 = 3 x_{2} + 10 \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ ) și surjectivă (pentru $y$ real, $x = \frac{y - 10}{3} \in R$ ), deci bijectivă.

16. Fie $x_{1}, x_{2} \in A$ cu $f (x_{1}) = f (x_{2})$ . Aplicând $g$ : $g (f (x_{1})) = g (f (x_{2}))$ , adică $(g \circ f) (x_{1}) = (g \circ f) (x_{2})$ . Cum $g \circ f$ e injectivă, rezultă $x_{1} = x_{2}$ , deci $f$ e injectivă. $■$ Pentru $g$ concluzia nu e obligatorie: fie $f : [0, \infty) \to R$ , $f (x) = x$ , și $g : R \to R$ , $g (x) = ∣ x ∣$ . Atunci $(g \circ f) (x) = ∣ x ∣ = x$ pe $[0, \infty)$ , deci $g \circ f$ e injectivă, deși $g$ nu este ( $g (- 1) = g (1) = 1$ ). Explicația: lui $g$ îi ajunge să fie injectivă pe $Im f$ , nu pe tot domeniul.

17. $(g \circ f) (- x) = g (f (- x)) = g (- f (x)) = g (f (x)) = (g \circ f) (x)$ , unde prima egalitate folosește imparitatea lui $f$ și a doua paritatea lui $g$ . Exemplu: $f (x) = 3 x$ (impară) și $g (x) = ∣ x ∣$ (pară) dau $(g \circ f) (x) = ∣3 x ∣ = 3∣ x ∣$ — evident pară.

18. $f^{[2]} (x) = 2 (2 x + 1) + 1 = 4 x + 3$ ; $f^{[3]} (x) = 2 (4 x + 3) + 1 = 8 x + 7$ ; $f^{[4]} (x) = 2 (8 x + 7) + 1 = 16 x + 15$ . Formula intuită: $f^{[n]} (x) = 2^{n} x + 2^{n} - 1$ . Demonstrație prin inducție: pentru $n = 1$ , $2 x + 1$ ✓. Presupunem $f^{[n]} (x) = 2^{n} x + 2^{n} - 1$ ; atunci $f^{[n + 1]} (x) = f (f^{[n]} (x)) = 2 (2^{n} x + 2^{n} - 1) + 1 = 2^{n + 1} x + 2^{n + 1} - 1$ ✓, exact formula pentru $n + 1$ . Deci ea e valabilă pentru orice $n \geq 1$ . Verificare în $x = 1$ : $f^{[3]} (1) = 8 + 7 = 15$ , iar aplicând de trei ori: $3 \to 7 \to 15$ ✓. $■$

De reținut

Suma, diferența și produsul a două funcții se definesc punct cu punct, pe intersecția domeniilor $D_{f} \cap D_{g}$ ; raportul cere în plus $g (x) \neq = 0$ .
$(g \circ f) (x) = g (f (x))$ — se lucrează de la dreapta la stânga: întâi $f$ , apoi $g$ . Compunerea are sens doar dacă $Im f \subseteq D_{g}$ .
Compunerea nu este comutativă: în general $g \circ f \neq = f \circ g$ ; se infirmă cu un contraexemplu.
Compunerea este asociativă: $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$ , deci se scrie fără paranteze. Funcția identică $1_{A}$ este element neutru: $f \circ 1_{A} = f = 1_{B} \circ f$ .
Prin compunere se transmit monotonia (crescătoare $\circ$ crescătoare = crescătoare), injectivitatea și surjectivitatea; iar dacă $f$ e impară și $g$ pară, $g \circ f$ e pară.

Greșeli frecvente

Confuzia dintre $g \circ f$ și $f \circ g$ . Notația se citește de la dreapta la stânga: în $g \circ f$ acționează întâi $f$ . Verifică mereu într-un punct numeric înainte să treci mai departe.
Uiți condiția $g (x) \neq = 0$ la raport. Domeniul lui $\frac{f}{g}$ este $D_{f} \cap D_{g}$ fără rădăcinile lui $g$ . O funcție cu alt domeniu este o altă funcție.
Compui fără să verifici $Im f \subseteq D_{g}$ . Dacă valorile lui $f$ ies din domeniul lui $g$ , compunerea nu există decât pe o restricție a lui $f$ .
La funcții pe ramuri, pui condiția pe $x$ în loc de argumentul efectiv. Pentru $f (x - 1)$ condiția se scrie asupra lui $x - 1$ , apoi se traduce în condiție pentru $x$ .
Confuzia $(f \cdot g) (x)$ cu $(f \circ g) (x)$ . Prima este produsul valorilor, a doua este compunerea. De exemplu, pentru $f (x) = x$ și $g (x) = x + 1$ : produsul dă $x^{2} + x$ , compunerea dă $x + 1$ .

Aplică acasă

Cel mai bun preț. Alege trei produse cu prețuri diferite dintr-un magazin online și două oferte: o reducere procentuală și un voucher fix. Calculează pentru fiecare produs cele două ordini de aplicare și notează diferența. Formulează apoi o regulă generală și încearcă să o justifici algebric, comparând $0, 8 x - v$ cu $0, 8 (x - v)$ .
Lanțul de conversii. Scrie funcția care transformă lei în euro (la cursul zilei) și funcția care transformă euro în dolari. Compune-le în ambele ordini și explică de ce doar una dintre compuneri are sens practic. Ce funcție ar trebui compusă cu prima ca să te întorci la lei?
Mașinării înlănțuite. Inventează două „mașinării": una care dublează numărul, alta care scade $7$ . Aplică-le în ambele ordini pentru cinci numere de start și completează un tabel cu rezultatele. Găsește numărul pentru care ambele ordini dau același rezultat și verifică-l algebric.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă conținutul „Funcții obținute prin operații algebrice elementare (sumă, diferență, produs, raport); compunerea funcțiilor" din programa de matematică-informatică pentru clasa a IX-a. Sunt două competențe distincte care se antrenează aici: corectitudinea domeniilor (mai ales la raport și la compunerea cu funcții definite pe submulțimi) și manevrarea algebrică a compunerii, unde elevul trebuie să substituie o expresie întreagă în locul argumentului. Demonstrațiile de asociativitate și de element neutru sunt cerute la nivel CS și pregătesc direct funcția inversă.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă $(g \circ f) (x)$ și care funcție acționează prima?" ( $g (f (x))$ , prima e $f$ ); „Care e domeniul lui $\frac{f}{g}$ ?"; „Este compunerea comutativă? Dă un contraexemplu."; „Ce rol are funcția identică la compunere?" (element neutru). Semne că a înțeles: verifică singur rezultatul într-un punct numeric, pune condiția pe argumentul efectiv la funcțiile pe ramuri și nu confundă produsul cu compunerea.

La Bacalaureatul M1, compunerea apare constant în subiectul II și în problemele cu funcții din subiectul I: calculul lui $f \circ f$ , rezolvarea ecuațiilor de tipul $(f \circ f) (x) = x$ , determinarea unor parametri din condiții de tip $f \circ g = g \circ f$ și demonstrarea bijectivității unor compuse. Este și fundamentul lecției despre funcția inversă, unde relațiile $f^{- 1} \circ f = 1_{A}$ și $f \circ f^{- 1} = 1_{B}$ definesc totul.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă $g \circ f$ și cum se citește? Se citește „ $g$ compus cu $f$ " și înseamnă $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ : aplici întâi $f$ , apoi $g$ asupra rezultatului. Ordinea de lucru e de la dreapta la stânga, chiar dacă notația pare să sugereze invers.

Cum calculez practic compunerea a două funcții? Înlocuiești argumentul funcției exterioare cu întreaga expresie a celei interioare. De exemplu, pentru $f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = 3 x - 4$ : $(g \circ f) (x) = 3 (2 x + 1) - 4 = 6 x - 1$ . Verifică apoi într-un punct numeric.

De ce compunerea nu este comutativă? Pentru că ordinea operațiilor schimbă rezultatul, exact ca la reducere și voucher într-un magazin. Un contraexemplu ajunge: $g \circ f = 6 x - 1$ , dar $f \circ g = 6 x - 7$ pentru funcțiile de mai sus.

Care este domeniul sumei a două funcții? Intersecția domeniilor, $D_{f} \cap D_{g}$ — operația are sens doar acolo unde ambele funcții sunt definite. La raport se scot în plus punctele în care numitorul se anulează.

Când are sens compunerea $g \circ f$ ? Când toate valorile lui $f$ se află în domeniul lui $g$ , adică $Im f \subseteq D_{g}$ . Dacă nu se întâmplă asta, compunerea se poate defini doar pe o restricție a domeniului lui $f$ .

Ce este funcția identică și la ce folosește? Este $1_{A} (x) = x$ , funcția care lasă totul neschimbat. La compunere se comportă ca $1$ la înmulțire: $f \circ 1_{A} = f = 1_{B} \circ f$ . Cu ea se definește riguros funcția inversă, prin $f^{- 1} \circ f = 1_{A}$ .

Care e diferența dintre $f \cdot g$ și $f \circ g$ ? $(f \cdot g) (x)$ este produsul valorilor, $f (x) \cdot g (x)$ ; $(f \circ g) (x)$ este $f (g (x))$ , adică rezultatul aplicării succesive. Pentru $f (x) = x$ și $g (x) = x + 1$ : produsul dă $x^{2} + x$ , compunerea dă $x + 1$ .

Se păstrează monotonia prin compunere? Da, după regula semnelor: crescătoare $\circ$ crescătoare și descrescătoare $\circ$ descrescătoare dau funcții crescătoare, iar o crescătoare compusă cu o descrescătoare dă o funcție descrescătoare.