Care dintre următoarele afirmații despre funcția $$\operatorname{tg}$$ este adevărată?

Este continuă pe tot domeniul ei maxim de definiție

Este discontinuă în $$\dfrac{\pi}{2}$$

Are puncte de discontinuitate de speța a II-a în $$\dfrac{\pi}{2}+k\pi$$

Funcția $$f(x)=\sin\left(x^{2}+1\right)$$ este continuă:

pe $$\mathbb{R}$$, fiind compunerea a două funcții continue

numai în punctele în care $$x^{2}+1$$ este multiplu de $$\pi$$

Sunt funcțiile uzuale continue peste tot?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Continuitatea pe o mulțime. Operații cu funcții continue

Sunt continue pe tot domeniul lor maxim, nu pe toată dreapta reală: polinoamele, funcțiile raționale, radicalii, exponențialele, logaritmii și cele trigonometrice. Deosebirea contează la formulare — tangenta nu este discontinuă în $\frac{π}{2}$ , pur și simplu nu e definită acolo. Cum operațiile și compunerea păstrează continuitatea, orice expresie clădită din funcții uzuale rămâne continuă pe domeniul ei.

$f$ este continuă pe mulțimea $A$ dacă e continuă în fiecare punct al lui $A$ . La un capăt închis al unui interval se cere doar continuitatea laterală dinspre interior: pentru $x$ în $0$ se verifică numai $x \to 0 x > 0 lim x = 0 = f (0)$ .

Funcțiile uzuale — polinomiale, raționale, radicali, exponențiale, logaritmice, trigonometrice — sunt continue pe tot domeniul lor maxim. Formularea corectă contează: $tg$ nu este „discontinuă în $\frac{π}{2}$ ”, ci pur și simplu nu e definită acolo, iar despre continuitate se discută numai în punctele domeniului.

Operațiile păstrează continuitatea: $f + g$ , $f - g$ , $α f$ , $f \cdot g$ , $∣ f ∣$ și $\frac{f}{g}$ (unde $g (x_{0}) \neq = 0$ ). Atenție la sensul unic: din $f$ continuă rezultă $∣ f ∣$ continuă, nu invers.

Compunerea: dacă $u$ e continuă în $x_{0}$ și $f$ e continuă în $u (x_{0})$ , atunci $f \circ u$ e continuă în $x_{0}$ — se demonstrează cu șiruri, fără niciun calcul. De aici, orice expresie construită din funcții uzuale prin operații și compuneri este continuă pe domeniul ei maxim.

Inversa unei funcții continue și bijective, definită pe un interval, este continuă (se admite fără demonstrație). Metoda de lucru are patru pași: domeniul, construcția, concluzia, iar separat racordurile, la funcțiile pe ramuri.

De reținut

funcțiile uzuale sunt continue pe domeniul lor maxim
suma, produsul, câtul cu numitor nenul și compunerea păstrează continuitatea
din $∣ f ∣$ continuă nu rezultă $f$ continuă

Greșeala tipică

Se spune că tangenta este discontinuă în punctele în care cosinusul se anulează. Formularea corectă spune că funcția lipsește acolo; despre continuitate se vorbește doar unde funcția chiar există.

Exerciții din această mini-lecție

Domeniul de continuitate al funcției $f (x) = \frac{x - 2}{x - 5}$ este:
- a) $[2, + \infty)$
- b) $[2, 5) \cup (5, + \infty)$
- c) $(2, 5) \cup (5, + \infty)$
- d) $R ∖ {5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[2, 5) \cup (5, + \infty)$

Condițiile de existență: $x - 2 \geq 0$ (radical de ordin par) și $x - 5 \neq = 0$ , deci $D = [2, 5) \cup (5, + \infty)$ . Pe $D$ , funcția este un cât de funcții continue cu numitorul nenul, deci continuă peste tot; domeniul de continuitate coincide cu $D$ . Varianta c) exclude greșit capătul $2$ , care aparține domeniului.
Care dintre următoarele afirmații despre funcția $tg$ este adevărată?
- a) Este continuă pe tot domeniul ei maxim de definiție
- b) Este discontinuă în $\frac{π}{2}$
- c) Are puncte de discontinuitate de speța a II-a în $\frac{π}{2} + k π$
- d) Nu este continuă nicăieri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Este continuă pe tot domeniul ei maxim de definiție

Ca raport $\frac{sin x}{cos x}$ de funcții continue, cu numitorul nenul pe domeniu, tangenta este continuă în fiecare punct al lui $R ∖ {\frac{π}{2} + k π k \in Z}$ . Variantele b) și c) folosesc greșit cuvântul „discontinuă”: un punct de discontinuitate aparține domeniului, iar $\frac{π}{2}$ nu îi aparține.
Funcția $f (x) = sin (x^{2} + 1)$ este continuă:
- a) numai pe $[0, + \infty)$
- b) numai în punctele în care $x^{2} + 1$ este multiplu de $π$
- c) nicăieri, fiind o compunere
- d) pe $R$ , fiind compunerea a două funcții continue
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) pe $R$ , fiind compunerea a două funcții continue

Avem $f = g \circ u$ , cu $u (x) = x^{2} + 1$ polinomială (continuă pe $R$ ) și $g (t) = sin t$ continuă pe $R$ . Prin teorema compunerii, $f$ este continuă în fiecare punct real. Compunerea păstrează continuitatea, nu o distruge — de aceea c) e falsă.

Întrebări conexe

Este continuă funcția obținută prin împărțirea a două funcții continue?

Da, în toate punctele în care numitorul nu se anulează. Acolo unde el se anulează, funcția nici nu e definită, deci întrebarea nu se pune. Astfel $\frac{x + 1}{x - 3}$ rămâne continuă în orice punct diferit de $3$ , iar $3$ oricum lipsește din domeniu.

Unde este continuă funcția radical din x?

Pe toată mulțimea $[0, + \infty)$ , inclusiv în capătul $0$ , unde se cere doar continuitatea dinspre dreapta. Atenție la deosebirea față de derivabilitate: aceasta se pierde în $0$ , deși continuitatea rămâne.

Rămâne continuă o funcție înmulțită cu o constantă?

Da, oricare ar fi constanta. La fel se comportă suma, diferența, produsul și modulul: toate păstrează continuitatea pe mulțimea comună a celor două funcții. Sensul invers însă nu funcționează — din $∣ f ∣$ continuă nu rezultă $f$ continuă.

Cum arăt continuitatea unei expresii cu logaritm și radical?

Stabilești întâi domeniul maxim, apoi spui din ce funcții uzuale este clădită expresia și prin ce operații. Cum fiecare bucată e continuă și operațiile păstrează proprietatea, concluzia vine imediat. Rezolvarea are trei rânduri: domeniul, construcția, concluzia.

Ce se verifică separat la o funcție continuă definită pe ramuri?

Punctele de racord, acolo unde formula se schimbă. În rest, fiecare bucată este o expresie uzuală și moștenește continuitatea. Așa se ajunge la o rezolvare scurtă: o propoziție pentru interioare, un calcul pentru fiecare racord.

Poate ieși continuă suma dintre o funcție continuă și una discontinuă?

Nu. Dacă suma ar fi continuă, atunci scăzând din ea funcția continuă ai obține tot o funcție continuă, adică chiar pe cea despre care știai că nu este. La produs însă se poate: înmulțind funcția semn, discontinuă în zero, cu $x$ , iese modulul, care este continuu.

Oamenii mai întreabă și: funcții continue pe o mulțime · operații cu funcții continue · domeniul de continuitate · compunerea funcțiilor continue · sunt polinoamele continue