Studiați existența limitei funcției $$f(x)=\dfrac{x+5}{x-4}$$ în punctul $$4$$.

limita nu există, deoarece $$l_s(4)=-\infty$$ și $$l_d(4)=+\infty$$

limita există și este $$+\infty$$

limita nu există, deoarece $$l_s(4)=+\infty$$ și $$l_d(4)=-\infty$$

Care sunt regulile de calcul cu limite?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Operații cu limite de funcții

Dacă amândouă funcțiile au limită într-un punct, atunci suma, diferența, produsul, câtul, modulul și puterea lor au ca limită rezultatul aceleiași operații făcute cu cele două limite — cu condiția ca operația să aibă sens. Pentru $f \to 3$ și $g \to 5$ obții $f + g \to 8$ și $f g \to 15$ . Regula câtului cere numitor cu limită nenulă; altfel se trece la studiul semnului și la laterale.

Definiția cu șiruri mută toate regulile de la șiruri în lumea funcțiilor. Dacă $x \to x_{0} lim f (x) = ℓ_{1}$ și $x \to x_{0} lim g (x) = ℓ_{2}$ , atunci limita sumei, a diferenței, a produsului, a câtului (cu $ℓ_{2} \neq = 0$ ), a modulului și a puterii se obține din $ℓ_{1}$ și $ℓ_{2}$ — de fiecare dată când operația are sens în $\overline{R}$ . Ipoteza aceasta nu e decor: ea marchează granița dincolo de care începe prelucrarea.

Se transportă și trei proprietăți: unicitatea limitei; caracterul local (limita depinde doar de valorile lui $f$ în jurul lui $x_{0}$ , fără $x_{0}$ ) — el dă dreptul de a simplifica un factor care se anulează în $x_{0}$ ; trecerea la limită în inegalități, care păstrează doar $\leq$ , chiar dacă între funcții inegalitatea era strictă.

Când numitorul tinde la $0$ , regula câtului nu se aplică: decide semnul, cu $\frac{a}{0 ^{+}}$ și $\frac{a}{0 ^{-}}$ de semne opuse. Dacă semnul se schimbă la trecerea prin $x_{0}$ , se scriu două limite laterale și, de regulă, limita nu există.

La funcția compusă se face substituție $y = u (x)$ , legitimă doar dacă $u (x) \neq = u_{0}$ pe o vecinătate a lui $x_{0}$ .

Cele șapte nedeterminări: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$ .

De reținut

limita sumei, a produsului și a câtului se obține din cele două limite, când operația are sens
la cât se cere limita numitorului nenulă
cele șapte nedeterminări: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$

Greșeala tipică

Se aplică regula câtului și când numitorul tinde la zero, scriindu-se un rezultat infinit fără semn. Acolo se studiază semnul numitorului pe fiecare parte și se scriu limitele laterale.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} - 1}$ .
- a) $3$
- b) $\frac{9}{5}$
- c) $1$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3$

Numitorul are limita $2^{2} - 1 = 3 \neq = 0$ , deci regula câtului se aplică fără rezerve: limita este $\frac{2 ^{2} + 5}{3} = \frac{9}{3} = 3$ . Nu este niciun caz de nedeterminare — prezența lui $x^{2}$ sus și jos nu înseamnă nimic în sine, contează limitele.
Studiați existența limitei funcției $f (x) = \frac{x + 5}{x - 4}$ în punctul $4$ .
- a) limita există și este $+ \infty$
- b) limita nu există, deoarece $l_{s} (4) = - \infty$ și $l_{d} (4) = + \infty$
- c) limita nu există, deoarece $l_{s} (4) = + \infty$ și $l_{d} (4) = - \infty$
- d) limita există și este $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) limita nu există, deoarece $l_{s} (4) = - \infty$ și $l_{d} (4) = + \infty$

Numărătorul are limita $9 > 0$ , iar numitorul limita $0$ . Semnul numitorului: $x - 4 < 0$ pentru $x < 4$ (deci $\frac{9}{0 ^{-}} = - \infty$ ) și $x - 4 > 0$ pentru $x > 4$ (deci $\frac{9}{0 ^{+}} = + \infty$ ). Fiind diferite, funcția nu are limită în $4$ . Varianta c) inversează semnele.
Calculați $x \to 5 lim 3 x + 1$ , folosind substituția.
- a) $16$
- b) $15$
- c) $5$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $4$

Notăm $y = 3 x + 1$ ; cum $x \to 5$ , avem $y \to 16$ , iar $y \neq = 16$ pentru $x \neq = 5$ , deci ipoteza substituției e îndeplinită. Rămâne $y \to 16 lim y = 4$ . Varianta a) se oprește la valoarea lui $y$ , fără să mai aplice radicalul.

Întrebări conexe

Când nu are sens o operație cu limite infinite?

Când rezultatul nu poate fi hotărât din cele două valori: $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ și $0^{0}$ . Acestea sunt situațiile în care regulile se opresc și începe prelucrarea expresiei.

Ce spune caracterul local al limitei unei funcții?

Că rezultatul depinde numai de valorile din jurul punctului, punctul însuși fiind exclus. De aici vine dreptul de a înlocui expresia cu una egală pe o vecinătate din care ai scos $x_{0}$ . Tot de aici vine și dreptul de a simplifica.

Am voie să simplific un factor care se anulează în punct?

Da, atât timp cât scrii justificarea: lucrezi cu $x \neq = x_{0}$ , deci factorul nu se anulează. La $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ simplifici cu $x - 3$ și rămâne $x + 3$ , care în $3$ dă $6$ . Propoziția „pentru $x \neq = 3$ avem…” se cere în barem.

Ce se păstrează la trecerea la limită în inegalități?

Se păstrează numai inegalitatea nestrictă. Chiar dacă $f (x) < g (x)$ peste tot în jurul punctului, despre limite se poate afirma doar că prima este mai mică sau egală cu a doua. De pildă $- x^{2} < x^{2}$ pentru $x \neq = 0$ , iar limitele sunt amândouă $0$ .

Cât este limita produsului a două funcții?

Produsul limitelor, dacă ele există și înmulțirea are sens. La $f \to 4$ și $g \to - 2$ rezultatul este $- 8$ . Când o limită este $0$ , iar cealaltă infinită, regula nu se aplică: apare nedeterminarea $0 \cdot \infty$ , care cere o prelucrare.

Când este legitimă substituția la limita unei funcții compuse?

Când notezi $y = u (x)$ și poți arăta că $u (x)$ rămâne diferit de valoarea-limită pe o vecinătate din care ai scos punctul. Fără condiția aceasta, drumul prin funcția din exterior poate da un rezultat fals. Condiția se scrie explicit, baremul o cere.

Oamenii mai întreabă și: operații cu limite · limita sumei a două funcții · limita produsului · limita câtului · reguli de calcul cu limite de funcții