Regula $$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{a}{b}$$ se poate folosi numai dacă:

ambele șiruri sunt convergente și $$b\ne0$$

$$b_n\ne0$$ pentru orice $$n\ge1$$

ambele șiruri au limită în $$\overline{\mathbb{R}}$$

Se știe că șirul $$(a_n+b_n)$$ este convergent. Rezultă că:

nu rezultă nimic despre $$(a_n)$$ și $$(b_n)$$ luate separat

$$(a_n)$$ și $$(b_n)$$ sunt amândouă convergente

cel puțin unul dintre șiruri are limită

Cum se adună și se înmulțesc limitele?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Operații cu șiruri convergente

Se calculează separat și se combină: limita sumei este suma limitelor, limita produsului este produsul lor, iar limita raportului este raportul, cu condiția ca limita numitorului să nu fie zero. Astfel, dacă $a_{n} \to 3$ și $b_{n} \to 5$ , atunci $a_{n} + b_{n} \to 8$ și $a_{n} b_{n} \to 15$ . Regulile cer ca fiecare șir în parte să fie convergent, altfel nu se pot aplica.

Dacă $a_{n} \to a$ și $b_{n} \to b$ , cu $a$ și $b$ finite, atunci limita sumei este $a + b$ , a diferenței $a - b$ , a produsului $ab$ , iar a câtului $\frac{a}{b}$ — ultima numai dacă $b \neq = 0$ . Se adaugă $n \to \infty lim (λ a_{n}) = λa$ , $n \to \infty lim ∣ a_{n} ∣ = ∣ a ∣$ , $n \to \infty lim a_{n}^{p} = a^{p}$ , iar la radical și la puterea cu exponent variabil se cer, în plus, termeni pozitivi, respectiv bază cu limită strict pozitivă.

Demonstrația sumei împarte bugetul de eroare: fiecare șir primește $\frac{ε}{2}$ , iar inegalitatea modulului sumei le pune la loc. La produs se folosește faptul că orice șir convergent este mărginit — altfel o eroare mică a unui factor ar putea fi amplificată nemărginit de celălalt.

Rețeta de calcul are trei pași: descompui expresia în bucăți cu limite cunoscute, verifici ipotezele (toate bucățile convergente, numitor cu limită nenulă, număr fix de bucăți), apoi recompui. Pasul al doilea este cel punctat în barem.

Două capcane. Regulile cer limite finite: la $\frac{3 n + 1}{n + 2}$ nu se aplică nimic direct, fiindcă nicio bucată nu este convergentă. Și regulile merg într-un singur sens: din $a_{n} = (- 1)^{n}$ , $b_{n} = (- 1)^{n + 1}$ suma este constant $0$ , deși niciun șir nu are limită. Nici o sumă cu un număr de termeni care crește o dată cu $n$ nu intră aici.

De reținut

$lim (a_{n} + b_{n}) = lim a_{n} + lim b_{n}$ ; la fel pentru produs
$lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{lim a _{n}}{lim b _{n}}$ , dacă $lim b_{n} \neq = 0$
Regulile cer ca AMBELE șiruri să fie convergente

Greșeala tipică

Se aplică regula sumei la două șiruri care tind amândouă la infinit, obținându-se zero prin scădere. Regulile sunt scrise pentru șiruri convergente, iar acolo apare o nedeterminare, nu un rezultat.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $a_{n} = 4 - \frac{2}{n}$ și $b_{n} = 1 + \frac{3}{n ^{2}}$ . Atunci $n \to \infty lim (a_{n} b_{n})$ este:
- a) $3$
- b) $4$
- c) $5$
- d) limita nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4$

Bucățile: $\frac{2}{n} \to 0$ și $\frac{3}{n ^{2}} \to 0$ , deci $a_{n} \to 4$ și $b_{n} \to 1$ , ambele finite. Regula produsului dă $4 \cdot 1 = 4$ . Varianta a) ar fi diferența, iar c) suma limitelor. Control numeric: pentru $n = 1000$ produsul este $3, 998$ .
Regula $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{a}{b}$ se poate folosi numai dacă:
- a) $b_{n} \neq = 0$ pentru orice $n \geq 1$
- b) ambele șiruri sunt monotone
- c) ambele șiruri sunt convergente și $b \neq = 0$
- d) ambele șiruri au limită în $\overline{R}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ambele șiruri sunt convergente și $b \neq = 0$

Se cer limite finite și limita numitorului nenulă. Condiția $b \neq = 0$ garantează chiar ea că $b_{n} \neq = 0$ de la un rang încolo, deci a) nu este necesară (poate fi $b_{1} = 0$ , ca la $b_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ ). Fără $b \neq = 0$ rezultatul poate fi orice: $\frac{1/ n}{1/ n ^{2}} = n \to + \infty$ , dar $\frac{1/ n ^{2}}{1/ n} = \frac{1}{n} \to 0$ .
Se știe că șirul $(a_{n} + b_{n})$ este convergent. Rezultă că:
- a) $(a_{n})$ și $(b_{n})$ sunt amândouă convergente
- b) cel puțin unul dintre șiruri are limită
- c) $(a_{n})$ este mărginit
- d) nu rezultă nimic despre $(a_{n})$ și $(b_{n})$ luate separat
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nu rezultă nimic despre $(a_{n})$ și $(b_{n})$ luate separat

Regulile merg numai dinspre bucăți spre întreg. Contraexemplul standard: $a_{n} = (- 1)^{n}$ și $b_{n} = (- 1)^{n + 1}$ dau $a_{n} + b_{n} = 0$ pentru orice $n$ , deci suma este convergentă, deși niciunul dintre cele două șiruri nu are limită și nici nu se poate spune ceva despre ele din convergența sumei.

Întrebări conexe

Ce limită are produsul dintre un șir convergent și o constantă?

Limita se înmulțește cu acea constantă: dacă $a_{n} \to 4$ , atunci $7 a_{n} \to 28$ . Regula iese din cea a produsului, luând drept al doilea factor șirul constant format din acel număr.

Cum calculez limita unui raport de două șiruri convergente?

Împarți limitele, dacă cea de la numitor nu este zero. Când numitorul tinde la zero, regula nu se aplică, iar rezultatul depinde de comportarea numărătorului: poate ieși infinit sau o nedeterminare.

Ce se întâmplă cu limita la ridicarea la putere?

Pentru un exponent fix, limita se ridică la acea putere: din $a_{n} \to 2$ iese $a_{n}^{3} \to 8$ . Când însă exponentul depinde de rang, regula nu mai este valabilă, iar cazul $1^{\infty}$ devine nedeterminare.

Cum calculez limita șirului 2n plus 1 supra n plus 3?

Împarți numărătorul și numitorul la $n$ , cea mai mare putere prezentă. Rămân $2 + \frac{1}{n}$ și $1 + \frac{3}{n}$ , ale căror limite sunt $2$ și $1$ , deci rezultatul este $2$ .

Ce limită are radicalul unui șir convergent?

Radicalul limitei, dacă expresia are sens: din $a_{n} \to 9$ iese $a_{n} \to 3$ . Se cere ca termenii să fie nenegativi de la un rang încolo, altfel radicalul nu poate fi calculat.

Cum aflu limita unei sume cu tot mai mulți termeni?

Nu prin adunarea limitelor: regula funcționează pentru un număr fix de șiruri, nu pentru o sumă a cărei lungime crește odată cu rangul. Suma a $n$ termeni egali cu $\frac{1}{n}$ face mereu $1$ , deși fiecare termen tinde la zero.

Oamenii mai întreabă și: operații cu limite de șiruri · limita sumei și a produsului · reguli de calcul cu limite · limita raportului a două șiruri