Costul total al producerii a $$q$$ bucăți este $$C(q) = q^{2} + 4q + 81$$ lei. Costul mediu este minim pentru:

$$q = 9$$, cu $$\overline{C}(9) = 22$$ lei pe bucată

$$q = 9$$, cu $$\overline{C}(9) = 13$$ lei pe bucată

$$q = 81$$, cu $$\overline{C}(81) = 4$$ lei pe bucată

$$q = 3$$, cu $$\overline{C}(3) = 34$$ lei pe bucată

Un magazin vinde $$q$$ abonamente la prețul $$p(q) = 90 - 3q$$ lei, cu un cost total $$C(q) = 18q + 120$$ lei. Atunci:

venitul este maxim la $$q = 15$$, iar profitul la $$q = 12$$

venitul și profitul sunt maxime la aceeași cantitate, $$q = 15$$

profitul este maxim la $$q = 15$$, iar venitul la $$q = 12$$

profitul este maxim la $$q = 24$$

Ce este costul marginal și cum se calculează?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Optimizare în economie: cost și profit

Costul marginal este derivata funcției de cost, $C^{'} (q)$ , măsurată în lei pe bucată. El aproximează cât te costă bucata următoare: prin teorema creșterilor finite, diferența $C (q + 1) - C (q)$ este chiar o valoare a derivatei între cele două cantități. Dacă $C (q) = q^{2} + 10 q + 50$ , atunci $C^{'} (q) = 2 q + 10$ , deci la o producție de $20$ de bucăți următoarea costă aproximativ $50$ de lei.

Aici formula nu mai vine de-a gata: o construiești dintr-un enunț în cuvinte, o studiezi cu derivata și traduci răspunsul înapoi, cu unități. Vocabularul e fix: costul total $C (q)$ în lei, venitul $V (q) = p q$ , profitul $P (q) = V (q) - C (q)$ , costul mediu $\overline{C} (q) = \frac{C ( q )}{q}$ în lei pe bucată și costul marginal $C^{'} (q)$ , tot în lei pe bucată.

Derivata are, în economie, o citire proprie: efectul unei unități în plus. Prin teorema lui Lagrange, $C (q + 1) - C (q) = C^{'} (c)$ cu $c$ între $q$ și $q + 1$ , deci $C^{'} (q)$ aproximează costul bucății următoare.

Rețeta are șase pași: variabila, cu unitatea ei; funcția de optimizat; domeniul pe care problema are sens; derivarea și rezolvarea ecuației; tabelul de variație; răspunsul în limbajul problemei.

Două rezultate se citează pe nume. Regula costului mediu: în punctul de cost mediu minim, $C^{'} (q_{0}) = \overline{C} (q_{0})$ — cât timp bucata următoare costă sub medie, media scade. Regula profitului: profitul e maxim acolo unde venitul marginal egalează costul marginal, $V^{'} = C^{'}$ , cu derivata trecând de la $+$ la $-$ .

Trei capcane aduc puncte: variabila discretă — dacă punctul critic nu e întreg, se compară valorile în cei doi întregi vecini, nu se rotunjește; domeniul mărginit de capacitatea atelierului — maximul poate cădea în capăt, unde derivata nu se anulează; și confuzia venit–profit, care nu sunt maxime la aceeași cantitate.

De reținut

$C^{'} (q)$ aproximează costul bucății următoare
în punctul de cost mediu minim, $C^{'} (q_{0}) = \overline{C} (q_{0})$
profitul e maxim unde $V^{'} = C^{'}$ , cu $P^{'}$ trecând de la $+$ la $-$

Greșeala tipică

Se caută cantitatea cu venit maxim, când se cere profit maxim. Cele două nu se ating la aceeași producție, fiindcă profitul scade costul din venit.

Exerciții din această mini-lecție

Costul total al producerii a $q$ bucăți este $C (q) = q^{2} + 4 q + 81$ lei. Costul mediu este minim pentru:
- a) $q = 9$ , cu $\overline{C} (9) = 22$ lei pe bucată
- b) $q = 9$ , cu $\overline{C} (9) = 13$ lei pe bucată
- c) $q = 81$ , cu $\overline{C} (81) = 4$ lei pe bucată
- d) $q = 3$ , cu $\overline{C} (3) = 34$ lei pe bucată
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $q = 9$ , cu $\overline{C} (9) = 22$ lei pe bucată

$\overline{C} (q) = q + 4 + \frac{81}{q}$ , iar $\overline{C}^{'} (q) = \frac{q ^{2} - 81}{q ^{2}}$ se anulează pe domeniu doar în $q = 9$ , cu semnele $-$ și $+$ : minim global. Valoarea este $\overline{C} (9) = 9 + 4 + 9 = 22$ lei pe bucată. Se verifică și Regula costului mediu: $C^{'} (q) = 2 q + 4$ , deci $C^{'} (9) = 22$ , exact costul mediu minim.
O firmă vinde fiecare bucată cu $60$ de lei, iar costul total este $C (q) = q^{2} + 20 q + 150$ lei. Profitul este maxim pentru:
- a) $q = 30$
- b) $q = 15$
- c) $q = 40$
- d) $q = 20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $q = 20$

$P (q) = 60 q - (q^{2} + 20 q + 150) = - q^{2} + 40 q - 150$ , iar $P^{'} (q) = - 2 q + 40$ se anulează în $q = 20$ , cu trecere de la $+$ la $-$ . Profitul maxim este $P (20) = 250$ de lei. Se regăsește Regula profitului: $C^{'} (20) = 2 \cdot 20 + 20 = 60$ , adică exact prețul de vânzare — bucata a $21$ -a ar costa mai mult decât aduce.
Un magazin vinde $q$ abonamente la prețul $p (q) = 90 - 3 q$ lei, cu un cost total $C (q) = 18 q + 120$ lei. Atunci:
- a) venitul și profitul sunt maxime la aceeași cantitate, $q = 15$
- b) profitul este maxim la $q = 15$ , iar venitul la $q = 12$
- c) venitul este maxim la $q = 15$ , iar profitul la $q = 12$
- d) profitul este maxim la $q = 24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) venitul este maxim la $q = 15$ , iar profitul la $q = 12$

$V (q) = q (90 - 3 q)$ , cu $V^{'} (q) = 90 - 6 q$ , deci venitul e maxim la $q = 15$ , unde $V (15) = 675$ de lei. Profitul este $P (q) = - 3 q^{2} + 72 q - 120$ , cu $P^{'} (q) = - 6 q + 72$ , deci maxim la $q = 12$ , cu $P (12) = 312$ de lei. La $q = 15$ profitul ar fi doar $285$ de lei: cele trei abonamente în plus aduc venit, dar costă mai mult decât aduc.

Întrebări conexe

Cum se scrie profitul în funcție de cantitatea produsă?

Ca diferență între venit și cost: $P (q) = V (q) - C (q)$ , unde venitul este prețul înmulțit cu cantitatea, $V (q) = pq$ . Toate se măsoară în lei, iar $q$ numără bucăți. Scrierea corectă a acestor funcții este primul pas al rezolvării.

Ce este costul mediu și în ce unități se măsoară?

Este costul total împărțit la cantitate, $\overline{C} (q) = \frac{C ( q )}{q}$ , exprimat în lei pe bucată. Nu se confundă cu costul marginal, care este derivata costului total, deși amândouă au aceeași unitate de măsură.

Cum se scrie venitul dacă prețul depinde de cantitate?

Tot ca produs, $V (q) = q p (q)$ , numai că acum $p$ nu mai este o constantă. Când prețul scade liniar cu cantitatea, venitul iese o funcție de gradul al doilea, cu maximul în vârful parabolei — iar acela nu coincide cu producția de profit maxim.

Ce unități se scriu în răspunsul unei probleme de cost?

Cantitatea se dă în bucăți, costul total și profitul în lei, iar costul mediu și cel marginal în lei pe bucată. Unitățile fac parte din răspuns și, pe deasupra, sunt cea mai rapidă verificare a modelului: un cost mediu socotit în lei ar fi semn de greșeală.

De ce maximul poate cădea în capătul domeniului la o problemă de producție?

Fiindcă atelierul are o capacitate limitată, deci domeniul este mărginit. Dacă profitul crește pe tot intervalul, maximul se atinge la capacitatea maximă, unde derivata nu se anulează. Capetele se verifică întotdeauna.

Care sunt cei șase pași ai unei probleme de optimizare economică?

Alegi variabila cu unitatea ei, scrii funcția de optimizat, stabilești domeniul pe care problema are sens, derivezi și rezolvi ecuația, faci tabelul de variație, apoi formulezi răspunsul în limbajul enunțului.

Oamenii mai întreabă și: costul marginal · formula costului marginal · profit maxim cu derivate · costul mediu minim · optimizare în economie