Ce înseamnă că un element are ordinul 6?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Ordinul unui element

Înseamnă că $x^{6} = e$ și că niciun exponent natural mai mic nu duce la neutru: $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ , $x^{4}$ și $x^{5}$ sunt toate diferite de $e$ . Se scrie $ord (x) = 6$ . De aici puterile se repetă din șase în șase, iar subgrupul format din ele are șase elemente. Într-un grup finit ordinul există întotdeauna; dacă niciun exponent nu dă neutrul, se notează $ord (x) = \infty$ .

Ordinul unui element $x$ al unui grup $(G, \cdot)$ este cel mai mic număr natural nenul $n$ cu $x^{n} = e$ ; se notează $ord (x)$ , iar dacă un astfel de număr nu există se scrie $ord (x) = \infty$ . Este exact numărul pe care lecția anterioară l-a numit perioada lui $x$ , botezat acum definitiv. Elementul neutru este singurul de ordinul $1$ , iar într-un grup finit orice element are ordin finit, fiindcă puterile lui nu pot fi toate distincte. Nu confunda $ord (x)$ , care privește un element, cu $card G$ , numărul de elemente al grupului.

Teorema exponenților: dacă $ord (x) = n$ , atunci $x^{k} = e$ dacă și numai dacă $n ∣ k$ . De aici: $x^{i} = x^{j} ⟺ n ∣ (i - j)$ , $x^{- 1} = x^{n - 1}$ și $ord (x^{- 1}) = ord (x)$ . Rețeta de calcul are două forme: puteri succesive până la $e$ , sau, dacă știi deja un exponent $k$ cu $x^{k} = e$ , testarea divizorilor lui $k$ în ordine crescătoare. În grupul aditiv $(Z_{n}, +)$ ordinul se citește din formula $ord (\overset{a}{^}) = \frac{n}{( a , n )}$ , iar aceeași formulă dă $ord (ε_{k}) = \frac{n}{( k , n )}$ în $U_{n}$ — dar nu se aplică în grupul multiplicativ $U (Z_{n}, \cdot)$ . Ordinul unei permutări se află prin puteri succesive. Lista „câte elemente de fiecare ordin” se numește profilul ordinelor.

De reținut

$ord (x)$ este cel mai mic exponent natural nenul cu $x^{n} = e$
$x^{k} = e ⟺ ord (x) ∣ k$
în $(Z_{n}, +)$ : $ord (\overset{a}{^}) = \frac{n}{( a , n )}$

Greșeala tipică

Se confundă $ord (x)$ cu numărul de elemente ale grupului. Primul privește un singur element, al doilea întreaga mulțime, iar legătura dintre ele este divizibilitatea, nu egalitatea.

Exerciții din această mini-lecție

În grupul $(Z_{21}, +)$ , ordinul clasei $15$ este:
- a) $3$
- b) $6$
- c) $7$
- d) $21$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $7$

Aplicăm formula $ord (\overset{a}{^}) = \frac{n}{( a , n )}$ : cum $(15, 21) = 3$ , obținem $ord (15) = \frac{21}{3} = 7$ . Verificare: $7 \cdot 15 = 105 = 5 \cdot 21$ , deci $7 \cdot 15 = \hat{0}$ , iar niciun multiplu mai mic nu dă $\hat{0}$ . Varianta $3$ ia chiar cel mai mare divizor comun, varianta $21$ confundă ordinul elementului cu $card Z_{21}$ .
Într-un grup $(G, \cdot)$ se știe că $x^{20} = e$ . Ce se poate afirma despre $ord (x)$ ?
- a) este egal cu $20$
- b) este un divizor al lui $20$
- c) este cel puțin $20$
- d) este egal cu $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) este un divizor al lui $20$

Teorema exponenților spune că $x^{k} = e$ dacă și numai dacă $ord (x) ∣ k$ ; aici $ord (x)$ divide $20$ , deci este unul dintre numerele $1, 2, 4, 5, 10, 20$ . A conchide că ordinul este $20$ este greșeala clasică: ordinul este cel mai mic exponent cu această proprietate, iar exponentul dat nu are niciun motiv să fie cel mai mic.
Ordinul permutării $σ = (1221344553) \in S_{5}$ este:
- a) $2$
- b) $3$
- c) $5$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $6$

Calculăm puteri succesive, cu regula „întâi cea din dreapta, apoi cea din stânga”. Obținem $σ^{2} = (1122354354)$ , $σ^{3} = (1221334455)$ , iar abia $σ^{6} = e$ . Variantele $2$ și $3$ sunt ordinele celor două „bucăți” ale permutării, luate separat; ordinul întregii permutări este cel mai mic multiplu comun al lor, adică $6$ .

Întrebări conexe

De ce nu rezultă din $x^{6} = e$ că ordinul este 6?

Fiindcă egalitatea spune numai că ordinul divide $6$ , deci poate fi $1$ , $2$ , $3$ sau $6$ . Ca să afli valoarea, iei pe rând divizorii, începând cu cel mai mic, și te oprești acolo unde puterea dă neutrul. Un element cu $x^{2} = e$ are ordinul $2$ , deși și $x^{6} = e$ .

Ce ordin are elementul neutru al unui grup?

Ordinul $1$ , fiindcă $e^{1} = e$ chiar de la primul exponent. Este singurul element cu această proprietate: din $ord (x) = 1$ rezultă $x = e$ . De aceea, într-un tabel cu ordinele elementelor, valoarea $1$ apare o singură dată, oricât de mare ar fi grupul.

De ce contează cuvântul cel mai mic din definiția ordinului?

Pentru că fără el definiția n-ar alege nimic: exponenții care duc la neutru sunt o infinitate, adică toți multiplii ordinului. Cine se oprește la primul exponent găsit din întâmplare poate scrie un multiplu al ordinului în locul lui; puterile se parcurg în ordine crescătoare.

De ce nu se aplică formula ordinului în grupul claselor inversabile?

Fiindcă formula $ord (\overset{a}{^}) = \frac{n}{( a , n )}$ este dedusă pentru adunare, unde puterea înseamnă multiplu. La înmulțire ordinul se află calculând puteri succesive: în $U (Z_{7}, \cdot)$ , clasa $\hat{2}$ are ordinul $3$ , pentru că $\hat{2}^{3} = \hat{8} = \hat{1}$ , în timp ce formula ar da $7$ .

Ce legătură este între ordinul unui element și ordinul inversului lui?

Sunt egale. Din $x^{n} = e$ se obține, trecând la simetric, $(x^{- 1})^{n} = e$ , iar raționamentul merge și invers, deci cele două mulțimi de exponenți coincid. Concret, într-un grup elementele de ordinul $5$ apar în perechi, $x$ alături de $x^{- 1}$ .

Când sunt egale două puteri ale aceluiași element?

Când exponenții dau același rest la împărțirea cu ordinul: $x^{i} = x^{j}$ are loc dacă și numai dacă $n$ divide diferența $i - j$ , unde $n = ord (x)$ . De aici iese și scrierea simetricului ca putere pozitivă, $x^{- 1} = x^{n - 1}$ .

Oamenii mai întreabă și: ordinul unui element · cum calculez ordinul unui element · ord de x într-un grup · ordinul unei clase de resturi · ordinul unei permutări