Despre dreapta determinată de punctele $$G(-5, 2)$$ și $$H(-5, 9)$$ se poate afirma că:

este verticală, nu are pantă, iar $$\alpha = 90^\circ$$

este orizontală, are panta $$0$$, iar $$\alpha = 0^\circ$$

este verticală, iar panta ei este infinită

este oblică și are panta $$7$$

Ce legătură are panta cu unghiul dreptei?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Panta unei drepte

Se măsoară, în sens trigonometric, unghiul dintre dreaptă și partea pozitivă a axei $O x$ ; tangenta acelui unghi este chiar panta, adică $m = tg α$ . Un unghi ascuțit dă pantă pozitivă, unul obtuz dă pantă negativă, iar unghiul nul dă panta zero. La $α = 4 5^{\circ}$ iese $m = 1$ , iar la $α = 13 5^{\circ}$ iese $m = - 1$ . Unghiul se ia în intervalul $[0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ , tocmai ca fiecare direcție să apară o singură dată.

Un punct nu are direcție, dar o dreaptă întreagă este definită tocmai de direcția ei. Numărul care codifică această direcție se numește pantă, iar programa cere să fie definit trigonometric. Mai întâi se fixează unghiul de înclinare $α$ : unghiul măsurat în sens trigonometric, de la semiaxa pozitivă $O x$ până la dreaptă, cu $α \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ . Intervalul se oprește la $18 0^{\circ}$ pentru că o dreaptă nu are sens de parcurgere, iar rotind cu $18 0^{\circ}$ ajungi pe aceeași înclinare. Panta este atunci $m = tg α$ .

Semnul spune încotro merge dreapta: $m = 0$ înseamnă orizontală, $m > 0$ înseamnă că urcă (unghi ascuțit), $m < 0$ înseamnă că coboară (unghi obtuz). Modulul spune cât de abruptă este: cu cât $∣ m ∣$ este mai mare, cu atât dreapta se apropie de verticală.

Din coordonate, pentru $x_{A} \neq = x_{B}$ , se demonstrează că $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ — cu aceeași ordine a scăderii sus și jos. Rezultatul nu depinde de perechea de puncte aleasă, pentru că $α$ ține de dreaptă, nu de puncte.

Cazul care se cere de fiecare dată: dreapta verticală nu are pantă, fiindcă $tg 9 0^{\circ}$ nu există, iar numitorul ar fi zero. Nu se spune „panta este infinită” și nu se confundă cu panta nulă a orizontalei. Drumul invers se face cu arctangenta: $α = arctg m$ pentru $m \geq 0$ și $α = 18 0^{\circ} + arctg m$ pentru $m < 0$ .

De reținut

$m = tg α$ , cu $α \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ})$
$m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , dacă $x_{A} \neq = x_{B}$
Dreapta verticală NU are pantă ( $α = 9 0^{\circ}$ )

Greșeala tipică

Se confundă panta cu unghiul și se scrie că o dreaptă cu panta $2$ face un unghi de două ori mai mare decât una cu panta $1$ . Legătura trece prin tangentă, deci creșterile nu sunt proporționale.

Exerciții din această mini-lecție

Panta dreptei determinate de punctele $A (- 4, 7)$ și $B (2, - 5)$ este:
- a) $- \frac{1}{2}$
- b) $2$
- c) $- 2$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 2$

$m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{- 5 - 7}{2 - ( - 4 )} = \frac{- 12}{6} = - 2$ . Varianta $- \frac{1}{2}$ apare dacă se răstoarnă raportul, iar $2$ dacă se pierde semnul. Panta fiind negativă, dreapta coboară, iar unghiul ei de înclinare este obtuz.
Despre dreapta determinată de punctele $G (- 5, 2)$ și $H (- 5, 9)$ se poate afirma că:
- a) este verticală, nu are pantă, iar $α = 9 0^{\circ}$
- b) este orizontală, are panta $0$ , iar $α = 0^{\circ}$
- c) este verticală, iar panta ei este infinită
- d) este oblică și are panta $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) este verticală, nu are pantă, iar $α = 9 0^{\circ}$

Cele două puncte au aceeași abscisă, deci dreapta este verticală: unghiul ei de înclinare este $9 0^{\circ}$ , iar $tg 9 0^{\circ}$ nu există. Formularea corectă este „dreapta nu are pantă”, nu „panta este infinită” — infinitul nu este număr real. Panta $0$ o are dreapta orizontală, ceea ce este cu totul altceva.
O dreaptă are panta $m = - 3$ . Unghiul ei de înclinare este:
- a) $6 0^{\circ}$
- b) $- 6 0^{\circ}$
- c) $15 0^{\circ}$
- d) $12 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $12 0^{\circ}$

Panta fiind negativă, unghiul este obtuz, deci se caută în $(9 0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ . Din $tg 12 0^{\circ} = - tg 6 0^{\circ} = - 3$ rezultă $α = 12 0^{\circ}$ . Unghiului $15 0^{\circ}$ îi corespunde panta $- \frac{3}{3}$ , iar $- 6 0^{\circ}$ nu aparține intervalului $[0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ .

Întrebări conexe

Ce pantă are o dreaptă care urcă la 45 de grade?

Are panta $1$ , fiindcă tangenta unghiului de $4 5^{\circ}$ este egală cu $1$ . Practic, la fiecare pas făcut spre dreapta dreapta urcă exact cu un pas, deci se ridică sub bisectoarea primului cadran.

Ce semn are panta unei drepte care coboară?

Semnul minus. Unghiul cu axa este atunci obtuz, iar tangenta unui unghi din al doilea cadran este negativă. Cu cât coborârea este mai abruptă, cu atât panta se apropie mai mult de valori foarte mici.

Ce unghi face cu axa o dreaptă cu panta minus 1?

Un unghi de $13 5^{\circ}$ , fiindcă tangenta lui este $- 1$ . Dreapta coboară sub bisectoarea celui de-al doilea cadran, iar la fiecare pas spre dreapta ordonata scade cu exact o unitate.

Ce pantă are dreapta prin punctele de coordonate 1 și 2, respectiv 3 și 8?

Raportul dintre creșterea pe verticală și cea pe orizontală dă $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ . Dreapta urcă, așadar, cu trei unități la fiecare pas spre dreapta, iar unghiul ei cu axa este de aproximativ $7 1^{\circ}$ .

Cum se schimbă unghiul dacă panta se dublează?

Unghiul crește, dar nu se dublează, fiindcă legătura dintre ele nu este liniară. De la $m = 1$ , adică $4 5^{\circ}$ , se ajunge la $m = 2$ , adică aproximativ $6 3^{\circ}$ , deci creșterea unghiului este mult mai mică.

Ce pantă are o dreaptă cu unghiul de 120 de grade?

Este $tg 12 0^{\circ} = - 3$ , adică aproximativ $- 1, 73$ . Valoarea negativă arată o dreaptă care coboară, iar modulul mai mare decât $1$ arată că este mai abruptă decât bisectoarea.

Oamenii mai întreabă și: panta ca tangentă a unghiului · unghiul de înclinare al unei drepte · m egal tangenta de alfa · ce pantă are o dreaptă înclinată la 45 de grade · ce este panta unei drepte