Focarul și directoarea parabolei $$y^2 = 20x$$ sunt:

$$F(10, 0)$$ și $$d : x = -10$$

$$F(20, 0)$$ și $$d : x = -20$$

Care afirmație despre parabola $$y^2 = 2px$$, cu $$p > 0$$, este adevărată?

are un singur focar și o directoare, și nu are asimptote

are centru de simetrie în vârf

Ce distanță separă focarul de directoare?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Parabola: definiția și ecuația canonică

Chiar parametrul $p$ , numărul care apare în ecuația canonică $y^{2} = 2 p x$ . În reperul potrivit, focarul stă în $(\frac{p}{2}, 0)$ , iar directoarea este dreapta $x = - \frac{p}{2}$ , deci vârful se află la mijlocul distanței dintre ele. De aici vine confuzia cea mai deasă: focarul nu se așază la distanța $p$ de vârf, ci la jumătate din ea.

Parabola este mulțimea punctelor egal depărtate de un punct fix, focarul $F$ , și de o dreaptă fixă, directoarea $d$ , cu $F \in / d$ ; condiția se scrie $M F = d (M, d)$ . Este singura conică definită printr-un punct și o dreaptă, nu prin două puncte, și singura fără centru de simetrie.

Parametrul $p$ este distanța de la focar la directoare. În reperul canonic, cu vârful în origine și axa de simetrie $O x$ , focarul este $F (\frac{p}{2}, 0)$ , directoarea este $x = - \frac{p}{2}$ , iar ecuația devine $y^{2} = 2 p x$ , cu $p > 0$ . Deducerea cere o singură ridicare la pătrat, echivalentă pentru că ambii membri comparați sunt nenegativi — trebuie spus de ce, nu presupus.

Capcana numărul unu este confuzia dintre $p$ și $\frac{p}{2}$ , respectiv dintre $p$ și coeficientul lui $x$ : în $y^{2} = 2 p x$ coeficientul este $2 p$ . Din $y^{2} = 8 x$ rezultă $p = 4$ și focarul $(2, 0)$ , nu $(4, 0)$ . Toate punctele curbei au $x \geq 0$ , curba are o singură ramură, este simetrică față de axa $O x$ și nu are centru de simetrie. Parabola nu are al doilea focar și nu are asimptote: panta candidată iese nulă, deci nu există oblică, iar limita infinită exclude orizontala. Raza focală este $M F = x + \frac{p}{2}$ și înlocuiește formula distanței în orice problemă cu distanța la focar.

De reținut

$M F = d (M, d)$ , cu focarul în afara directoarei
$y^{2} = 2 p x$ : focar $(\frac{p}{2}, 0)$ , directoare $x = - \frac{p}{2}$
$p$ este distanța focar–directoare, iar coeficientul lui $x$ este $2 p$

Greșeala tipică

Se așază focarul la distanța $p$ de vârf. El se află la $\frac{p}{2}$ , iar directoarea tot la $\frac{p}{2}$ de partea cealaltă; pentru $y^{2} = 36 x$ iese $p = 18$ , dar focarul este $(9, 0)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Focarul și directoarea parabolei $y^{2} = 20 x$ sunt:
- a) $F (0, 5)$ și $d : y = - 5$
- b) $F (10, 0)$ și $d : x = - 10$
- c) $F (5, 0)$ și $d : x = - 5$
- d) $F (20, 0)$ și $d : x = - 20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $F (5, 0)$ și $d : x = - 5$

Din $2 p = 20$ rezultă $p = 10$ , deci focarul este $F (\frac{p}{2}, 0) = (5, 0)$ , iar directoarea $x = - \frac{p}{2} = - 5$ . Distanța dintre ele este $10 = p$ , cum cere definiția. Varianta $F (10, 0)$ pune focarul la distanța $p$ de vârf, iar varianta cu $F (0, 5)$ mută axa de simetrie pe $O y$ .
Pentru parabola $y^{2} = 20 x$ , distanța de la punctul $M (5, 10)$ la focar este:
- a) $5$
- b) $15$
- c) $55$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $10$

Punctul este pe curbă: $1 0^{2} = 100 = 20 \cdot 5$ . Raza focală se calculează fără radicali, cu $M F = x + \frac{p}{2} = 5 + 5 = 10$ . Verificare prin definiție: distanța de la $M$ la directoarea $x = - 5$ este $5 - (- 5) = 10$ , exact aceeași valoare — chiar proprietatea care definește parabola.
Care afirmație despre parabola $y^{2} = 2 p x$ , cu $p > 0$ , este adevărată?
- a) are două asimptote oblice
- b) are un singur focar și o directoare, și nu are asimptote
- c) are centru de simetrie în vârf
- d) are două focare, ca elipsa
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) are un singur focar și o directoare, și nu are asimptote

Parabola este definită printr-un focar și o directoare; nu are al doilea focar, nu are distanță focală și nu are asimptote — panta candidată $x \to + \infty lim \frac{2 p x}{x}$ este nulă, deci oblica nu există, iar limita funcției fiind infinită, nici orizontala. Are o singură axă de simetrie, $O x$ , și niciun centru.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă dacă focarul se află chiar pe directoare?

Definiția nu mai are sens. Condiția ca focarul să nu stea pe directoare face parte din enunț tocmai ca să se ocolească acest caz: altfel mulțimea punctelor egal depărtate de ele s-ar strânge pe perpendiculara dusă prin focar, adică ar fi o dreaptă, nu o curbă.

Ce coeficient al lui $x$ se citește din ecuația canonică?

Numărul $2 p$ , nu $p$ . Din $y^{2} = 16 x$ rezultă $p = 8$ , iar cine ia direct $p = 16$ dublează și focarul, și directoarea. Împărțirea la doi este primul gest după ce ecuația a fost adusă la forma canonică.

De ce ajunge o singură ridicare la pătrat la parabolă?

Fiindcă în egalitatea de plecare apare un singur radical, cel al distanței la focar; distanța la directoare, fiind la o dreaptă verticală, se scrie direct cu modul. Prin urmare o singură ridicare curăță expresia, iar echivalența se justifică prin nenegativitatea celor doi membri.

Cum arată parabola cu axa pe verticală?

Ecuația ei canonică este $x^{2} = 2 p y$ , obținută schimbând rolurile celor două variabile. Focarul urcă atunci pe axa ordonatelor, iar directoarea devine o dreaptă orizontală. Graficul funcției de gradul al doilea este chiar o astfel de parabolă.

Ce rază focală are un punct al parabolei?

Suma dintre abscisa lui și $\frac{p}{2}$ , adică $M F = x + \frac{p}{2}$ . Formula vine direct din definiție: distanța la focar este egală cu distanța la directoare, iar aceasta din urmă se citește imediat pe orizontală. Ea înlocuiește formula distanței în orice problemă cu focarul.

De ce au toate punctele parabolei abscisa nenegativă?

Fiindcă din $y^{2} = 2 p x$ cu $p > 0$ rezultă $x = \frac{y ^{2}}{2 p} \geq 0$ . Un pătrat nu poate fi negativ, deci curba stă în întregime de partea în care se deschide, iar vârful, aflat în origine, este punctul ei cel mai din stânga.

Oamenii mai întreabă și: ce este parabola ca loc geometric · ecuația canonică a parabolei · focarul și directoarea parabolei · parametrul p al parabolei · raza focală la parabolă