Dreptele $$d_1: x = 5$$ și $$d_2: y = -1$$ sunt:

perpendiculare, pentru că $$a_1a_2 + b_1b_2 = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0$$

paralele, pentru că niciuna dintre ele nu are pantă

perpendiculare, pentru că produsul pantelor lor este $$-1$$

concurente, dar nu perpendiculare, în punctul $$(5, -1)$$

Cum recunosc drepte paralele sau perpendiculare?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Paralelism și perpendicularitate

Compari pantele: drepte cu aceeași pantă sunt paralele, iar drepte ale căror pante au produsul $- 1$ sunt perpendiculare. Astfel, $y = 2 x + 1$ și $y = 2 x - 7$ sunt paralele, iar $y = 2 x + 1$ și $y = - \frac{1}{2} x + 4$ se taie sub unghi drept. Când una dintre drepte este verticală, se lucrează cu ecuațiile generale, unde condițiile devin $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ , respectiv $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ .

Fiecare dintre cele două relații se scrie în două forme. Prin pante, pentru drepte neverticale: $d_{1} ∥ d_{2}$ (sau confundate) exact când $m_{1} = m_{2}$ , iar $d_{1} ⊥ d_{2}$ exact când $m_{1} m_{2} = - 1$ . Prin coeficienții formei generale, fără nicio excepție: paralelism când $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ , perpendicularitate când $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ .

A doua formă e cea de încredere, pentru că nu presupune existența pantei. În cuvinte, pentru cazurile în care pantele tac: o verticală este paralelă doar cu alte verticale și perpendiculară pe orice orizontală; o verticală și o orizontală sunt întotdeauna perpendiculare, deși produsul pantelor lor nu se poate scrie.

Relația $m_{1} m_{2} = - 1$ se demonstrează cu teorema lui Pitagora și reciproca ei, pe punctele $A (1, m_{1})$ și $B (1, m_{2})$ de pe două drepte duse prin origine. Forma practică: panta perpendicularei este opusul inversului, $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ — nu opusul. Două controale rapide: pantele au semne contrare, iar cu cât una e mai abruptă, cu atât cealaltă e mai lină.

Rețeta paralelei și a perpendicularei printr-un punct are doi pași: afli panta din condiție, apoi scrii $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ . Scurtătura pe coeficienți sare peste pante: paralela la $a x + b y + c = 0$ este $a x + b y + k = 0$ , iar perpendiculara este $b x - a y + k = 0$ ; numărul $k$ se află impunând trecerea prin punct. De aici ies mediatoarea unui segment și înălțimile unui triunghi.

De reținut

Paralele: $m_{1} = m_{2}$ , sau $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$
Perpendiculare: $m_{1} m_{2} = - 1$ , sau $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$
Verticala și orizontala sunt perpendiculare, deși produsul pantelor nu se poate scrie

Greșeala tipică

Se scrie panta perpendicularei doar cu semn schimbat, adică din $3$ se ia $- 3$ . Regula cere și răsturnarea fracției, deci valoarea corectă este $- \frac{1}{3}$ , singura cu produsul egal cu $- 1$ .

Exerciții din această mini-lecție

Dreapta care trece prin $A (3, - 2)$ și este perpendiculară pe $d : 2 x - 5 y + 7 = 0$ are ecuația:
- a) $2 x - 5 y - 16 = 0$
- b) $5 x - 2 y - 19 = 0$
- c) $5 x + 2 y - 11 = 0$
- d) $2 x + 5 y + 4 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $5 x + 2 y - 11 = 0$

Panta lui $d$ este $m = \frac{2}{5}$ , deci perpendiculara are panta $- \frac{5}{2}$ : din $y + 2 = - \frac{5}{2} (x - 3)$ rezultă $5 x + 2 y - 11 = 0$ . Toate cele patru variante trec prin $A$ — ele se deosebesc doar prin direcție: varianta a) este paralela la $d$ , varianta b) folosește panta $\frac{5}{2}$ , iar varianta d) opusul pantei, nu opusul inversului. Control: $2 \cdot 5 + (- 5) \cdot 2 = 0$ ✓.
Dreptele $d_{1} : x = 5$ și $d_{2} : y = - 1$ sunt:
- a) paralele, pentru că niciuna dintre ele nu are pantă
- b) perpendiculare, pentru că $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$
- c) perpendiculare, pentru că produsul pantelor lor este $- 1$
- d) concurente, dar nu perpendiculare, în punctul $(5, - 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) perpendiculare, pentru că $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$

Sub forma generală ele sunt $x - 5 = 0$ și $y + 1 = 0$ , deci criteriul cu coeficienți dă $0$ : sunt perpendiculare. Produsul pantelor nu se poate scrie, pentru că verticala $x = 5$ nu are pantă; orizontala $y = - 1$ are, în schimb, panta $0$ .
Dreptele $d_{1} : a x + 4 y - 7 = 0$ și $d_{2} : 3 x - y + 2 = 0$ sunt perpendiculare pentru:
- a) $a = \frac{4}{3}$
- b) $a = - \frac{4}{3}$
- c) $a = - 12$
- d) $a = - \frac{3}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $a = \frac{4}{3}$

Condiția $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ devine $3 a + 4 \cdot (- 1) = 0$ , deci $a = \frac{4}{3}$ . Valoarea $- 12$ este cea care le face paralele (din $a \cdot (- 1) - 3 \cdot 4 = 0$ ) — o confuzie frecventă între cele două criterii.

Întrebări conexe

Cum arăt că un patrulater dat prin coordonate e paralelogram?

Compari pantele laturilor opuse: dacă $m_{A B} = m_{C D}$ și $m_{B C} = m_{A D}$ , laturile opuse sunt paralele două câte două. Un al doilea drum, adesea mai scurt, verifică dacă diagonalele au același mijloc, fiindcă într-un paralelogram ele se taie exact la jumătate.

Cum scriu ecuația unei paralele duse printr-un punct?

Păstrezi panta dreptei date și aplici formula cu punct și pantă. Dacă dreapta este $y = 5 x - 2$ , iar punctul $A (1, 4)$ , atunci ecuația căutată este $y - 4 = 5 (x - 1)$ , adică $y = 5 x - 1$ .

Ce condiție de perpendicularitate au ecuațiile generale?

Suma produselor coeficienților necunoscutelor trebuie să se anuleze: $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ . Scrierea aceasta are avantajul că funcționează și pentru drepte verticale sau orizontale, unde pantele lipsesc sau sunt nule.

Cum arăt că un triunghi dat prin coordonate este dreptunghic?

Calculezi pantele celor trei laturi și cauți o pereche cu produsul $- 1$ . Alternativ, verifici relația lui Pitagora pe lungimile laturilor; ambele căi dau același răspuns, iar a doua evită problema laturilor verticale.

Cum aflu piciorul perpendicularei dintr-un vârf?

Scrii ecuația laturii opuse, apoi ecuația perpendicularei duse din vârf pe ea, și rezolvi sistemul format din cele două. Punctul găsit este chiar piciorul înălțimii din acel vârf.

Ce ecuație are perpendiculara pe Ox printr-un punct?

Este dreapta verticală $x = x_{0}$ , unde $x_{0}$ este abscisa punctului. Panta nu se poate folosi aici, fiindcă direcția verticală nu are tangentă, deci se scrie direct din definiție.

Oamenii mai întreabă și: condiția de paralelism a două drepte · drepte perpendiculare produsul pantelor · m1 ori m2 egal minus unu · cum recunosc drepte paralele din ecuații