Cum se scrie rezultatul unui calcul făcut în ℤ₅?

Ca o clasă redusă, adică una dintre cele cinci, nu ca număr întreg oarecare. Dacă la final iese 13, se scrie 3. Aceeași regulă se aplică rădăcinilor găsite și coeficienților unui cât obținut prin schema lui Horner.

Ce se cere din polinoame la bacalaureat?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Polinoame în probleme de examen

Un număr mic de mișcări, care se repetă din an în an: aflarea unui parametru dintr-un rest sau dintr-o divizibilitate, restul obținut la o împărțire cu un polinom de grad doi, condiția de rădăcină multiplă, rădăcinile comune a două polinoame și sumele simetrice scoase din relațiile lui Viète. Peste corpuri finite se adaugă verificarea claselor. Fiecare dată din enunț devine, până la urmă, o valoare a lui $f$ într-un punct.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Problemele de polinoame de la Bacalaureat M1 se reduc la un număr mic de mișcări. Orice informație despre rest sau despre divizibilitate se traduce într-o valoare a polinomului într-un punct, iar fiecare valoare dă o ecuație în parametri: restul împărțirii la $X - a$ este $f (a)$ , iar $X - a$ divide $f$ exact când $f (a) = 0$ . Pentru un împărțitor de gradul al doilea cu rădăcini distincte $a$ și $b$ se scrie $r = c X + d$ și se rezolvă sistemul $r (a) = f (a)$ , $r (b) = f (b)$ . Condiția de rădăcină multiplă cere două ecuații, $f (a) = 0$ și $f^{'} (a) = 0$ , cu $f^{'}$ derivata formală: o singură egalitate garantează doar un factor $X - a$ . Două polinoame au rădăcini comune într-un corp $K$ exact atunci când $cmmdc$ al lor are gradul cel puțin $1$ și are rădăcini în $K$ . Sumele simetrice de tipul $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ se calculează din relațiile lui Viète, fără a afla vreo rădăcină. Peste $Z_{5}$ sau $Z_{7}$ , verificarea tuturor claselor este o metodă legitimă, iar rezultatul se scrie ca clasă redusă, nu ca număr întreg oarecare.

De reținut

restul la $X - a$ este $f (a)$ , iar $X - a$ divide $f$ exact când $f (a) = 0$
rădăcină dublă: $f (a) = 0$ și $f^{'} (a) = 0$
împărțitor de grad doi: se scrie $r = c X + d$ și se rezolvă sistemul din rădăcini

Greșeala tipică

Se declară că două polinoame au o rădăcină comună doar pentru că divizorul lor comun nu este constant. Mai trebuie ca acel divizor să aibă, la rândul lui, rădăcini chiar în corpul din enunț.

Exerciții din această mini-lecție

Restul împărțirii polinomului $f = X^{4} + 3$ la $X^{2} - 4$ este:
- a) $19$
- b) $19 X$
- c) $16$
- d) $4 X + 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $19$

Restul are gradul cel mult $1$ , deci $r = c X + d$ . Din $f = (X^{2} - 4) q + r$ obținem $r (2) = f (2) = 19$ și $r (- 2) = f (- 2) = 19$ , adică $2 c + d = 19$ și $- 2 c + d = 19$ . Scăzând, $c = 0$ , deci $d = 19$ și restul este constanta $19$ . Varianta $16$ apare când se uită termenul liber al lui $f$ .
Polinomul $f = X^{4} + a X + b$ , cu $a, b$ reale, se divide cu $(X - 1)^{2}$ . Atunci:
- a) $a = - 1$ , $b = 0$
- b) $a = 4$ , $b = - 5$
- c) $a = - 4$ , $b = - 3$
- d) $a = - 4$ , $b = 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $a = - 4$ , $b = 3$

Divizibilitatea cu $(X - 1)^{2}$ înseamnă că $1$ este rădăcină multiplă, deci sunt necesare două condiții: $f (1) = 1 + a + b = 0$ și $f^{'} (1) = 4 + a = 0$ . Din a doua, $a = - 4$ , iar din prima, $b = 3$ . Verificare: $X^{4} - 4 X + 3 = (X - 1)^{2} (X^{2} + 2 X + 3)$ . Varianta a folosește o singură ecuație, ceea ce lasă sistemul nedeterminat.
Valorile reale ale lui $a$ pentru care $f = X^{2} - 7 X + 10$ și $g = X^{2} + a X - 10$ au o rădăcină comună sunt:
- a) $a = 3$
- b) $a \in {- 3, 3}$
- c) $a = - 3$
- d) $a = 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a \in {- 3, 3}$

Rădăcinile lui $f$ sunt $2$ și $5$ . Dacă rădăcina comună este $2$ : $g (2) = 4 + 2 a - 10 = 0$ , deci $a = 3$ . Dacă este $5$ : $g (5) = 25 + 5 a - 10 = 0$ , deci $a = - 3$ . Ambele valori convin, deci răspunsul este ${- 3, 3}$ . Variantele a și c păstrează doar una dintre situații.

Întrebări conexe

Cum se află restul împărțirii la un polinom de gradul al doilea?

Se scrie restul sub forma $r = c X + d$ , cu două necunoscute, apoi se cere ca el să ia aceleași valori ca polinomul în rădăcinile împărțitorului. Pentru $X^{2} - 1$ , rădăcinile sunt $1$ și $- 1$ , deci sistemul cere $r (1) = f (1)$ și $r (- 1) = f (- 1)$ .

Ce relații ale lui Viète folosești la sumele simetrice?

Cele trei care leagă coeficienții de rădăcini: suma, suma produselor luate câte două și produsul. Din ele se scot expresiile simetrice fără a afla vreo rădăcină; suma pătratelor, de pildă, se scrie ca pătratul sumei minus dublul sumei produselor perechi.

De ce nu ajunge $f (1) = 0$ pentru divizibilitatea cu $(X - 1)^{2}$ ?

Pentru că egalitatea aceea dă un singur factor $X - 1$ . Ca factorul să apară la pătrat mai trebuie și $f^{'} (1) = 0$ , cu $f^{'}$ derivata formală. Cele două condiții împreună formează sistemul din care ies parametrii, iar rezultatul se verifică prin descompunere.

Cum se scrie rezultatul unui calcul făcut în $Z_{5}$ ?

Ca o clasă redusă, adică una dintre cele cinci, nu ca număr întreg oarecare. Dacă la final iese $13$ , se scrie $\hat{3}$ . Aceeași regulă se aplică rădăcinilor găsite și coeficienților unui cât obținut prin schema lui Horner.

Ce ecuație în parametri dă o informație despre rest?

Fiecare valoare cunoscută a polinomului într-un punct. Din restul $r$ la împărțirea cu $X - a$ iese egalitatea $f (a) = r$ , adică o ecuație liniară în parametrii din enunț. Două informații de acest fel dau un sistem cu două necunoscute.

De ce nu se împarte efectiv polinomul ca să afli restul la $X - a$ ?

Fiindcă teorema restului îl dă dintr-o singură evaluare, $f (a)$ , în timp ce împărțirea cere un tabel întreg. Împărțirea se face numai când enunțul cere și câtul, ori când împărțitorul are gradul cel puțin doi și restul nu mai este constant.

Oamenii mai întreabă și: polinoame la bacalaureat · probleme cu polinoame M1 · parametru dintr-un rest dat · rădăcină dublă la polinoame · relațiile lui Viete la gradul trei