Polinomul $$f = X^4 + 4$$ nu are nicio rădăcină rațională. Rezultă că:

$$f$$ este reductibil peste $$\mathbb{Q}$$, pentru că $$f = \left(X^2-2X+2\right)\left(X^2+2X+2\right)$$

$$f$$ este ireductibil peste $$\mathbb{Q}$$

$$f$$ este ireductibil peste $$\mathbb{R}$$

Polinomul $$f = X^3 + X + \hat{2}$$ din $$\mathbb{Z}_3[X]$$ este:

reductibil peste $$\mathbb{Z}_3$$, pentru că $$f(\hat{2}) = \hat{0}$$

ireductibil peste $$\mathbb{Z}_3$$

reductibil, dar fără rădăcini în $$\mathbb{Z}_3$$

de grad prea mare pentru a putea decide

Descompunerea în factori ireductibili peste $$\mathbb{R}$$ a polinomului $$X^4 - 9$$ este:

$$\left(X - \sqrt{3}\right)\left(X + \sqrt{3}\right)\left(X^2 + 3\right)$$

$$\left(X^2 - 3\right)\left(X^2 + 3\right)$$

$$\left(X - \sqrt{3}\right)\left(X + \sqrt{3}\right)\left(X - i\sqrt{3}\right)\left(X + i\sqrt{3}\right)$$

$$(X-3)(X+3)\left(X^2+3\right)$$

Cum se descompune X⁴+X²+1 peste numerele raționale?

Se adaugă și se scade X²: expresia devine (X²+1)²-X², adică o diferență de pătrate, care dă (X²+X+1)(X²-X+1). Polinomul nu are nicio rădăcină rațională, dar se rupe totuși — contraexemplul standard la gradul al patrulea.

Ce polinoame sunt ireductibile peste complexe?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Polinoame ireductibile și descompunerea

Numai cele de gradul întâi. Orice polinom de grad cel puțin doi are, peste $C$ , o rădăcină, iar teorema lui Bézout scoate imediat un factor liniar, deci polinomul se rupe. Peste $R$ lista e mai lungă: gradul întâi, plus gradul al doilea cu discriminantul negativ. Peste $Q$ și peste $Z_{p}$ apar, în schimb, ireductibile de orice grad.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Un polinom de grad cel puțin $1$ este ireductibil peste $K$ dacă nu se poate scrie ca produs de două polinoame din $K [X]$ , amândouă de grad cel puțin $1$ . Ireductibilitatea nu este o proprietate a polinomului singur, ci a perechii formate din polinom și corp: $X^{2} - 2$ este ireductibil peste $Q$ și reductibil peste $R$ , așa că enunțul trebuie să spună de fiecare dată peste ce corp se lucrează. Criteriile de ireductibilitate sunt trei. Primul: un polinom de gradul al doilea sau al treilea este reductibil peste $K$ dacă și numai dacă are o rădăcină în $K$ — și numai la aceste două grade. Al doilea: peste $C$ ireductibile sunt exact polinoamele de gradul întâi, iar peste $R$ cele de gradul întâi și cele de gradul al doilea cu $Δ < 0$ . Al treilea: peste $Q$ și peste $Z_{p}$ există polinoame ireductibile de orice grad. Capcana clasică este gradul al patrulea, unde lipsa rădăcinilor nu înseamnă nimic. Rețeta descompunerii peste $Z_{p}$ are trei etape: se face polinomul monic, se verifică toate cele $p$ clase, iar la gradul $4$ fără rădăcini se încearcă toate produsele de două polinoame monice de gradul al doilea.

De reținut

ireductibilitatea depinde de corp: $X^{2} - 2$ e ireductibil peste $Q$ , reductibil peste $R$
la gradele $2$ și $3$ : reductibil dacă și numai dacă are rădăcină în corp
peste $C$ doar gradul întâi; peste $R$ și gradul al doilea cu $Δ < 0$

Greșeala tipică

Se spune despre un polinom că este ireductibil, fără a preciza corpul. Afirmația nu are înțeles singură, fiindcă același polinom poate să se rupă peste $R$ și să rămână întreg peste $Q$ .

Exerciții din această mini-lecție

Polinomul $f = X^{4} + 4$ nu are nicio rădăcină rațională. Rezultă că:
- a) $f$ este ireductibil peste $Q$
- b) $f$ este ireductibil peste $R$
- c) $f$ este reductibil peste $Q$ , pentru că $f = (X^{2} - 2 X + 2) (X^{2} + 2 X + 2)$
- d) $f$ are o rădăcină reală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f$ este reductibil peste $Q$ , pentru că $f = (X^{2} - 2 X + 2) (X^{2} + 2 X + 2)$

Este capcana gradului al patrulea: criteriul rădăcinii se aplică numai la gradele $2$ și $3$ . Aici $(X^{2} - 2 X + 2) (X^{2} + 2 X + 2) = X^{4} + 4$ , verificabil prin înmulțire directă, deci $f$ este reductibil peste $Q$ , deși nu are rădăcini raționale. Cei doi factori au $Δ = - 4 < 0$ , deci sunt ireductibili chiar și peste $R$ , iar $f$ nu are rădăcini reale.
Polinomul $f = X^{3} + X + \hat{2}$ din $Z_{3} [X]$ este:
- a) ireductibil peste $Z_{3}$
- b) reductibil peste $Z_{3}$ , pentru că $f (\hat{2}) = \hat{0}$
- c) reductibil, dar fără rădăcini în $Z_{3}$
- d) de grad prea mare pentru a putea decide
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) reductibil peste $Z_{3}$ , pentru că $f (\hat{2}) = \hat{0}$

La gradul al treilea criteriul rădăcinii este valabil: polinomul este reductibil dacă și numai dacă are o rădăcină în corp. Verificăm cele trei clase: $f (\hat{0}) = \hat{2}$ , $f (\hat{1}) = \hat{1} + \hat{1} + \hat{2} = \hat{1}$ , $f (\hat{2}) = \hat{8} + \hat{2} + \hat{2} = \hat{2} + \hat{2} + \hat{2} = \hat{0}$ . Deci $X - \hat{2}$ divide $f$ , iar varianta c este imposibilă la gradul $3$ .
Descompunerea în factori ireductibili peste $R$ a polinomului $X^{4} - 9$ este:
- a) $(X^{2} - 3) (X^{2} + 3)$
- b) $(X - 3) (X + 3) (X - i 3) (X + i 3)$
- c) $(X - 3) (X + 3) (X^{2} + 3)$
- d) $(X - 3) (X + 3) (X^{2} + 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(X - 3) (X + 3) (X^{2} + 3)$

Scriem $X^{4} - 9 = (X^{2} - 3) (X^{2} + 3)$ . Peste $R$ , primul factor se mai descompune, fiindcă $Δ > 0$ : $X^{2} - 3 = (X - 3) (X + 3)$ ; al doilea are $Δ = - 12 < 0$ , deci rămâne întreg. Varianta a nu este completă, varianta b este descompunerea peste $C$ , iar varianta c este pur și simplu falsă: $(X - 3) (X + 3) = X^{2} - 9$ .

Întrebări conexe

Există polinoame ireductibile de orice grad peste raționale?

Da, iar asta deosebește $Q$ de $R$ și de $C$ . Polinomul $X^{n} - 2$ dă un exemplu pentru fiecare $n$ : nu se rupe în factori cu coeficienți raționali, deși peste numerele reale se descompune. Aceeași bogăție apare și peste corpurile finite.

Cum se descompune $X^{4} + X^{2} + 1$ peste numerele raționale?

Se adaugă și se scade $X^{2}$ : expresia devine $(X^{2} + 1)^{2} - X^{2}$ , adică o diferență de pătrate, care dă $(X^{2} + X + 1) (X^{2} - X + 1)$ . Polinomul nu are nicio rădăcină rațională, dar se rupe totuși — contraexemplul standard la gradul al patrulea.

Ce trebuie făcut înainte de a căuta rădăcini peste clase de resturi?

Se aduce polinomul la formă monică, înmulțind cu inversul coeficientului dominant. Pasul nu schimbă rădăcinile, dar simplifică toate calculele care urmează, mai ales împărțirile din schema lui Horner. Abia apoi se trec în tabel valorile în cele $p$ clase.

Ce se încearcă la gradul al patrulea când nu există rădăcini?

Descompunerea în doi factori de gradul al doilea. Peste un corp finit se parcurg toate polinoamele monice de grad doi și se caută perechea al cărei produs dă polinomul dat; peste $Q$ se scriu doi factori cu coeficienți necunoscuți și se identifică termenii.

Câte polinoame monice de gradul al doilea există peste $Z_{2}$ ?

Patru: $X^{2}$ , $X^{2} + X$ , $X^{2} + \hat{1}$ și $X^{2} + X + \hat{1}$ . Coeficientul dominant e fixat, iar ceilalți doi iau fiecare două valori, deci $2 \cdot 2 = 4$ . Dintre ele, numai ultima este ireductibilă, fiindcă celelalte se anulează în $\hat{0}$ sau în $\hat{1}$ .

Ce grad trebuie să aibă factorii dintr-o descompunere?

Cel puțin unu fiecare. Definiția cere ca polinomul să se scrie ca produs de două polinoame de grad măcar $1$ ; scoaterea unei constante nu contează, fiindcă orice polinom se scrie așa. De aceea constantele nenule nu sunt nici ireductibile, nici reductibile.

Oamenii mai întreabă și: polinom ireductibil · descompunerea în factori ireductibili · ireductibil peste R · criteriul rădăcinii la ireductibilitate · polinoame ireductibile peste Z p