Dreptele $$d_1: 3x - 2y + 4 = 0$$ și $$d_2: 6x - 4y - 5 = 0$$ sunt:

confundate, adică aceeași dreaptă

Dreptele $$d_1: x = 4$$ și $$d_2: 3x + y - 10 = 0$$:

sunt concurente, în punctul $$(4, -2)$$

sunt paralele distincte, pentru că $$d_1$$ nu are pantă

sunt confundate, pentru că ambele trec prin $$(4, -2)$$

nu se pot compara, pentru că $$d_1$$ nu are pantă

Despre dreptele $$d_1: 5x + 2y - 3 = 0$$ și $$d_2: -15x - 6y + 9 = 0$$ se poate afirma că:

sunt confundate, pentru că $$\Delta = \Delta_1 = \Delta_2 = 0$$

sunt paralele distincte, pentru că $$\Delta = 0$$

sunt concurente, pentru că $$\Delta_1 = \Delta_2 = 0$$

Câte poziții pot avea două drepte în plan?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Poziția relativă a două drepte

Trei: se taie într-un punct, sunt paralele distincte sau se suprapun. Decizia se ia din sistemul format de cele două ecuații. Dacă determinantul coeficienților este nenul, sistemul are soluție unică, deci dreptele sunt concurente. Dacă se anulează, se compară rapoartele: coeficienți proporționali și termeni liberi neproporționali înseamnă paralele, iar proporționalitate peste tot înseamnă aceeași dreaptă scrisă de două ori.

Un punct comun a două drepte este exact o pereche $(x, y)$ care verifică ambele ecuații, adică o soluție a sistemului format din ele. De aici corespondența care este miezul lecției: sistem compatibil determinat — drepte concurente; sistem incompatibil — paralele distincte; sistem compatibil nedeterminat — confundate.

O precizare de notație, ca să nu se amestece două lucruri diferite: aici $Δ = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ este determinantul sistemului, cel de ordinul al doilea de la regula lui Cramer — nu determinantul de ordinul al treilea cu care se verifică coliniaritatea a trei puncte, notat tot $Δ$ . Litera e aceeași, obiectele sunt distincte, iar contextul le separă: la coliniaritate se pornește de la trei puncte, aici de la două ecuații.

Criteriul: dreptele sunt concurente dacă și numai dacă $Δ \neq = 0$ , iar atunci punctul comun se află cu $x = \frac{Δ _{1}}{Δ}$ și $y = \frac{Δ _{2}}{Δ}$ . Când $Δ = 0$ discuția nu s-a terminat: dacă măcar unul dintre $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ este nenul, dreptele sunt paralele distincte; dacă amândoi se anulează, sunt confundate. În limbajul rangului: $rang A = rang \overline{A} = 2$ — concurente; $rang A = 1 < rang \overline{A}$ — paralele distincte; ambele egale cu $1$ — confundate.

Verticalele se tratează cu determinantul, nu cu panta: dreapta $x = k$ nu are pantă, dar are coeficienți, iar o verticală taie orice dreaptă neverticală.

De reținut

$a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} \neq = 0 \Rightarrow$ concurente
$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}} \Rightarrow$ paralele distincte
Toate trei rapoartele egale $\Rightarrow$ drepte confundate

Greșeala tipică

Se declară paralele două drepte doar fiindcă determinantul coeficienților se anulează. Anularea acoperă și cazul dreptelor suprapuse, deci trebuie comparat și raportul termenilor liberi.

Exerciții din această mini-lecție

Dreptele $d_{1} : 3 x - 2 y + 4 = 0$ și $d_{2} : 6 x - 4 y - 5 = 0$ sunt:
- a) paralele distincte
- b) concurente într-un punct
- c) confundate, adică aceeași dreaptă
- d) perpendiculare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) paralele distincte

Determinantul sistemului este $Δ = 3 \cdot (- 4) - 6 \cdot (- 2) = 0$ , deci dreptele nu sunt concurente. Discuția continuă: $Δ_{1} = - 4 5 - 2 - 4 = 26 \neq = 0$ , deci sistemul este incompatibil și dreptele sunt paralele distincte. Control prin pante: ambele au $m = \frac{3}{2}$ .
Dreptele $d_{1} : x = 4$ și $d_{2} : 3 x + y - 10 = 0$ :
- a) sunt paralele distincte, pentru că $d_{1}$ nu are pantă
- b) sunt concurente, în punctul $(4, - 2)$
- c) sunt confundate, pentru că ambele trec prin $(4, - 2)$
- d) nu se pot compara, pentru că $d_{1}$ nu are pantă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) sunt concurente, în punctul $(4, - 2)$

Scriem $d_{1}$ sub forma generală, $1 \cdot x + 0 \cdot y - 4 = 0$ . Atunci $Δ = 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0 = 1 \neq = 0$ , deci dreptele sunt concurente; înlocuind $x = 4$ în a doua ecuație obținem $y = - 2$ . O verticală taie orice dreaptă neverticală — criteriul cu pante nu se poate nici măcar formula aici.
Despre dreptele $d_{1} : 5 x + 2 y - 3 = 0$ și $d_{2} : - 15 x - 6 y + 9 = 0$ se poate afirma că:
- a) sunt paralele distincte, pentru că $Δ = 0$
- b) sunt concurente, pentru că $Δ_{1} = Δ_{2} = 0$
- c) nu au niciun punct comun
- d) sunt confundate, pentru că $Δ = Δ_{1} = Δ_{2} = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) sunt confundate, pentru că $Δ = Δ_{1} = Δ_{2} = 0$

A doua ecuație este prima înmulțită cu $- 3$ , deci descrie aceeași dreaptă. Prin calcul: $Δ = 5 \cdot (- 6) - (- 15) \cdot 2 = 0$ , $Δ_{1} = 0$ și $Δ_{2} = 0$ , deci sistemul este compatibil nedeterminat — o infinitate de puncte comune. Oprirea la $Δ = 0$ cu concluzia „paralele” este greșeala tipică.

Întrebări conexe

Ce determinant decide dacă două drepte se taie?

Determinantul format cu coeficienții necunoscutelor din cele două ecuații generale. Dacă iese nenul, punctul comun există și este unul singur; anularea lui scoate în evidență celelalte două situații posibile.

Ce raport au coeficienții a două drepte confundate?

Toți trei sunt proporționali, inclusiv termenii liberi: fiecare ecuație se obține din cealaltă înmulțind cu un număr. Practic, este aceeași dreaptă scrisă cu alți coeficienți, iar sistemul are o infinitate de soluții.

Ce se schimbă dacă înmulțesc o ecuație de dreaptă cu 2?

Nu se schimbă nimic: mulțimea punctelor rămâne aceeași, fiindcă zero înmulțit cu doi este tot zero. De aceea două ecuații proporționale descriu o singură dreaptă, iar compararea rapoartelor de coeficienți este o metodă corectă.

Cum aflu intersecția dintre o dreaptă și axa Ox?

Pui $y = 0$ în ecuația dreptei și rezolvi ecuația rămasă. Pentru $2 x - 3 y + 6 = 0$ iese $x = - 3$ , deci tăietura este în punctul $(- 3, 0)$ ; analog, pentru cealaltă axă se pune $x = 0$ .

Pot două drepte distincte să aibă două puncte comune?

Nu, fiindcă prin două puncte trece o singură dreaptă. Dacă un calcul dă două puncte comune, atunci cele două ecuații descriu de fapt aceeași dreaptă, iar punctele comune sunt o infinitate.

Cum verific punctul de intersecție găsit?

Îl înlocuiești în ambele ecuații, nu doar în prima. Verificarea într-o singură ecuație nu spune nimic, fiindcă orice punct de pe una dintre drepte o satisface, fără să fie neapărat pe cealaltă.

Oamenii mai întreabă și: poziția relativă a două drepte · drepte concurente paralele sau confundate · când se taie două drepte · sistem de două ecuații și două drepte · cum aflu unde se intersectează două drepte