Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int \frac{dx}{x^{2} + 100}$$ este egală cu:

$$\dfrac{1}{10}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{10} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{10}\arcsin\dfrac{x}{10} + \mathcal{C}$$

$$\ln\left(x^{2} + 100\right) + \mathcal{C}$$

$$\operatorname{arctg}\dfrac{x}{10} + \mathcal{C}$$

Pe intervalul $$(-8, 8)$$, $$\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{64 - x^{2}}}$$ este egală cu:

$$\arcsin\dfrac{x}{8} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{8}\arcsin\dfrac{x}{8} + \mathcal{C}$$

$$\ln\left(x + \sqrt{64 - x^{2}}\right) + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{8}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{8} + \mathcal{C}$$

Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 36}}$$ este egală cu:

$$\ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 36}\right) + \mathcal{C}$$

$$\ln\left\lvert x + \sqrt{x^{2} + 36} \right\rvert + \mathcal{C}$$

$$\arcsin\dfrac{x}{6} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{6}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{6} + \mathcal{C}$$

Ce primitivă are 1 supra 1 plus x pătrat?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Primitive cu arctangentă și arcsinus

Pe $R$ are loc $\int \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctg x + C$ , fiindcă derivata arctangentei este chiar $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ . Cu un parametru $a > 0$ în numitor apare un factor în față: $\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$ , deci pentru $a = 3$ iese $\frac{1}{3} arctg \frac{x}{3}$ . Semnalul care duce la acest rând este numitorul de gradul al doilea, fără radical și fără rădăcini reale. Verificarea se face derivând rezultatul.

Rândurile 11–16 completează tabelul, cu parametrul $a > 0$ . Ele se sprijină pe derivatele funcțiilor trigonometrice inverse, deduse din identitățile care le definesc: din $tg (arctg x) = x$ se obține $(arctg x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ , iar din $sin (arcsin x) = x$ se obține $(arcsin x)^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ .

Cele șase rânduri noi sunt: $\int \frac{d x}{x ^{2} - a ^{2}} = \frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a} + C$ ; $\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$ ; $\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = ln (x + x^{2} + a^{2}) + C$ ; $\int \frac{d x}{x ^{2} - a ^{2}} = ln x + x^{2} - a^{2} + C$ ; $\int \frac{d x}{a ^{2} - x ^{2}} = arcsin \frac{x}{a} + C$ ; plus primitivele lui $tg$ și $ctg$ .

Semnalul care decide este radicalul de la numitor: fără radical se ajunge la arctangentă sau la logaritm de raport, cu radical la logaritm de sumă sau la arcsinus. Atenție la factorul $\frac{1}{a}$ : el apare în fața arctangentei, dar nu în fața arcsinusului, unde derivarea interiorului îl produce singură. Rândul 13 se scrie fără modul, pentru că $x + x^{2} + a^{2} > 0$ oricare ar fi $x$ . Răspunsul complet conține și intervalul.

De reținut

$\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$ , cu $a > 0$
$\int \frac{d x}{a ^{2} - x ^{2}} = arcsin \frac{x}{a} + C$ pe $(- a, a)$
$\int \frac{d x}{x ^{2} - a ^{2}} = \frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a} + C$
radical la numitor: arcsinus sau logaritm

Greșeala tipică

Se pune factorul $\frac{1}{a}$ și în fața arcsinusului. Acolo nu are ce căuta, fiindcă derivarea interiorului îl produce singură: $\int \frac{d x}{9 - x ^{2}} = arcsin \frac{x}{3} + C$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ , $\int \frac{d x}{x ^{2} + 100}$ este egală cu:
- a) $\frac{1}{10} arctg \frac{x}{10} + C$
- b) $\frac{1}{10} arcsin \frac{x}{10} + C$
- c) $ln (x^{2} + 100) + C$
- d) $arctg \frac{x}{10} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{10} arctg \frac{x}{10} + C$

Este rândul 12 cu $a = 10$ : $\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$ . Factorul $\frac{1}{10}$ este obligatoriu, altfel derivarea ar da $\frac{10}{x ^{2} + 100}$ . Arcsinusul cere radical la numitor, iar logaritmul ar cere derivata numitorului la numărător.
Pe intervalul $(- 8, 8)$ , $\int \frac{d x}{64 - x ^{2}}$ este egală cu:
- a) $\frac{1}{8} arcsin \frac{x}{8} + C$
- b) $arcsin \frac{x}{8} + C$
- c) $ln (x + 64 - x^{2}) + C$
- d) $\frac{1}{8} arctg \frac{x}{8} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $arcsin \frac{x}{8} + C$

Este rândul 15 cu $a = 8$ , iar acolo nu apare factorul $\frac{1}{a}$ : $(arcsin \frac{x}{8})^{'} = \frac{1}{1 - \frac{x ^{2}}{64}} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{64 - x ^{2}}$ , pentru că radicalul consumă chiar acel $\frac{1}{8}$ .
Pe $R$ , $\int \frac{d x}{x ^{2} + 36}$ este egală cu:
- a) $ln x + x^{2} + 36 + C$
- b) $arcsin \frac{x}{6} + C$
- c) $\frac{1}{6} arctg \frac{x}{6} + C$
- d) $ln (x + x^{2} + 36) + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $ln (x + x^{2} + 36) + C$

Este rândul 13 cu $a = 6$ , singurul din familie care se scrie fără modul: cum $x^{2} + 36 > ∣ x ∣$ , expresia $x + x^{2} + 36$ este strict pozitivă pentru orice $x$ real. Radicalul de la numitor exclude arctangenta, iar ordinea termenilor de sub radical exclude arcsinusul.

Întrebări conexe

De ce apare factorul 1 supra a la arctangentă, dar nu la arcsinus?

Pentru că la $arctg \frac{x}{a}$ derivarea interiorului aduce $\frac{1}{a}$ , iar numitorul $x^{2} + a^{2}$ mai scoate un $a^{2}$ ; rămâne $\frac{1}{a}$ în față. La $arcsin \frac{x}{a}$ radicalul scoate un singur $a$ , exact cât produce derivarea interiorului, iar cele două se simplifică între ele.

Cât este integrala din 1 supra x pătrat minus 9?

Numitorul se descompune, deci lucrează rândul cu logaritm de raport: $\int \frac{d x}{x ^{2} - 9} = \frac{1}{6} ln \frac{x - 3}{x + 3} + C$ , unde $6 = 2 a$ , cu $a = 3$ . Rezultatul se scrie pe câte unul dintre intervalele $(- \infty, - 3)$ , $(- 3, 3)$ și $(3, + \infty)$ , fiindcă în $\pm 3$ funcția nu este definită.

De ce nu merge rândul cu arctangentă la 1 supra x pătrat minus 4?

Arctangenta apare numai când numitorul rămâne strict pozitiv, adică la forma $x^{2} + a^{2}$ . Aici $x^{2} - 4$ se anulează în $- 2$ și în $2$ și își schimbă semnul, deci se descompune în factori și dă un logaritm de raport, cu modul. Semnul dintre pătrate decide rândul.

Ce se cere de la parametrul a din rândurile 11-16 ale tabelului?

Se cere $a > 0$ . Condiția face ca $a^{2}$ să fie chiar pătratul lui, iar $a^{2} - x^{2}$ să aibă sens pe $(- a, a)$ ; tot ea permite scrierea factorului $\frac{1}{a}$ fără discuție de semn. Dacă în enunț apare $x^{2} + 5$ , se lucrează cu $a = 5$ , nu cu $5$ .

Cum verific un rând din tabelul primitivelor fără să îl caut?

Derivezi membrul drept și trebuie să obții integrandul. De exemplu, $(ln (x + x^{2} + 1))^{'} = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ , deci rândul este corect. Controlul acesta prinde și constantele din față, și semnele. Se scrie apoi intervalul pe care egalitatea are loc.

Oamenii mai întreabă și: primitiva lui 1 supra 1 plus x pătrat · integrala din 1 supra x pătrat plus a pătrat · când iese arctangentă la o integrală · derivata lui arctangentă · tabelul primitivelor cu arcsinus