Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int \frac{dx}{x^{2} + 4x + 29}$$ este egală cu:

$$\dfrac{1}{5}\operatorname{arctg}\dfrac{x+2}{5} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{5}\ln\left(x^{2} + 4x + 29\right) + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{5}\arcsin\dfrac{x+2}{5} + \mathcal{C}$$

$$\operatorname{arctg}\dfrac{x+2}{5} + \mathcal{C}$$

Pe intervalul $$(9, +\infty)$$, $$\displaystyle\int \frac{dx}{x^{2} - 18x + 81}$$ este egală cu:

$$-\dfrac{1}{x - 9} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{x - 9} + \mathcal{C}$$

$$\operatorname{arctg}(x - 9) + \mathcal{C}$$

$$\ln\lvert x - 9 \rvert + \mathcal{C}$$

Pe intervalul $$(-5, 1)$$, $$\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{5 - 4x - x^{2}}}$$ este egală cu:

$$\arcsin\dfrac{x + 2}{3} + \mathcal{C}$$

$$\arcsin\dfrac{x - 2}{3} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{3}\arcsin\dfrac{x + 2}{3} + \mathcal{C}$$

$$\ln\left(x + 2 + \sqrt{5 - 4x - x^{2}}\right) + \mathcal{C}$$

Cum integrez o fracție cu trinom la numitor?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Primitive cu trinom de gradul al doilea

Rețeta are trei etape. Scrii numărătorul ca $α$ înmulțit cu derivata trinomului, plus o constantă; integrezi direct bucata cu derivata, care dă $ln ∣ T (x)∣$ ; iar ce rămâne cade, după completarea pătratului, pe un rând din tabel. Semnul discriminantului decide finalul: la $Δ < 0$ apare arctangenta, la $Δ > 0$ logaritmul unui raport. De pildă, $\int \frac{d x}{x ^{2} + 2 x + 5} = \frac{1}{2} arctg \frac{x + 1}{2} + C$ .

Rețeta trinomului are trei etape. Etapa 1: numărătorul $m x + n$ se scrie ca $α (2 a x + b) + β$ , adică „ $α$ ori derivata trinomului, plus o constantă”. Etapa 2: bucata cu derivata se integrează direct și dă $ln ∣ T (x) ∣$ la fracție, respectiv $2 T (x)$ la radical. Etapa 3: restul se integrează după completarea pătratului, cu rândurile 11–15 ale tabelului canonic.

La fracție decide semnul discriminantului: $Δ < 0$ dă arctangentă, $Δ = 0$ dă un pătrat perfect și deci $- \frac{1}{t}$ (nu arctangentă!), iar $Δ > 0$ dă logaritmul unui raport. La radical decide întâi semnul coeficientului dominant: negativ $\Rightarrow$ arcsinus, pozitiv $\Rightarrow$ logaritm, cu modul doar când $Δ > 0$ .

Modulul nu este decorativ: la trinom cu $Δ < 0$ se scrie $ln (x^{2} + p x + q)$ fără modul, pentru că expresia e strict pozitivă. Coeficientul dominant se scoate înaintea completării pătratului și lasă în față factorul $\frac{1}{a}$ la fracție, respectiv $\frac{1}{∣ a ∣}$ la radical. Răspunsul se încheie cu intervalul, mai ales când trinomul are rădăcini reale și domeniul se rupe.

De reținut

$m x + n = α (2 a x + b) + β$
$Δ < 0$ : arctangentă; $Δ > 0$ : logaritm de raport
$Δ = 0$ : putere negativă, nu arctangentă
coeficientul dominant se scoate întâi

Greșeala tipică

Se descompune direct în fracții simple un trinom cu $Δ < 0$ . Un astfel de trinom nu are rădăcini reale, deci nu se sparge: singura cale este forma canonică, urmată de rândul cu arctangentă.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ , $\int \frac{d x}{x ^{2} + 4 x + 29}$ este egală cu:
- a) $\frac{1}{5} ln (x^{2} + 4 x + 29) + C$
- b) $\frac{1}{5} arcsin \frac{x + 2}{5} + C$
- c) $\frac{1}{5} arctg \frac{x + 2}{5} + C$
- d) $arctg \frac{x + 2}{5} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{1}{5} arctg \frac{x + 2}{5} + C$

Forma canonică este $x^{2} + 4 x + 29 = (x + 2)^{2} + 25$ , iar $Δ = 16 - 116 < 0$ , deci se aplică rândul 12 cu $k = 5$ : $\frac{1}{5} arctg \frac{x + 2}{5} + C$ . Factorul $\frac{1}{5}$ este obligatoriu; arcsinusul ar cere radical la numitor.
Pe intervalul $(9, + \infty)$ , $\int \frac{d x}{x ^{2} - 18 x + 81}$ este egală cu:
- a) $- \frac{1}{x - 9} + C$
- b) $\frac{1}{x - 9} + C$
- c) $arctg (x - 9) + C$
- d) $ln ∣ x - 9 ∣ + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{1}{x - 9} + C$

Aici $Δ = 324 - 324 = 0$ , deci trinomul este pătrat perfect: $x^{2} - 18 x + 81 = (x - 9)^{2}$ , iar integrala este a unei puteri, nu o arctangentă: $\int (x - 9)^{- 2} d x = - \frac{1}{x - 9} + C$ . Logaritmul apare doar la exponentul $1$ .
Pe intervalul $(- 5, 1)$ , $\int \frac{d x}{5 - 4 x - x ^{2}}$ este egală cu:
- a) $arcsin \frac{x - 2}{3} + C$
- b) $arcsin \frac{x + 2}{3} + C$
- c) $\frac{1}{3} arcsin \frac{x + 2}{3} + C$
- d) $ln (x + 2 + 5 - 4 x - x^{2}) + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $arcsin \frac{x + 2}{3} + C$

Coeficientul dominant este negativ, deci rezultatul este un arcsinus: $5 - 4 x - x^{2} = 9 - (x + 2)^{2}$ , iar rândul 15 cu $k = 3$ dă $arcsin \frac{x + 2}{3} + C$ , fără factorul $\frac{1}{3}$ . Domeniul se citește din $9 - (x + 2)^{2} > 0$ , adică $x \in (- 5, 1)$ .

Întrebări conexe

Cum scriu numărătorul mx plus n cu derivata trinomului?

Derivata lui $a x^{2} + b x + c$ este $2 a x + b$ , deci pui $m x + n = α (2 a x + b) + β$ și identifici coeficienții: $α = \frac{m}{2 a}$ , iar $β$ iese din termenul liber. Pentru $\frac{2 x + 7}{x ^{2} + 2 x + 5}$ avem $2 x + 7 = (2 x + 2) + 5$ , adică $α = 1$ și $β = 5$ .

Ce dă la primitive un trinom cu discriminant nul la numitor?

Nu dă arctangentă. Trinomul devine un pătrat, iar integrala scade cu o putere: $\int \frac{d x}{x ^{2} - 6 x + 9} = - \frac{1}{x - 3} + C$ . Domeniul se rupe în punctul care anulează trinomul, deci rezultatul se scrie pe câte unul dintre cele două intervale rămase.

Ce fac dacă trinomul de la numitor începe cu $2 x^{2}$ ?

Scoți $2$ factor comun și rămâi cu un trinom cu coeficient dominant $1$ , înmulțit cu $\frac{1}{2}$ în fața integralei. Abia apoi completezi pătratul sau desparți în fracții simple. Fără pasul acesta, formula cu arctangentă nu se potrivește peste expresie.

Ce înseamnă completarea pătratului la un trinom?

Rescrierea $x^{2} + p x + q = (x + \frac{p}{2})^{2} + q - \frac{p ^{2}}{4}$ , adică strângerea variabilei într-un pătrat și lăsarea unui număr alături. Așa apare forma $t^{2} + a^{2}$ sau $t^{2} - a^{2}$ din tabel, cu $t = x + \frac{p}{2}$ și cu $d t = d x$ .

Cât este integrala din 1 supra x pătrat plus 2x plus 5?

Completezi pătratul: $x^{2} + 2 x + 5 = (x + 1)^{2} + 4$ , deci $a = 2$ , iar rândul cu arctangentă dă $\frac{1}{2} arctg \frac{x + 1}{2} + C$ . Rezultatul este valabil pe toată axa, fiindcă $Δ = - 16$ , iar numitorul nu se anulează nicăieri.

Oamenii mai întreabă și: integrala cu trinom la numitor · primitive cu trinom de gradul 2 · când iese arctangentă și când logaritm · forma canonică la integrale · integrala din 1 supra x pătrat plus px plus q