Pentru $$\displaystyle\int \sqrt{x^{2} + 9}\,dx$$, metoda potrivită este:

integrarea prin părți, cu factorul $$1$$

aplicarea directă a unui rând din tabelul canonic

raționalizarea cu substituția $$t = \sqrt{x^{2} + 9}$$

Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int \frac{e^{x}}{e^{2x} + 9}\,dx$$ este egală cu:

$$\dfrac{1}{3}\operatorname{arctg}\dfrac{e^{x}}{3} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{9}\operatorname{arctg}\dfrac{e^{x}}{3} + \mathcal{C}$$

$$\ln\left(e^{2x} + 9\right) + \mathcal{C}$$

$$\operatorname{arctg}\dfrac{e^{x}}{3} + \mathcal{C}$$

Cum integrez o funcție cu radical?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Primitive cu radicali și exponențiale

Când radicalul acoperă o expresie de gradul întâi, notezi cu $t$ chiar radicalul, îl scoți pe $x$ din egalitatea obținută și recalculezi $d x$ ; pentru $n a x + b$ se ia $t = n a x + b$ , iar integrala devine rațională. Când dedesubt apare un trinom, mutarea aceasta nu ajută: se folosesc părțile sau forma canonică a trinomului. Intervalul se scrie de fiecare dată.

A raționaliza o integrală înseamnă a nota cu $t$ chiar radicalul, a-l exprima pe $x$ în funcție de $t$ și a recalcula $d x$ — mișcarea inversă față de recunoașterea tiparului $f (u (x)) u^{'} (x)$ . Pentru $n a x + b$ substituția este $t = n a x + b$ ; când apar mai mulți radicali, indicele lui $t$ este cel mai mic multiplu comun al indicilor.

Regula de triaj desparte cazurile: radical dintr-o expresie de gradul întâi $\Rightarrow$ raționalizare; radical dintr-o expresie de gradul al doilea $\Rightarrow$ integrare prin părți sau forma canonică a trinomului. Încercarea de a raționaliza $x^{2} + a^{2}$ doar mută radicalul dintr-un loc în altul.

La exponențiale, substituția $t = e^{x}$ transformă orice expresie rațională în $e^{x}$ într-o funcție rațională de $t$ , pentru că $d x = \frac{d t}{t}$ ; pentru baza $a$ apare în plus factorul $\frac{1}{ln a}$ , invizibil la baza $e$ doar pentru că $ln e = 1$ .

Două capcane: substituția schimbă și diferențiala — din $x = t^{2}$ rezultă $d x = 2 t d t$ — iar răspunsul nu are voie să rămână în $t$ . În primitivele cu $e^{x}$ logaritmul se scrie fără modul, pentru că $e^{x} + k$ este strict pozitiv; la radicali, intervalul se precizează de fiecare dată.

De reținut

$t = n a x + b$ ; indici diferiți: cel mai mic multiplu comun
$t = e^{x}$ , $d x = \frac{d t}{t}$
$x = φ (t) \Rightarrow d x = φ^{'} (t) d t$

Greșeala tipică

Se încearcă raționalizarea lui $x^{2} + a^{2}$ . Substituția nu face decât să mute radicalul dintr-un loc în altul; expresiile de gradul al doilea de sub radical se rezolvă prin părți sau prin forma canonică.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $\int x^{2} + 9 d x$ , metoda potrivită este:
- a) aplicarea directă a unui rând din tabelul canonic
- b) raționalizarea cu substituția $t = x^{2} + 9$
- c) integrarea prin părți, cu factorul $1$
- d) substituția $u = x^{2} + 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) integrarea prin părți, cu factorul $1$

Regula de triaj: sub radical stă o expresie de gradul al doilea, deci raționalizarea nu ajută — din $t^{2} = x^{2} + 9$ rezultă $x = t^{2} - 9$ , adică radicalul a fost doar mutat. Se integrează prin părți cu factorul $1$ și rescrierea $x^{2} = (x^{2} + 9) - 9$ . Substituția $u = x^{2} + 9$ ar cere un $x$ liber în integrand.
Pe $R$ , $\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 9} d x$ este egală cu:
- a) $\frac{1}{9} arctg \frac{e ^{x}}{3} + C$
- b) $ln (e^{2 x} + 9) + C$
- c) $arctg \frac{e ^{x}}{3} + C$
- d) $\frac{1}{3} arctg \frac{e ^{x}}{3} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{1}{3} arctg \frac{e ^{x}}{3} + C$

Cu $t = e^{x}$ și $d t = e^{x} d x$ integrala devine $\int \frac{d t}{t ^{2} + 9} = \frac{1}{3} arctg \frac{t}{3} + C$ , apoi se revine la $x$ . Factorul $\frac{1}{3}$ vine din rândul 12 al tabelului; logaritmul ar cere derivata numitorului la numărător.
La substituția $t = a^{x}$ , față de cazul bazei $e$ apare în plus factorul:
- a) $ln a$
- b) $\frac{1}{ln a}$
- c) $a$
- d) $\frac{1}{a}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{ln a}$

Din $t = a^{x}$ rezultă $d t = a^{x} ln a d x$ , deci $d x = \frac{d t}{t ln a}$ : fiecare $d x$ aduce un $\frac{1}{ln a}$ . La baza $e$ acest factor valorează $1$ și de aceea nu se vede — greșeala tipică este să fie uitat prin analogie.

Întrebări conexe

Ce înseamnă a raționaliza o integrală?

Înseamnă a nota radicalul cu $t$ , a-l scoate pe $x$ din această egalitate și a înlocui și diferențiala. Este mișcarea inversă față de recunoașterea tiparului cu derivata interiorului: aici nu cauți derivata în integrand, ci schimbi complet variabila și ajungi la o funcție rațională.

Ce se schimbă la dx când notez x egal t la pătrat?

Se schimbă și el: din $x = t^{2}$ rezultă $d x = 2 t d t$ . Uitarea acestui factor strică tot calculul. Regula generală: dacă scrii $x = φ (t)$ , atunci $d x = φ^{'} (t) d t$ , iar noua integrală conține acest factor înmulțit cu restul.

Cât este integrala din 1 supra e la x plus e la minus x?

Amplifici cu $e^{x}$ și substitui $t = e^{x}$ : $\int \frac{d x}{e ^{x} + e ^{- x}} = \int \frac{e ^{x} d x}{e ^{2 x} + 1} = arctg (e^{x}) + C$ . Substituția aceasta transformă orice expresie rațională în $e^{x}$ într-una rațională în $t$ , fiindcă din $t = e^{x}$ rezultă $d x = \frac{d t}{t}$ , iar puterile devin puteri ale lui $t$ .

De unde vine factorul 1 supra logaritm natural de a?

Din derivata exponențialei cu baza $a$ , care este $a^{x} ln a$ . De aceea $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ . La baza $e$ factorul rămâne nevăzut fiindcă $ln e = 1$ , dar la orice altă bază el trebuie scris.

Cum aleg intervalul la o primitivă cu radical din x minus 1?

Din condiția de existență a expresiei inițiale, adică $x - 1 \geq 0$ . Dacă radicalul stă la numitor, inegalitatea devine strictă, deci intervalul este $(1, + \infty)$ . Rezultatul obținut după substituție are sens numai acolo, oricât de simplu ar arăta în variabila $t$ .

Oamenii mai întreabă și: integrale cu radicali · raționalizarea unei integrale · substituția t egal radical din ax plus b · primitive cu exponențiale · integrala din 1 supra e la x plus 1