Care este primul pas în determinarea primitivelor unei funcții definite pe ramuri?

verificarea continuității în punctul de racord

calcularea unei primitive pe fiecare ramură

Primitiva $$F$$ a funcției $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = \lvert x - 3 \rvert$$, care verifică $$F(3) = 0$$, este:

$$F(x) = \begin{cases} -\dfrac{(x-3)^{2}}{2}, & x \le 3 \\ \dfrac{(x-3)^{2}}{2}, & x > 3 \end{cases}$$

$$F(x) = \dfrac{\lvert x - 3 \rvert^{2}}{2} + 3$$, pentru orice $$x \in \mathbb{R}$$

$$F(x) = \dfrac{(x-3)^{2}}{2}$$, pentru orice $$x \in \mathbb{R}$$

$$F(x) = \left\lvert \dfrac{(x-3)^{2}}{2} \right\rvert$$, pentru orice $$x \in \mathbb{R}$$

Care afirmație despre integrarea funcțiilor cu modul este corectă?

modulul se elimină înainte de integrare, pe ramuri, după semnul expresiei

modulul se poate scoate în față ca o constantă

o funcție cu modul nu admite primitive

$$\displaystyle\int \lvert g(x) \rvert\,dx = \left\lvert \int g(x)\,dx \right\rvert$$

Cum calculez primitiva unei funcții pe ramuri?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Primitivele funcțiilor pe ramuri

Întâi verifici continuitatea în punctul de racord: fără ea funcția nu are primitive pe tot intervalul. Apoi scrii primitivele celor două ramuri, fiecare cu constanta ei, le legi cerând ca $F$ să fie continuă în racord și verifici la final derivabilitatea lui $F$ în acel punct. Pentru $f (x) = x$ pe $x \leq 1$ și $f (x) = 1$ pe $x > 1$ iese $F (x) = \frac{x ^{2}}{2} + c$ , respectiv $F (x) = x + c - \frac{1}{2}$ .

O funcție definită pe ramuri admite primitive pe un interval dacă și numai dacă este continuă în punctul de racord — verificare care se face înaintea oricărui calcul. Apoi se aplică cei patru pași ai racordării: (1) continuitatea în punctul de racord; (2) câte o primitivă pe fiecare ramură, cu constante distincte; (3) legarea constantelor prin continuitatea lui $F$ ; (4) verificarea derivabilității lui $F$ în punctul de racord.

Constantele nu sunt independente: ele diferă exact cu decalajul $F_{1} (x_{0}) - F_{2} (x_{0})$ , iar familia primitivelor rămâne cu o singură constantă liberă. Pasul 4 nu este decorativ — continuitatea lui $F$ se poate obține și pentru funcții care nu admit primitive — și se justifică fie din definiție, cu cele două rapoarte incrementale, fie cu Consecința 3 a teoremei lui Lagrange, care este calea scurtă de examen.

Funcțiile cu modul se rescriu întâi pe ramuri, după semnul expresiei dinăuntru: egalitatea $\int ∣ g (x)∣ d x = \int g (x) d x$ este falsă. Și o distincție de care atârnă tot capitolul: la o funcție pe ramuri punctul de racord aparține domeniului, iar constantele se leagă; pe o reuniune de intervale, cum este domeniul lui $\frac{1}{x}$ , ele rămân independente pe fiecare bucată.

De reținut

primitive pe interval $⟺$ $f$ continuă în racord
constantele se leagă din continuitatea lui $F$
$\int ∣ g ∣ d x \neq = \int g d x$
pasul 4: derivabilitatea lui $F$ în $x_{0}$

Greșeala tipică

Se scriu două constante independente și se lasă așa. Pe un interval, familia primitivelor are un singur parametru: a doua constantă iese din prima, prin continuitatea lui $F$ în punctul de racord.

Exerciții din această mini-lecție

Care este primul pas în determinarea primitivelor unei funcții definite pe ramuri?
- a) calcularea unei primitive pe fiecare ramură
- b) verificarea continuității în punctul de racord
- c) legarea constantelor prin continuitatea lui $F$
- d) verificarea derivabilității lui $F$ în punctul de racord
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) verificarea continuității în punctul de racord

Dacă funcția nu este continuă în punctul de racord, ea are acolo o discontinuitate de speța I și, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, nu admite primitive: orice calcul de după ar fi inutil. Celelalte trei variante sunt pașii 2, 3 și 4, în această ordine.
Primitiva $F$ a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = ∣ x - 3 ∣$ , care verifică $F (3) = 0$ , este:
- a) $F (x) = \frac{∣ x - 3 ∣ ^{2}}{2} + 3$ , pentru orice $x \in R$
- b) $F (x) = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{2}$ , pentru orice $x \in R$
- c) $F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - \frac{( x - 3 ) ^{2}}{2}, \frac{( x - 3 ) ^{2}}{2}, x \leq 3 x > 3$
- d) $F (x) = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{2}$ , pentru orice $x \in R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - \frac{( x - 3 ) ^{2}}{2}, \frac{( x - 3 ) ^{2}}{2}, x \leq 3 x > 3$

Se rescrie $f$ pe ramuri: $f (x) = 3 - x$ pentru $x \leq 3$ și $f (x) = x - 3$ pentru $x > 3$ . O primitivă pe prima ramură este $- \frac{( x - 3 ) ^{2}}{2}$ , pe a doua $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{2}$ ; ambele se anulează în $3$ , deci decalajul este nul și $F$ este continuă. Varianta scrisă cu o singură formulă pe tot $R$ are derivata $x - 3$ , negativă în stânga lui $3$ , deci nu este $∣ x - 3 ∣$ .
Care afirmație despre integrarea funcțiilor cu modul este corectă?
- a) modulul se poate scoate în față ca o constantă
- b) o funcție cu modul nu admite primitive
- c) $\int ∣ g (x)∣ d x = \int g (x) d x$
- d) modulul se elimină înainte de integrare, pe ramuri, după semnul expresiei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) modulul se elimină înainte de integrare, pe ramuri, după semnul expresiei

Modulul nu comută cu integrarea: pentru $g (x) = x$ pe $[- 1, 1]$ , membrul stâng crește, iar cel drept nu. Se rezolvă inecuația $g (x) \geq 0$ , se scrie $f$ pe ramuri și se aplică cei patru pași. Funcțiile cu modul de acest tip sunt continue, deci admit primitive.

Întrebări conexe

Ce fac dacă funcția are două puncte de racord?

Legi constantele pe rând, de la stânga la dreapta: prima o alegi liberă, a doua iese din continuitatea în primul racord, a treia din continuitatea în al doilea. Rămâne tot un singur parametru, oricâte bucăți ar avea funcția, atâta timp cât domeniul este un interval.

Ce spune Consecința 3 a teoremei lui Lagrange despre racord?

Când $F$ este continuă în $x_{0}$ și derivabilă în vecinătatea acestui punct, iar $x \to x_{0} lim F^{'} (x)$ este un număr, rezultă că $F$ este derivabilă în $x_{0}$ , cu derivata egală cu acea limită. Este calea scurtă de examen pentru pasul al patrulea, în locul rapoartelor incrementale.

Ce deosebire e între punct de racord și capăt de interval?

Punctul de racord aparține domeniului și leagă cele două ramuri, deci constantele se leagă acolo. Un domeniu rupt, cum este $R^{*}$ , nu are punct comun între bucăți: pe fiecare interval constanta se alege liber, iar răspunsul conține două constante.

Ce se pierde dacă sar peste verificarea derivabilității lui F?

Se poate ajunge la o funcție continuă în racord care totuși nu este primitivă acolo, fiindcă lipirea continuă se obține și pentru funcții cu salt. Pasul al patrulea este singurul care arată că $F^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$ , deci el decide dacă rezolvarea este completă.

Poate F să fie continuă fără ca f să admită primitive?

Da. Constanta se poate potrivi încât lipirea celor două ramuri ale lui $F$ să nu aibă rupturi, chiar dacă $f$ sare în racord; ce lipsește este derivabilitatea lui $F$ în acel punct. De aceea continuitatea lui $f$ se verifică înaintea oricărui calcul.

Oamenii mai întreabă și: primitive pe ramuri · primitiva unei funcții definite pe ramuri · cum leg constantele la primitive · primitiva funcției cu modul · racordarea primitivelor