Funcția rațională $$\dfrac{3x + 1}{(x - 2)^{2}(x + 1)}$$ se descompune în:

$$\dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{(x - 2)^{2}} + \dfrac{C}{x + 1}$$

$$\dfrac{A}{(x - 2)^{2}} + \dfrac{B}{x + 1}$$

$$\dfrac{Ax + B}{(x - 2)^{2}} + \dfrac{C}{x + 1}$$

$$\dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1}$$

Pe intervalul $$(-4, +\infty)$$, $$\displaystyle\int \frac{dx}{(x + 4)^{3}}$$ este egală cu:

$$-\dfrac{1}{2(x + 4)^{2}} + \mathcal{C}$$

$$\ln\lvert x + 4 \rvert + \mathcal{C}$$

$$-\dfrac{1}{3(x + 4)^{2}} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{2(x + 4)^{2}} + \mathcal{C}$$

Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int \frac{2x}{x^{2} + 13}\,dx$$ este egală cu:

$$\ln\left(x^{2} + 13\right) + \mathcal{C}$$

$$\ln\left\lvert x^{2} + 13 \right\rvert + \mathcal{C}$$

$$2\ln\left(x^{2} + 13\right) + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{2x^{2}}{x^{2} + 13} + \mathcal{C}$$

Câți termeni dă o rădăcină multiplă?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Raționale: rădăcini multiple și trinoame

Un factor $(x - a)^{k}$ aduce exact $k$ termeni, cu numitorii $x - a$ , $(x - a)^{2}$ , până la $(x - a)^{k}$ , toți cu numărători constanți. Așa, $\frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )}$ se scrie cu trei termeni: $\frac{A}{x}$ , $\frac{B}{x ^{2}}$ și $\frac{C}{x + 1}$ . Verificarea care se face înaintea oricărui calcul este că numărul necunoscutelor egalează gradul numitorului.

Când numitorul are rădăcini multiple sau factori de gradul al doilea fără rădăcini reale, descompunerea se schimbă, dar rețeta rămâne aceeași. Un factor $(x - a)^{k}$ aduce $k$ termeni, cu numitorii $x - a$ , $(x - a)^{2}$ , …, $(x - a)^{k}$ și numărători constanți. Un factor $x^{2} + p x + q$ cu $p^{2} - 4 q < 0$ aduce un singur termen, dar cu numărător $B x + C$ — adică doi coeficienți, cât gradul factorului.

Controlul de dinaintea oricărui calcul: numărul total de coeficienți necunoscuți este egal cu gradul numitorului.

Integrarea se schimbă și ea. Fracțiile $\frac{A}{( x - a ) ^{k}}$ cu $k \geq 2$ nu dau logaritm, ci puteri negative: $- \frac{A}{( k - 1 ) ( x - a ) ^{k - 1}} + C$ . Termenul cu trinom se rupe în două: bucata cu derivata numitorului dă un logaritm, restul dă o arctangentă, după completarea pătratului. Regula modulului: $ln ∣ x - a ∣$ la factorii de gradul întâi, $ln (x^{2} + p x + q)$ fără modul la trinoamele cu $Δ < 0$ , pentru că acestea sunt strict pozitive.

Coeficienții se află prin metoda mixtă: valori particulare la rădăcinile reale, identificare pentru restul. Iar înainte de a scrie $\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q}$ , se calculează $Δ$ : dacă e pozitiv, trinomul se sparge.

De reținut

$(x - a)^{k}$ aduce $k$ termeni
trinom cu $Δ < 0$ : numărător $B x + C$
necunoscute $=$ gradul numitorului
$k \geq 2$ : putere negativă, nu logaritm

Greșeala tipică

Se scriu bare de modul și la trinomul cu $Δ < 0$ . Acolo expresia este strict pozitivă, deci barele nu au rost; modulul rămâne la factorii de gradul întâi, care își schimbă semnul.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția rațională $\frac{3 x + 1}{( x - 2 ) ^{2} ( x + 1 )}$ se descompune în:
- a) $\frac{A}{( x - 2 ) ^{2}} + \frac{B}{x + 1}$
- b) $\frac{A x + B}{( x - 2 ) ^{2}} + \frac{C}{x + 1}$
- c) $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$
- d) $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{( x - 2 ) ^{2}} + \frac{C}{x + 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{( x - 2 ) ^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

Factorul $(x - 2)^{2}$ aduce doi termeni, cu numitorii $x - 2$ și $(x - 2)^{2}$ , iar factorul $x + 1$ încă unul: în total $3$ coeficienți, cât gradul numitorului. Cu descompunerile care au numai doi termeni, identitatea de polinoame nu are soluție.
Pe intervalul $(- 4, + \infty)$ , $\int \frac{d x}{( x + 4 ) ^{3}}$ este egală cu:
- a) $ln ∣ x + 4 ∣ + C$
- b) $- \frac{1}{3 ( x + 4 ) ^{2}} + C$
- c) $- \frac{1}{2 ( x + 4 ) ^{2}} + C$
- d) $\frac{1}{2 ( x + 4 ) ^{2}} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- \frac{1}{2 ( x + 4 ) ^{2}} + C$

Este o putere cu exponent $- 3$ : $\int (x + 4)^{- 3} d x = \frac{( x + 4 ) ^{- 2}}{- 2} + C = - \frac{1}{2 ( x + 4 ) ^{2}} + C$ . Logaritmul apare numai la exponentul $1$ , iar la numitor stă $k - 1 = 2$ , nu $k = 3$ .
Pe $R$ , $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 13} d x$ este egală cu:
- a) $ln (x^{2} + 13) + C$
- b) $ln x^{2} + 13 + C$
- c) $2 ln (x^{2} + 13) + C$
- d) $\frac{2 x ^{2}}{x ^{2} + 13} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $ln (x^{2} + 13) + C$

Numărătorul este exact derivata numitorului, deci integrala este $ln$ de numitor. Modulul nu se pune: $x^{2} + 13$ este strict pozitiv ( $Δ < 0$ ). Scrierea cu modul semnalează, la corectare, că nu s-a calculat discriminantul.

Întrebări conexe

Cum controlez numărul de coeficienți necunoscuți?

Îl compari cu gradul numitorului: cele două numere trebuie să fie egale. Un factor liniar la puterea $k$ aduce $k$ necunoscute, iar un trinom fără rădăcini reale aduce două. Dacă numerele nu se potrivesc, descompunerea a fost scrisă greșit și sistemul va ieși fără soluție.

Ce primitivă are 1 supra x minus 3, la pătrat?

Nu dă logaritm, ci o putere negativă: $\int \frac{d x}{( x - 3 ) ^{2}} = - \frac{1}{x - 3} + C$ . Regula generală este $\int \frac{d x}{( x - a ) ^{k}} = - \frac{1}{( k - 1 ) ( x - a ) ^{k - 1}} + C$ , valabilă pentru $k \geq 2$ ; logaritmul apare numai la puterea întâi. De aceea, într-o descompunere cu rădăcină dublă, doar unul dintre cei doi termeni produce un logaritm.

Ce fac cu bucata care conține derivata trinomului?

O integrezi direct și dă un logaritm. Termenul $\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q}$ se rupe în două: partea proporțională cu $2 x + p$ dă $ln (x^{2} + p x + q)$ , scris fără bare, iar restul dă o arctangentă, după completarea pătratului.

De ce se calculează discriminantul înainte de descompunere?

Pentru că un trinom cu discriminant pozitiv se sparge în doi factori liniari, iar atunci numărătorul $B x + C$ nu mai are ce căuta acolo. Scrierea cu numărător de gradul întâi se rezervă trinoamelor care rămân strict pozitive, adică celor cu $Δ < 0$ .

Ce grad maxim are numitorul în problemele de examen?

Cel mult $4$ , cât cere programa. Cu această limită, factorizarea se face cu unelte cunoscute: o rădăcină evidentă, gruparea termenilor ori descompunerea unei diferențe de pătrate. Un numitor de grad mai mare ar cere factorizări care nu se învață la acest capitol.

Oamenii mai întreabă și: rădăcină multiplă la fracții simple · descompunere cu putere la numitor · fracții cu factor de gradul al doilea · câte fracții simple ies · integrale raționale cazuri generale