Pe intervalul $$(2, +\infty)$$, $$\displaystyle\int \frac{dx}{x^{2} - 4}$$ este egală cu:

$$\dfrac{1}{4}\ln\left\lvert \dfrac{x-2}{x+2} \right\rvert + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{4}\ln\left\lvert \dfrac{x+2}{x-2} \right\rvert + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{2} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert \dfrac{x-2}{x+2} \right\rvert + \mathcal{C}$$

Care este primul pas în calculul lui $$\displaystyle\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}\,dx$$?

împărțirea, care dă $$\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-4} = 1 + \dfrac{5}{x^{2}-4}$$

completarea pătratului la numitor

descompunerea directă în fracții simple

Cum descompun în fracții simple?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Funcții raționale: fracții simple

Faci întâi împărțirea, dacă numărătorul are gradul cel puțin cât numitorul, apoi factorizezi numitorul și pui câte un termen pentru fiecare factor: peste o rădăcină reală simplă $a$ stă $\frac{A}{x - a}$ , cu numărător constant. Coeficienții ies înlocuind $x$ cu rădăcinile sau prin identificare. De exemplu, $\frac{1}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})$ , iar primitiva se scrie cu doi logaritmi.

O funcție rațională este câtul a două polinoame, iar primitivele ei se calculează cu rețeta fracțiilor simple, în patru etape. Etapa 1 — împărțirea, obligatorie când $grad P \geq grad Q$ ; sărită, sistemul de mai târziu iese incompatibil. Etapa 2 — factorizarea numitorului. Etapa 3 — descompunerea cu coeficienți nedeterminați. Etapa 4 — integrarea termen cu termen.

Fiecare rădăcină reală simplă $a$ a numitorului aduce exact un termen $\frac{A}{x - a}$ , cu numărător constant, iar primitiva lui este $A ln ∣ x - a ∣ + C$ . Peste un factor de gradul întâi nu se pune niciodată un numărător $A x + B$ : gradele nu s-ar potrivi.

Coeficienții se determină prin valori particulare — cel mai scurt drum când rădăcinile reale sunt distincte, fiindcă înlocuind $x$ cu fiecare rădăcină toți termenii în afară de unul se anulează — sau prin identificare. Programa cere gradul numitorului cel mult $4$ . Două controale obligatorii: modulul la fiecare logaritm și verificarea descompunerii prin aducere la același numitor. Constanta $C$ se scrie o singură dată, la final, iar coeficientul lui $x$ nu se pierde: $\int \frac{d x}{2 x - 1} = \frac{1}{2} ln ∣ 2 x - 1 ∣ + C$ .

De reținut

$\int \frac{A}{x - a} d x = A ln ∣ x - a ∣ + C$
împărțirea se face înaintea descompunerii
rădăcină simplă: numărător constant

Greșeala tipică

Se sare peste împărțire când numărătorul are gradul cel puțin cât numitorul. Sistemul de coeficienți iese atunci fără soluție, iar rezolvarea se blochează fără motiv vizibil.

Exerciții din această mini-lecție

Pe intervalul $(2, + \infty)$ , $\int \frac{d x}{x ^{2} - 4}$ este egală cu:
- a) $\frac{1}{4} ln \frac{x - 2}{x + 2} + C$
- b) $\frac{1}{4} ln \frac{x + 2}{x - 2} + C$
- c) $\frac{1}{2} arctg \frac{x}{2} + C$
- d) $\frac{1}{2} ln \frac{x - 2}{x + 2} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{4} ln \frac{x - 2}{x + 2} + C$

Descompunerea $\frac{1}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{4} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})$ dă $\frac{1}{4} ln \frac{x - 2}{x + 2} + C$ — chiar rândul 11 al tabelului, cu $a = 2$ și factorul $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{4}$ . Arctangenta ar cere sumă de pătrate la numitor.
Descompunerea $\frac{5 x - 7}{x ^{2} - 5 x + 6} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}$ are coeficienții:
- a) $A = - 3$ , $B = - 8$
- b) $A = 8$ , $B = - 3$
- c) $A = - 3$ , $B = 8$
- d) $A = 3$ , $B = 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $A = - 3$ , $B = 8$

Prin valori particulare: acoperind factorul $x - 2$ și punând $x = 2$ se obține $A = \frac{10 - 7}{2 - 3} = - 3$ ; acoperind $x - 3$ și punând $x = 3$ se obține $B = \frac{15 - 7}{3 - 2} = 8$ . Control: $- 3 (x - 3) + 8 (x - 2) = 5 x - 7$ .
Care este primul pas în calculul lui $\int \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4} d x$ ?
- a) completarea pătratului la numitor
- b) substituția $t = x^{2} - 4$
- c) descompunerea directă în fracții simple
- d) împărțirea, care dă $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4} = 1 + \frac{5}{x ^{2} - 4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) împărțirea, care dă $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4} = 1 + \frac{5}{x ^{2} - 4}$

Gradele numărătorului și numitorului sunt egale, deci Etapa 1 cere împărțirea: $x^{2} + 1 = (x^{2} - 4) + 5$ . Fără ea, sistemul din Etapa 3 iese incompatibil, pentru că o sumă de fracții simple are gradul numărătorului strict mai mic decât al numitorului.

Întrebări conexe

Ce este o funcție rațională la capitolul primitivelor?

Este câtul a două polinoame, $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ , definit acolo unde numitorul nu se anulează. Primitivele ei se pot calcula întotdeauna, prin descompunere, iar rezultatul conține logaritmi, arctangente sau puteri negative. Programa cere numitor de grad cel mult $4$ .

De ce nu se pune numărător ax plus b peste un factor de gradul întâi?

Fiindcă numărătorul unei fracții simple are gradul cu unul mai mic decât factorul de la numitor. Peste $x - a$ stă o constantă, iar peste un trinom fără rădăcini reale stă o expresie de gradul întâi. Altfel numărul necunoscutelor nu s-ar potrivi cu gradul numitorului.

Cât este integrala din 1 supra x pătrat minus 1?

După descompunere iese $\frac{1}{2} ln \frac{x - 1}{x + 1} + C$ . Rezultatul se scrie separat pe fiecare dintre cele trei intervale ale domeniului, fiindcă funcția nu are sens în $- 1$ și în $1$ , iar constantele nu se leagă între bucăți.

Cum verific o descompunere în fracții simple?

Aduci termenii găsiți la același numitor și compari numărătorul obținut cu cel din enunț. Un control mai scurt: dai lui $x$ o valoare simplă, de pildă $0$ , în ambii membri; dacă numerele nu ies egale, coeficienții au fost calculați greșit.

Ce se pierde dacă numitorul este 2x minus 1, nu x minus 1?

Se pierde factorul din față. Derivata lui $2 x - 1$ este $2$ , deci $\int \frac{d x}{2 x - 1} = \frac{1}{2} ln ∣ 2 x - 1 ∣ + C$ . Coeficientul lui $x$ nu se lasă deoparte nici la logaritm, nici la puteri negative.

Oamenii mai întreabă și: descompunerea în fracții simple · primitivele funcțiilor raționale · cum integrez o fracție cu polinoame · coeficienți nedeterminați la integrale · fracții simple exemple