Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int \sin^{2}4x\,dx$$ este egală cu:

$$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 8x}{16} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{\sin^{3}4x}{12} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 8x}{8} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 8x}{16} + \mathcal{C}$$

Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int \sin^{3}x\cos^{6}x\,dx$$ este egală cu:

$$\dfrac{\cos^{9}x}{9} - \dfrac{\cos^{7}x}{7} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{\sin^{4}x\cos^{7}x}{28} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{\sin^{4}x}{4} - \dfrac{\sin^{6}x}{6} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{\cos^{7}x}{7} - \dfrac{\cos^{9}x}{9} + \mathcal{C}$$

Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int \cos 3x\cos x\,dx$$ este egală cu:

$$\dfrac{\sin 2x}{4} + \dfrac{\sin 4x}{8} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{\sin 3x\sin x}{3} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{\sin 2x}{4} - \dfrac{\sin 4x}{8} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{\sin 2x}{2} + \dfrac{\sin 4x}{4} + \mathcal{C}$$

Cât este integrala din sinus la pătrat?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Primitivele funcțiilor trigonometrice

Se coboară puterea prin liniarizare: din $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ rezultă $\int sin^{2} x d x = \frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4} + C$ . Regula puterii nu funcționează aici, fiindcă ea privește variabila, nu o funcție de variabilă. Verificarea este imediată: derivata rezultatului este $\frac{1}{2} - \frac{cos 2 x}{2}$ , adică exact $sin^{2} x$ . La puteri pare mai mari, cum este $cos^{4} x$ , aceeași coborâre se face de două ori, până când toți termenii ajung de gradul întâi în cosinus.

Nicio putere a sinusului sau a cosinusului nu se integrează cu regula puterii: aceasta se aplică variabilei, nu unei funcții de variabilă. De aceea capitolul are un tabel de decizie propriu.

Puterile pare se coboară prin liniarizare, cu $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ și $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$ , aplicate de câte ori e nevoie — la $cos^{4} x$ de două ori, până când toți termenii sunt de gradul întâi. Puterile impare se rezolvă cu o singură substituție: se rupe un factor din puterea impară și se substituie cealaltă funcție trigonometrică, folosind $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ pentru rest.

Produsele cu argumente diferite se transformă în sume: la produsul a două sinusuri, cosinusul diferenței vine cu plus și cosinusul sumei cu minus. Primitivele lui $tg x$ , $ctg x$ , $\frac{1}{sin x}$ și $\frac{1}{cos x}$ se deduc prin substituție și se scriu întotdeauna cu intervalul fără poli pe care sunt valabile: $\int tg x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C$ pe $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , de pildă — mulțimea $R ∖ {\frac{π}{2} + k π}$ nu este interval, deci acolo constanta nu ar mai fi unică. Și la argument $a x + b$ apare mereu împărțirea la $a$ .

De reținut

$sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ , $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$
putere pară: liniarizare; putere impară: substituție
$\int tg x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C$

Greșeala tipică

Se scrie $\int sin^{2} x d x = \frac{sin ^{3} x}{3} + C$ . Regula puterii cere ca dedesubt să stea variabila, nu o funcție de ea; derivând acea expresie apare un cosinus care nu are ce căuta acolo.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ , $\int sin^{2} 4 x d x$ este egală cu:
- a) $\frac{sin ^{3} 4 x}{12} + C$
- b) $\frac{x}{2} - \frac{sin 8 x}{16} + C$
- c) $\frac{x}{2} - \frac{sin 8 x}{8} + C$
- d) $\frac{x}{2} + \frac{sin 8 x}{16} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{x}{2} - \frac{sin 8 x}{16} + C$

Liniarizarea dă $sin^{2} 4 x = \frac{1 - cos 8 x}{2}$ , deci integrala este $\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin 8 x}{8} = \frac{x}{2} - \frac{sin 8 x}{16} + C$ . Varianta cu $sin^{3} 4 x$ aplică regula puterii unei funcții compuse, ceea ce este interzis; varianta cu numitorul $8$ uită împărțirea la $8$ din argument.
Pe $R$ , $\int sin^{3} x cos^{6} x d x$ este egală cu:
- a) $\frac{cos ^{9} x}{9} - \frac{cos ^{7} x}{7} + C$
- b) $\frac{sin ^{4} x cos ^{7} x}{28} + C$
- c) $\frac{sin ^{4} x}{4} - \frac{sin ^{6} x}{6} + C$
- d) $\frac{cos ^{7} x}{7} - \frac{cos ^{9} x}{9} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{cos ^{9} x}{9} - \frac{cos ^{7} x}{7} + C$

Exponentul impar este al sinusului: se rupe un $sin x$ și se substituie $t = cos x$ , cu $d t = - sin x d x$ și $sin^{2} x = 1 - t^{2}$ . Rezultă $- \int (1 - t^{2}) t^{6} d t = - \frac{t ^{7}}{7} + \frac{t ^{9}}{9}$ , adică $\frac{cos ^{9} x}{9} - \frac{cos ^{7} x}{7} + C$ .
Pe $R$ , $\int cos 3 x cos x d x$ este egală cu:
- a) $\frac{sin 3 x sin x}{3} + C$
- b) $\frac{sin 2 x}{4} - \frac{sin 4 x}{8} + C$
- c) $\frac{sin 2 x}{4} + \frac{sin 4 x}{8} + C$
- d) $\frac{sin 2 x}{2} + \frac{sin 4 x}{4} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{sin 2 x}{4} + \frac{sin 4 x}{8} + C$

Produsul se transformă în sumă: $cos 3 x cos x = \frac{1}{2} [cos 2 x + cos 4 x]$ , deci integrala este $\frac{1}{2} (\frac{sin 2 x}{2} + \frac{sin 4 x}{4}) = \frac{sin 2 x}{4} + \frac{sin 4 x}{8} + C$ . Varianta $\frac{sin 3 x sin x}{3}$ ar însemna că primitiva unui produs este produsul primitivelor.

Întrebări conexe

Cât este integrala din sinus la a treia?

Puterea fiind impară, se rupe un factor și se substituie cealaltă funcție: $\int sin^{3} x d x = \int (1 - cos^{2} x) sin x d x = - cos x + \frac{cos ^{3} x}{3} + C$ , cu $u = cos x$ . La puteri impare liniarizarea nu este necesară, fiindcă factorul rupt joacă rolul derivatei, iar restul se scrie cu formula fundamentală.

Ce substituție cere o putere impară de cosinus?

Se ia $u = sin x$ . Rupi un cosinus și îl păstrezi ca derivată a lui $u$ , apoi transformi restul, care are putere pară, cu formula fundamentală a trigonometriei. Astfel $\int cos^{5} x d x$ devine integrala unui polinom în $u$ , rezolvată termen cu termen.

Ce se schimbă la integrala din cosinus de 2x plus 1?

Apare împărțirea la coeficientul lui $x$ : $\int cos (2 x + 1) d x = \frac{sin ( 2 x + 1 )}{2} + C$ . Un interior de gradul întâi se tratează cu scurtătura $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$ , iar uitarea factorului este greșeala cea mai frecventă.

Cum se transformă produsul de sinus cu cosinus într-o sumă?

Cu formula $sin a cos b = \frac{sin ( a - b ) + sin ( a + b )}{2}$ . Așa, $\int sin 3 x cos x d x$ devine o sumă de două integrale simple. Produsele cu argumente diferite nu se integrează direct, ci numai după această transformare în sumă.

De ce nu este mulțimea numerelor reale fără polii tangentei un interval?

Pentru că scoaterea punctelor $\frac{π}{2} + k π$ o rupe în bucăți separate. Pe o astfel de mulțime, două primitive nu mai diferă printr-o constantă, ci prin câte una pe fiecare bucată; de aceea primitiva tangentei se scrie pe un interval fără poli.

Oamenii mai întreabă și: integrala din sin la pătrat · primitiva lui sinus pătrat · liniarizare la integrale trigonometrice · primitivele funcțiilor trigonometrice · cum integrez puteri de sinus