Cum se aproximează aria cu dreptunghiuri?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subgraficul și aproximarea ariei

Tai intervalul în $n$ bucăți egale și ridici pe fiecare câte un dreptunghi: o dată cu înălțimea cea mai mică de pe bucată, o dată cu cea mai mare. Obții două sume, una sub arie și una peste ea, iar aria stă între ele. Când $n$ crește, cele două sume se apropie de același număr, care este chiar aria căutată. Fiecare termen este înălțime înmulțită cu bază.

Subgraficul funcției continue și pozitive $f : [a, b] \to R$ este mulțimea $Γ_{f} = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f (x)}$ , iar aria lui se notează $S (Γ_{f})$ . Geometria elementară o calculează doar când graficul este o dreaptă: dreptunghi la funcția constantă, trapez dreptunghic la funcția de gradul întâi.

Pentru o latură curbă, intervalul se taie în $n$ bucăți egale și se construiesc două trepte de dreptunghiuri: suma dreptunghiurilor înscrise $s_{n}$ și suma dreptunghiurilor circumscrise $S_{n}$ . La o funcție crescătoare, înălțimile lui $s_{n}$ se iau în capetele din stânga, iar ale lui $S_{n}$ în cele din dreapta; la o funcție descrescătoare, rolurile capetelor se schimbă. Fiecare termen este o arie, adică înălțime înmulțită cu bază — factorul $\frac{b - a}{n}$ nu se pierde niciodată.

Sumele se închid cu formulele $1 + 2 + \dots + n$ , $1^{2} + \dots + n^{2}$ și $1^{3} + \dots + n^{3}$ , demonstrate prin inducție. Din $s_{n} \leq S (Γ_{f}) \leq S_{n}$ și din faptul că ambele șiruri au aceeași limită rezultă, prin trecerea la limită în inegalități, că aria nu poate fi decât acea limită.

Așa se obține că aria de sub $y = x^{2}$ pe $[0, b]$ este $\frac{b ^{3}}{3}$ , iar aria de sub $y = x^{3}$ pe $[0, 1]$ este $\frac{1}{4}$ . Un tabel de valori doar sugerează răspunsul; demonstrația cere forma închisă și limita.

De reținut

bază $\frac{b - a}{n}$ , înălțime dintr-un capăt
$s_{n} \leq S \leq S_{n}$
$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

Greșeala tipică

Se adună doar valorile funcției, fără factorul de lungime. Fiecare termen dintr-o astfel de sumă este o arie, deci se scrie ca înălțime înmulțită cu bază, altfel numărul obținut nu are legătură cu aria.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f : [0, 1] \to R$ , $f (x) = x^{2}$ , și diviziunea în $4$ părți egale, suma dreptunghiurilor înscrise $s_{4}$ este:
- a) $\frac{15}{32}$
- b) $\frac{7}{32}$
- c) $\frac{7}{8}$
- d) $\frac{1}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{7}{32}$

Funcția crește, deci înălțimile se iau în capetele din stânga: $s_{4} = \frac{1}{4} (0 + \frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{14}{16} = \frac{7}{32}$ . Varianta $\frac{15}{32}$ este suma circumscrisă $S_{4}$ , varianta $\frac{7}{8}$ uită factorul $\frac{1}{4}$ (lungimea bucății), iar $\frac{1}{3}$ este chiar aria, adică limita celor două șiruri.
La o funcție descrescătoare pe $[a, b]$ , dreptunghiul înscris pe fiecare bucată are înălțimea dată de valoarea funcției în:
- a) capătul din stânga
- b) mijlocul bucății
- c) capătul din dreapta
- d) oricare punct al bucății
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) capătul din dreapta

Pe fiecare bucată, o funcție descrescătoare își atinge minimul în capătul din dreapta, deci acolo se ia înălțimea dreptunghiului înscris, iar în capătul din stânga cea a dreptunghiului circumscris — exact invers față de funcțiile crescătoare. Verifică întotdeauna monotonia înainte de a scrie $s_{n} \leq S (Γ_{f}) \leq S_{n}$ .
Pentru $f : [0, 2] \to R$ , $f (x) = x^{3}$ , și diviziunea în $n$ părți egale, diferența $S_{n} - s_{n}$ este:
- a) $\frac{8}{n ^{2}}$
- b) $\frac{8}{n}$
- c) $\frac{4}{n}$
- d) $\frac{16}{n}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{16}{n}$

Sumele diferă doar prin primul și ultimul dreptunghi: $S_{n} - s_{n} = \frac{b - a}{n} (f (b) - f (a)) = \frac{2}{n} (8 - 0) = \frac{16}{n}$ . Termenii intermediari se simplifică, pentru că fiecare apare o dată în fiecare sumă. Diferența tinde la $0$ , ceea ce închide cleștele în jurul ariei.

Întrebări conexe

Ce se schimbă dacă bucățile au lungimi diferite?

Nimic esențial: definiția cere doar ca lungimea celei mai mari bucăți să scadă spre zero. Tăierea în părți egale se alege fiindcă înălțimile urmează atunci un tipar, iar sumele se închid cu formule știute; cu bucăți inegale rezultatul este același, dar suma nu se mai lasă strânsă într-o formulă.

Se poate defini aria și pentru funcții care nu sunt monotone?

Da, cu aceleași sume, luând pe fiecare bucată valoarea cea mai mică și pe cea mai mare a funcției. Ideea rămâne neschimbată: două șiruri de sume care se strâng unul spre altul, iar aria este numărul cuprins între ele.

Ce rol are trecerea la limită în inegalități?

Din încadrarea ariei între cele două sume și din faptul că amândouă șirurile au aceeași limită rezultă că aria nu poate fi altceva decât acea limită. Fără pasul acesta ai avea doar aproximări, oricât de multe; limita le transformă în demonstrație.

Cât valorează baza unui dreptunghi la o tăiere în n părți egale?

Este $\frac{b - a}{n}$ , adică lungimea intervalului împărțită la numărul de bucăți. Factorul acesta înmulțește fiecare valoare a funcției și nu se pierde niciodată din sumă; fără el numărul obținut crește nemărginit, în loc să se apropie de arie.

De ce se cere funcția pozitivă la definiția subgraficului?

Pentru că mulțimea descrisă este cuprinsă între grafic și axă, iar cerința $0 \leq y \leq f (x)$ are sens numai când funcția nu coboară sub axă. Când semnul se schimbă, regiunea se descrie în cuvinte, iar aria se calculează cu modul.

Oamenii mai întreabă și: aproximarea ariei cu dreptunghiuri · dreptunghiuri înscrise și circumscrise · aria de sub o curbă · subgraficul unei funcții · cum se obține aria ca limită