Punctele $$A(0, 0)$$ și $$B(9, 0)$$ sunt fixe, iar $$P$$ parcurge dreapta $$y = 6$$. Aria triunghiului $$ABP$$:

este egală cu $$27$$, oricare ar fi poziția lui $$P$$

crește pe măsură ce $$P$$ se depărtează de axa $$Oy$$

este maximă atunci când $$P$$ are abscisa $$\dfrac92$$

nu se poate determina fără abscisa punctului $$P$$

Fie $$A(0, 1)$$, $$B(4, 3)$$ și $$P(3s,\ 4s)$$, cu $$s \in [0, 1]$$. Aria triunghiului $$ABP$$ este maximă pentru:

$$s = 1$$, în punctul $$P(3, 4)$$

$$s = 0$$, în punctul $$P(0, 0)$$

$$s = \dfrac25$$, unde aria se anulează

$$s = \dfrac12$$, la mijlocul segmentului

Cum aflu o înălțime fără ecuația laturii?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Distanțe din arii și optimizare

Calculezi aria triunghiului cu determinantul vârfurilor și lungimea laturii pe care cade înălțimea. Din egalitatea $A = \frac{b \cdot h}{2}$ scoți $h = \frac{2 A}{b}$ . Pentru o arie de $6$ și o bază de $4$ iese $h = 3$ , fără să scrii ecuația laturii și fără să afli piciorul perpendicularei. Drumul acesta scurtează mult calculul la exercițiile de examen.

Lecția nu aduce formule noi, ci metode. Prima: aria unui triunghi se scrie în trei feluri, câte unul pentru fiecare latură luată drept bază, deci fiecare egalitate dă o distanță cu o singură împărțire — $d (C, A B) = \frac{2 S}{A B}$ , și analoagele. Cum aria vine din determinant, se obține scurtătura $d (C, A B) = \frac{∣ Δ ∣}{A B}$ : calculezi un determinant, o lungime, faci raportul — fără să scrii ecuația dreptei.

A doua metodă este o regulă de igienă: orice rezolvare începe cu $Δ$ . Dacă $Δ = 0$ , punctele sunt coliniare, triunghiul nu există, iar întrebările despre înălțimi sau arii rămân fără obiect; răspunsul corect este chiar această constatare.

A treia este optimizarea, făcută aici fără derivate (ele vin mult mai târziu). Trei tipare acoperă tot: (1) arie constantă — când vârful mobil se plimbă pe o dreaptă paralelă cu baza, aria nu se schimbă, pentru că nici baza, nici înălțimea nu se schimbă; (2) arie liniară în parametru — când vârful parcurge un segment, $Δ$ depinde liniar de parametru, deci extremele se ating în capete, nu „pe la mijloc”; (3) arie pătratică în parametru — se obține o funcție de gradul al doilea, iar extremul este în vârful parabolei, găsit prin forma canonică.

La tiparul pătratic, modulul se desface o singură dată pe tot intervalul, dacă $Δ$ păstrează semnul acolo — adică dacă punctul mobil rămâne de aceeași parte a dreptei.

De reținut

$h = \frac{2 A}{b}$ — aria scrisă în două moduri
$A$ din determinantul vârfurilor; $b$ din formula distanței
Vârful care alunecă pe o paralelă la bază păstrează aria

Greșeala tipică

Se împarte aria la lungimea bazei și se dă rezultatul drept înălțime, fără factorul $2$ . Formula ariei conține împărțirea la doi, deci la desfacere înălțimea este dublul raportului, nu raportul însuși.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră punctele $A (- 2, 1)$ , $B (4, 3)$ și $C (2, 9)$ . Distanța de la $C$ la dreapta $A B$ este:
- a) $10$
- b) $210$
- c) $10$
- d) $410$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $210$

Forma scurtă dă $Δ = (4 + 2) (9 - 1) - (2 + 2) (3 - 1) = 40$ , iar $A B = 36 + 4 = 210$ . Atunci $d (C, A B) = \frac{∣ Δ ∣}{A B} = \frac{40}{2 10} = 210$ . Varianta $10$ apare dacă la numărător se pune aria $S = 20$ în loc de $∣ Δ ∣ = 2 S$ . Control: $A B : x - 3 y + 5 = 0$ , iar $\frac{∣ 2 - 27 + 5 ∣}{10} = 210$ ✓.
Punctele $A (0, 0)$ și $B (9, 0)$ sunt fixe, iar $P$ parcurge dreapta $y = 6$ . Aria triunghiului $A B P$ :
- a) crește pe măsură ce $P$ se depărtează de axa $O y$
- b) este maximă atunci când $P$ are abscisa $\frac{9}{2}$
- c) este egală cu $27$ , oricare ar fi poziția lui $P$
- d) nu se poate determina fără abscisa punctului $P$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) este egală cu $27$ , oricare ar fi poziția lui $P$

Cu $P (t, 6)$ , forma scurtă dă $Δ = 9 \cdot 6 - t \cdot 0 = 54$ , pentru orice $t$ , deci $S = 27$ . Explicația geometrică: baza $[A B]$ este fixă, iar $P$ se mișcă pe o dreaptă paralelă cu $A B$ , deci înălțimea rămâne $6$ . Este tiparul „arie constantă”: nu există o poziție cea mai bună.
Fie $A (0, 1)$ , $B (4, 3)$ și $P (3 s, 4 s)$ , cu $s \in [0, 1]$ . Aria triunghiului $A B P$ este maximă pentru:
- a) $s = 0$ , în punctul $P (0, 0)$
- b) $s = \frac{2}{5}$ , unde aria se anulează
- c) $s = \frac{1}{2}$ , la mijlocul segmentului
- d) $s = 1$ , în punctul $P (3, 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $s = 1$ , în punctul $P (3, 4)$

Forma scurtă dă $Δ (s) = 4 (4 s - 1) - 3 s \cdot 2 = 10 s - 4$ , deci $S (s) = \frac{∣ 10 s - 4 ∣}{2}$ . Fiind liniară în interiorul modulului, aria este monotonă pe fiecare parte a rădăcinii $s = \frac{2}{5}$ (unde se anulează, adică $P$ ajunge pe dreapta $A B$ ), deci maximul se atinge într-un capăt: $S (0) = 2$ și $S (1) = 3$ .

Întrebări conexe

Ce se simplifică atunci când egalez cele două expresii ale ariei?

Dispare nevoia de a scrie ecuația laturii și de a aplica formula distanței. Rămân doar un determinant și o lungime de segment, adică două calcule scurte, în locul unui lanț de patru pași.

Cum aflu lungimea unei laturi înainte de a calcula înălțimea?

Cu formula distanței dintre cele două vârfuri care o determină. Dacă rezultatul iese cu radical, se lasă în formă exactă până la final, fiindcă radicalii se simplifică adesea în raportul care dă înălțimea.

Cum aleg baza triunghiului ca să iasă calcule simple?

Alegi latura a cărei lungime iese fără radical, de obicei una paralelă cu o axă. Aria rămâne aceeași, deci alegerea nu schimbă rezultatul; schimbă doar cât de comod este drumul până la el.

Ce arie are triunghiul dacă un vârf se mișcă pe o dreaptă?

Rămâne aceeași atâta timp cât dreapta este paralelă cu latura opusă, fiindcă înălțimea nu se schimbă. Pe orice altă direcție aria variază liniar cu deplasarea, ceea ce se folosește la problemele de optimizare.

Cum aflu raza cercului înscris dintr-o arie și un perimetru?

Din relația $A = r \cdot p$ , în care $p$ este semiperimetrul triunghiului. Aria se calculează cu determinantul vârfurilor, cele trei laturi cu formula distanței dintre două puncte, iar raza iese la final dintr-o singură împărțire.

Cum verific o înălțime calculată prin metoda ariilor?

O recalculezi ca distanță de la vârf la dreapta suport a bazei. Cele două valori trebuie să coincidă, iar diferența dintre ele arată de obicei o greșeală la lungimea bazei sau la semnul din determinant.

Oamenii mai întreabă și: înălțimea unui triunghi din coordonate · aria exprimată în două moduri · cum aflu o distanță folosind aria · h egal 2 arie supra bază