Cum aflu valoarea maximă a unei parabole?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Probleme de maxim și minim cu vârful parabolei

Valoarea extremă se atinge în vârf, la $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ . Dacă $a < 0$ acolo este maximul, iar dacă $a > 0$ acolo este minimul. Pentru $P (x) = - x^{2} + 24 x$ obții $x_{V} = 12$ și valoarea $144$ . Într-o problemă cu context mai verifici că abscisa vârfului este permisă; dacă nu este, funcția crește sau scade pe tot intervalul, iar răspunsul se ia la un capăt.

Când o mărime depinde pătratic de o variabilă, extremul ei se atinge exact în vârful parabolei: $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ , iar valoarea extremă este $f (x_{V}) = - \frac{Δ}{4 a}$ . Regula de aur: $a < 0$ înseamnă maxim, $a > 0$ înseamnă minim. Metoda are cinci pași: alegi variabila $x$ (cu unitatea ei), exprimi celelalte mărimi în funcție de $x$ folosind condițiile date, scrii funcția de optimizat, stabilești domeniul cu sens practic (lungimi pozitive, prețuri sub un prag etc.) și, în final, calculezi vârful, verifici că $x_{V}$ aparține domeniului și interpretezi rezultatul cu unități. Tipuri clasice: aria maximă a unui dreptunghi cu perimetru dat (optimul e pătratul); gardul care folosește un perete existent, unde funcția ariei ține cont de o singură latură dublată; venitul sau profitul maxim, când prețul crește iar cererea scade; înălțimea maximă a unei traiectorii, atinsă la jumătatea duratei zborului, prin simetria parabolei. Dacă $x_{V}$ nu aparține domeniului permis, funcția e strict monotonă pe acel interval, iar extremul se atinge la un capăt — se compară valorile de la cele două capete și se alege cea potrivită întrebării.

De reținut

$x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ ; $a < 0$ dă maxim, $a > 0$ dă minim
dreptunghiul cu perimetru dat și arie extremă este pătratul
dacă $x_{V}$ nu e în domeniu, extremul se ia la un capăt

Greșeala tipică

Se dă ca răspuns abscisa vârfului în locul valorii funcției din vârf; abscisa arată unde se atinge optimul, iar mărimea cerută se obține înlocuind-o în formulă.

Exerciții din această mini-lecție

Suma a două numere reale este $24$ . Care este produsul maxim posibil?
- a) $144$
- b) $122$
- c) $288$
- d) $576$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $144$

Fie $x$ un număr, celălalt fiind $24 - x$ . Produsul este $P (x) = x (24 - x) = - x^{2} + 24 x$ , cu $a = - 1 < 0$ , deci are maxim. $x_{V} = - \frac{24}{- 2} = 12$ , iar $P (12) = 12 \cdot 12 = 144$ . Control: $11 \cdot 13 = 143 < 144$ ✓.
Cu $80$ de metri de plasă se împrejmuiește pe trei laturi un teren dreptunghiular, a patra latură fiind un zid existent. Ce arie maximă se poate obține?
- a) $800 m^{2}$
- b) $400 m^{2}$
- c) $1600 m^{2}$
- d) $640 m^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $800 m^{2}$

Fie $x$ lungimea laturii perpendiculare pe zid; latura paralelă cu zidul este $80 - 2 x$ . Aria este $A (x) = x (80 - 2 x) = - 2 x^{2} + 80 x$ , cu $a = - 2 < 0$ , deci maxim. Domeniul: $x \in (0, 40)$ . Vârful: $x_{V} = - \frac{80}{2 \cdot ( - 2 )} = 20 \in (0, 40)$ ✓, iar $A (20) = 20 \cdot 40 = 800$ . Control: $A (19) = 19 \cdot 42 = 798 < 800$ ✓, $A (21) = 21 \cdot 38 = 798 < 800$ ✓.
Aria unui teren dreptunghiular cu perimetrul de $100$ de metri este $A (x) = x (50 - x)$ , unde $x$ e una dintre laturi. Dacă $x$ trebuie să fie cuprins între $35$ și $45$ de metri, care este aria maximă posibilă?
- a) $525 m^{2}$
- b) $625 m^{2}$
- c) $225 m^{2}$
- d) $500 m^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $525 m^{2}$

Vârful funcției $A (x) = - x^{2} + 50 x$ este $x_{V} = 25$ , care nu aparține intervalului $[35, 45]$ . Pe acest interval funcția e strict descrescătoare (fiindcă suntem la dreapta vârfului), deci maximul se atinge la capătul din stânga: $A (35) = 35 \cdot 15 = 525$ . La celălalt capăt, $A (45) = 45 \cdot 5 = 225$ , mult mai mic. Aria teoretică maximă, $625$ , ar cere $x = 25$ , valoare interzisă de restricție.

Întrebări conexe

Ce înseamnă că vârful parabolei dă optimul unei probleme?

Înseamnă că mărimea studiată crește până în vârf și scade după el, sau invers, deci acolo se află valoarea căutată. Nu ai nevoie de alte instrumente: coordonatele vârfului dau atât locul, cât și mărimea optimă. De aceea multe probleme practice se rezolvă cu o singură formulă.

Cum aleg necunoscuta într-o problemă de maxim?

Alegi mărimea din care se pot exprima toate celelalte, de obicei o lungime sau un număr de pași de schimbare a prețului. Notezi unitatea ei și scrii restul datelor în funcție de ea. Dacă expresia obținută iese de gradul al doilea, alegerea a fost potrivită.

De ce trebuie să scriu domeniul într-o problemă de maxim?

Pentru că nu orice număr are sens în context: lungimile sunt pozitive, cantitățile nu depășesc stocul, prețurile nu coboară sub zero. Dacă vârful cade în afara acestor limite, valoarea din vârf nu poate fi răspunsul, iar optimul se mută la un capăt permis.

Care două numere cu suma 20 au produsul cel mai mare?

Notezi un număr cu $x$ , celălalt este $20 - x$ , iar produsul devine $- x^{2} + 20 x$ . Vârful cade în $x = 10$ , deci ambele numere sunt egale cu $10$ , iar produsul maxim este $100$ . Regula se păstrează: la sumă fixată, produsul crește când numerele se apropie.

Ce fac dacă mărimea căutată trebuie să fie număr întreg?

Calculezi întâi vârful ca de obicei. Dacă abscisa lui nu iese întreagă, compari valorile funcției în cei doi întregi vecini și alegi rezultatul cerut. Parabola fiind simetrică, nu există alt candidat în afara acestor doi.

Cum aflu valoarea minimă a costului dintr-o formulă pătratică?

Verifici că termenul cu pătrat are coeficient pozitiv, apoi calculezi vârful. Pentru $C (x) = x^{2} - 30 x + 300$ abscisa vârfului este $15$ , iar costul acolo este $75$ de lei. Controlul se face cu numerele vecine: la $14$ și la $16$ costul iese $76$ .

Oamenii mai întreabă și: valoarea maximă a unei funcții de gradul doi · probleme de maxim cu parabolă · cum aflu maximul unei funcții pătratice · arie maximă cu perimetru dat