Probleme de maxim și minim în context practic

Bunicii au cumpărat $60$ de metri de plasă de sârmă pentru un țarc de găini. Țarcul va fi dreptunghiular și se va sprijini cu una dintre laturi de peretele hambarului — acolo nu e nevoie de plasă. Întrebarea lor e simplă și foarte practică: cum trebuie așezată plasa ca țarcul să iasă cât mai mare? Un țarc lung și îngust? Unul aproape pătrat? Diferența nu e deloc neglijabilă: aceleași $60$ de metri de plasă pot închide $200$ de metri pătrați sau $450$ de metri pătrați, în funcție de o singură alegere.

Întrebări de acest tip — cât mai mare, cât mai mic, cel mai ieftin, cel mai eficient — se numesc probleme de optimizare și sunt printre cele mai utile din toată matematica. Vestea bună este că, atunci când mărimea de optimizat depinde pătratic de o variabilă, nu ai nevoie de niciun instrument avansat: răspunsul e chiar vârful parabolei, pe care îl calculezi cu formulele știute din lecțiile despre parabolă: vârf și axă de simetrie și despre monotonia și valoarea extremă. În lecția aceasta învățăm drumul complet: de la situația reală la funcție, de la funcție la vârf și de la vârf înapoi la răspunsul pe care îl aștepta bunicul.

Ce vei învăța

Vei ști să modelezi o situație practică printr-o funcție de gradul al doilea, alegând bine variabila.
Vei ști să determini domeniul care are sens în context și de ce acest pas nu se sare niciodată.
Vei ști să găsești valoarea maximă sau minimă folosind vârful parabolei, fără derivate.
Vei ști să rezolvi problemele clasice: aria maximă cu perimetru dat, venitul și profitul maxim, înălțimea maximă a unei traiectorii.
Vei ști ce faci când vârful cade în afara intervalului permis de problemă.
Vei ști să interpretezi rezultatul în limbajul situației, cu unități de măsură și cu verificare de bun-simț.

Hai să descoperim împreună

1. De ce răspunde vârful la întrebarea „cât mai mare?"

Pentru funcția $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , forma canonică

$f (x) = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}$

spune totul. Pătratul este mereu mai mare sau egal cu zero și se anulează exact pentru $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Dacă $a > 0$ , adunăm la $- \frac{Δ}{4 a}$ o cantitate nenegativă, deci $f (x) \geq - \frac{Δ}{4 a}$ : funcția are un minim, atins în vârf.
Dacă $a < 0$ , scădem o cantitate nenegativă, deci $f (x) \leq - \frac{Δ}{4 a}$ : funcția are un maxim, atins tot în vârf.

Reținem, ca formule de lucru:

$x_{V} = - \frac{b}{2 a}, y_{V} = f (x_{V}) = - \frac{Δ}{4 a} .$

Nu e nevoie să memorezi a doua formulă: după ce afli $x_{V}$ , cel mai sigur e să calculezi $f (x_{V})$ direct — obții și verificarea calculului.

Așadar: coeficientul dominant negativ înseamnă că problema are un maxim; coeficientul dominant pozitiv, că are un minim. Este primul lucru pe care îl verifici după ce ai scris funcția, iar dacă semnul nu se potrivește cu întrebarea (de exemplu, cauți un maxim și găsești $a > 0$ ), atunci ori ai greșit modelarea, ori maximul se atinge la un capăt al domeniului — caz pe care îl studiem în secțiunea 7.

2. Metoda, în cinci pași

Toate problemele din lecție se rezolvă la fel. Merită să înveți pașii ca pe o rețetă și să-i scrii de fiecare dată:

Alegi variabila $x$ — o singură mărime necunoscută, de obicei cea pe care o poți controla (o lungime, un preț, un număr de bucăți) — și o notezi clar, cu unitatea de măsură.
Exprimi toate celelalte mărimi în funcție de $x$ , folosind condițiile din enunț (perimetrul dat, suma dată, legătura preț–cerere).
Scrii funcția de optimizat și verifici că e de gradul al doilea.
Stabilești domeniul care are sens practic (lungimi pozitive, număr de bucăți nenegativ, timp până la aterizare).
Calculezi vârful, verifici că $x_{V}$ e în domeniu și interpretezi rezultatul în cuvintele problemei, cu unități.

Pasul 4 e cel mai des ratat. O lungime negativă nu e o greșeală de calcul, ci una de gândire: modelul matematic acceptă orice număr, realitatea nu.

3. Aria maximă cu perimetru dat

Problemă. Cu $100$ de metri de gard vrem să împrejmuim un teren dreptunghiular. Ce dimensiuni dau aria maximă?

Pasul 1. Notăm cu $x$ lungimea unei laturi, în metri.

Pasul 2. Perimetrul este $100$ , deci suma a două laturi alăturate este $50$ , iar cealaltă latură măsoară $50 - x$ metri.

Pasul 3. Aria este $A (x) = x (50 - x) = - x^{2} + 50 x$ — funcție de gradul al doilea cu $a = - 1 < 0$ , deci există maxim. ✓

Pasul 4. Domeniul: ambele laturi trebuie să fie strict pozitive, deci $x > 0$ și $50 - x > 0$ , adică $x \in (0, 50)$ .

Pasul 5. $x_{V} = - \frac{50}{2 \cdot ( - 1 )} = 25 \in (0, 50)$ ✓, iar $A (25) = 25 \cdot 25 = 625$ .

Răspuns: aria maximă este de $625$ de metri pătrați și se obține pentru un teren pătrat, cu latura de $25$ de metri.

Control de bun-simț: $A (24) = 24 \cdot 26 = 624$ și $A (26) = 26 \cdot 24 = 624$ — ambele mai mici decât $625$ ✓.

Rezultatul e important dincolo de exercițiu: dintre toate dreptunghiurile cu același perimetru, pătratul are aria cea mai mare. Îl vei redemonstra în general la ultimul exercițiu.

4. Gardul sprijinit de un perete

Revenim la țarcul bunicilor: $60$ de metri de plasă, una dintre laturi fiind peretele hambarului.

Variabila: $x$ = lungimea unei laturi perpendiculare pe perete, în metri.

Legătura: se împrejmuiesc doar trei laturi: două de lungime $x$ și una paralelă cu peretele, de lungime $60 - 2 x$ .

Funcția: $A (x) = x (60 - 2 x) = - 2 x^{2} + 60 x$ , cu $a = - 2 < 0$ ✓.

Domeniul: $x > 0$ și $60 - 2 x > 0$ , adică $x \in (0, 30)$ .

Vârful: $x_{V} = - \frac{60}{2 \cdot ( - 2 )} = 15 \in (0, 30)$ ✓ și $A (15) = 15 \cdot 30 = 450$ .

Răspuns: țarcul maxim are laturile de $15$ metri (cele perpendiculare pe perete) și $30$ de metri (cea paralelă cu peretele), cu aria de $450$ de metri pătrați. Control: $A (14) = 14 \cdot 32 = 448$ și $A (16) = 16 \cdot 28 = 448$ ✓.

Observă diferența față de problema anterioară: aici forma optimă nu mai e pătratul, ci un dreptunghi în care latura paralelă cu peretele e dublul celeilalte, fiindcă peretele „economisește" gard pe o singură direcție. Morala: nu memora rezultatul, ci metoda.

5. Venit maxim și profit maxim

Problemele economice au un tipar propriu: prețul crește, dar numărul de clienți scade. Produsul celor două — venitul — este atunci o funcție de gradul al doilea.

Problemă. La un cinematograf, biletul costă $30$ de lei și se vând $200$ de bilete pe seară. Studiile arată că, la fiecare reducere de $1$ leu a prețului, se vând cu $20$ de bilete mai mult. Ce preț aduce încasări maxime?

Variabila: $x$ = numărul de lei cu care se reduce prețul.

Mărimile: prețul devine $30 - x$ lei, iar numărul de bilete devine $200 + 20 x$ .

Funcția: $V (x) = (30 - x) (200 + 20 x) = 6000 + 600 x - 200 x - 20 x^{2} = - 20 x^{2} + 400 x + 6000$ , cu $a = - 20 < 0$ ✓.

Domeniul: $x \geq 0$ (nu are sens o „reducere negativă" în acest model) și $30 - x > 0$ , deci $x \in [0, 30)$ .

Vârful: $x_{V} = - \frac{400}{2 \cdot ( - 20 )} = 10 \in [0, 30)$ ✓, iar $V (10) = 20 \cdot 400 = 8000$ .

Răspuns: prețul optim este de $20$ de lei; atunci se vând $400$ de bilete, iar încasările ajung la $8000$ de lei, față de $6000$ de lei la prețul inițial. Control: $V (9) = 21 \cdot 380 = 7980$ și $V (11) = 19 \cdot 420 = 7980$ ✓.

Când apar și costuri, se optimizează profitul: diferența dintre încasări și cheltuieli. Dacă un produs se cumpără cu $20$ de lei bucata și cererea la prețul $p$ este de $200 - 2 p$ bucăți, profitul este

$P (p) = (p - 20) (200 - 2 p) = - 2 p^{2} + 240 p - 4000.$

Vârful: $p_{V} = - \frac{240}{2 \cdot ( - 2 )} = 60$ , iar $P (60) = 40 \cdot 80 = 3200$ lei. Prețul care maximizează profitul ( $60$ de lei) e diferit de cel care ar maximiza încasările ( $50$ de lei) — o observație pe care orice comerciant o cunoaște din experiență, iar matematica o explică exact.

6. Traiectorii: înălțimea maximă și bătaia

Un corp aruncat în câmp gravitațional, dacă neglijăm frecarea cu aerul, descrie o parabolă. Modelul standard folosit la clasa a IX-a este

$h (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} t + h_{0},$

unde $h_{0}$ e înălțimea inițială, $v_{0}$ viteza inițială pe verticală, iar $g \approx 10$ metri pe secundă la pătrat. Coeficientul dominant e negativ, deci există întotdeauna un maxim: punctul cel mai înalt al traiectoriei.

Problemă. O minge lovită de la nivelul solului urcă după legea $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ (metri, cu $t$ în secunde). Aflați înălțimea maximă și momentul în care mingea atinge din nou solul.

Vârful: $t_{V} = - \frac{20}{2 \cdot ( - 5 )} = 2$ secunde, iar $h (2) = - 20 + 40 = 20$ metri.

Aterizarea: rezolvăm $h (t) = 0$ , adică $- 5 t (t - 4) = 0$ , de unde $t = 0$ (lovirea) sau $t = 4$ (căderea).

Răspuns: înălțimea maximă e de $20$ de metri, atinsă după $2$ secunde; mingea atinge solul după $4$ secunde. Domeniul cu sens fizic este $[0, 4]$ .

Observă simetria: momentul înălțimii maxime, $t = 2$ , e la jumătatea intervalului de zbor. Nu e o coincidență — e axa de simetrie a parabolei, care trece mereu prin mijlocul dintre rădăcini. Acest truc scurtează multe rezolvări: dacă știi cele două momente în care corpul e la aceeași înălțime, media lor îți dă direct $t_{V}$ .

Aceeași idee funcționează pentru traiectorii descrise în funcție de distanță, nu de timp. Pentru o minge de baschet cu legea $h (x) = - \frac{1}{5} x^{2} + 2 x + 2$ (metri, cu $x$ distanța orizontală), avem $x_{V} = 5$ și $h (5) = 7$ : punctul cel mai înalt e la $5$ metri de aruncător, la $7$ metri deasupra solului.

7. Când vârful cade în afara domeniului practic

Uneori realitatea impune restricții suplimentare: terenul nu poate fi mai îngust decât un drum de acces, prețul nu poate coborî sub un prag legal, numărul de angajați e limitat. Se poate atunci întâmpla ca $x_{V}$ să nu aparțină intervalului permis. Ce faci?

Te folosești de monotonie. Pe fiecare dintre cele două ramuri, funcția de gradul al doilea e strict monotonă. Dacă vârful e în afara intervalului $[m, n]$ , atunci pe tot intervalul funcția e monotonă, deci extremele se ating la capete: le calculezi pe amândouă și compari.

Exemplu. Aria $A (x) = x (50 - x)$ din secțiunea 3, dar cu condiția suplimentară ca latura $x$ să fie între $30$ și $45$ de metri (o restricție de urbanism, să zicem). Vârful $x_{V} = 25$ nu e în $[30, 45]$ . Pe acest interval, $A$ e strict descrescătoare (suntem la dreapta vârfului, pe ramura coborâtoare), deci maximul se atinge la capătul din stânga:

$A (30) = 30 \cdot 20 = 600, A (45) = 45 \cdot 5 = 225.$

Răspuns: aria maximă permisă e de $600$ de metri pătrați, pentru $x = 30$ de metri. Valoarea teoretică $625$ rămâne inaccesibilă, fiindcă ar cere $x = 25$ , în afara restricției.

Regula generală, pe care merită să o scrii pe marginea caietului: verifică întotdeauna dacă $x_{V}$ e în domeniu; dacă nu e, compară valorile la capete.

8. Probleme de minim

Când coeficientul dominant e pozitiv, vârful dă un minim. Tipul cel mai frecvent e costul total, care scade la început (costurile fixe se împart la mai multe bucăți) și crește apoi (apar ore suplimentare, transport, stocare).

Problemă. Costul zilnic de producție, în lei, pentru $x$ piese este $C (x) = x^{2} - 40 x + 500$ . Câte piese trebuie produse pentru un cost minim?

$a = 1 > 0$ ✓, deci există minim. $x_{V} = \frac{40}{2} = 20$ piese, iar $C (20) = 400 - 800 + 500 = 100$ lei. Control: $C (19) = 361 - 760 + 500 = 101$ și $C (21) = 441 - 840 + 500 = 101$ ✓.

Un al doilea tip clasic: suma de pătrate minimă. Dacă $x + y = 12$ , atunci $y = 12 - x$ și

$S (x) = x^{2} + (12 - x)^{2} = 2 x^{2} - 24 x + 144.$

Cu $a = 2 > 0$ , minimul e în $x_{V} = \frac{24}{4} = 6$ , deci $x = y = 6$ și $S = 72$ . Din nou simetria: suma pătratelor a două numere cu sumă dată este minimă când numerele sunt egale. Mulțimea valorilor unei astfel de funcții — deci și marginea de jos $72$ — se citește exact ca în lecția despre mulțimea valorilor funcției de gradul al doilea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două numere cu sumă dată

Determinați două numere reale cu suma $20$ al căror produs este maxim.

Rezolvare. Fie $x$ primul număr; al doilea este $20 - x$ . Produsul este

$P (x) = x (20 - x) = - x^{2} + 20 x,$

funcție de gradul al doilea cu $a = - 1 < 0$ , deci cu maxim. Vârful: $x_{V} = - \frac{20}{- 2} = 10$ , iar $P (10) = 10 \cdot 10 = 100$ .

Răspuns: numerele sunt $10$ și $10$ , iar produsul maxim este $100$ . Control: $9 \cdot 11 = 99 < 100$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Sârma îndoită

O sârmă de $20$ de centimetri se îndoaie sub forma unui dreptunghi. Ce dimensiuni dau aria maximă și cât este ea?

Rezolvare. Perimetrul fiind $20$ , semiperimetrul e $10$ , deci laturile sunt $x$ și $10 - x$ , cu $x \in (0, 10)$ .

$A (x) = x (10 - x) = - x^{2} + 10 x, x_{V} = 5, A (5) = 25.$

Răspuns: dreptunghiul optim e pătratul cu latura de $5$ centimetri, cu aria de $25$ de centimetri pătrați. Control: $A (4) = 4 \cdot 6 = 24 < 25$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Camerele unui hotel

Un hotel cu $100$ de camere le închiriază cu $200$ de lei pe noapte și e mereu plin. Administratorul estimează că, la fiecare creștere de $10$ lei a tarifului, rămân neînchiriate $2$ camere. Ce tarif aduce încasări maxime?

Rezolvare. Fie $k$ numărul de creșteri de câte $10$ lei. Tariful devine $200 + 10 k$ lei, iar numărul de camere ocupate $100 - 2 k$ . Încasările:

$V (k) = (200 + 10 k) (100 - 2 k) = 20000 - 400 k + 1000 k - 20 k^{2} = - 20 k^{2} + 600 k + 20 000.$

Coeficientul dominant e negativ ✓. Domeniul practic: $k \geq 0$ întreg și $100 - 2 k > 0$ , deci $k \in {0, 1, \dots, 49}$ .

Vârful: $k_{V} = - \frac{600}{2 \cdot ( - 20 )} = 15$ , valoare întreagă și în domeniu ✓. Atunci $V (15) = (200 + 150) (100 - 30) = 350 \cdot 70 = 24500$ .

Răspuns: tariful optim este de $350$ de lei; se ocupă $70$ de camere, iar încasările ajung la $24500$ de lei, față de $20000$ de lei inițial. Control: $V (14) = 340 \cdot 72 = 24480$ și $V (16) = 360 \cdot 68 = 24480$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Traiectorie cu înălțime inițială

O piatră e aruncată de pe o terasă. Înălțimea ei față de sol, în metri, la momentul $t$ secunde, este $h (t) = - 5 t^{2} + 10 t + 15$ . Aflați înălțimea maximă și momentul căderii la sol.

Rezolvare. $a = - 5 < 0$ ✓. Vârful: $t_{V} = - \frac{10}{- 10} = 1$ secundă, iar $h (1) = - 5 + 10 + 15 = 20$ metri.

Căderea: $h (t) = 0 ⟺ - 5 t^{2} + 10 t + 15 = 0 ⟺ t^{2} - 2 t - 3 = 0$ (am împărțit la $- 5$ ). Discriminantul este $4 + 12 = 16$ , iar rădăcinile $\frac{2 \pm 4}{2}$ , adică $- 1$ și $3$ . Soluția negativă se elimină, neavând sens fizic.

Răspuns: piatra atinge $20$ de metri după $1$ secundă și cade la sol după $3$ secunde. Înălțimea de pe terasă era $h (0) = 15$ metri ✓, iar domeniul cu sens este $[0, 3]$ . $■$

Exemplul 5 — Vârf în afara domeniului

Un atelier poate produce între $25$ și $40$ de piese pe zi. Profitul, în lei, este $P (x) = - x^{2} + 40 x - 300$ . Câte piese trebuie produse pentru profit maxim?

Rezolvare. $a = - 1 < 0$ , deci există maxim, iar $x_{V} = - \frac{40}{- 2} = 20$ . Dar $20 \in / [25, 40]$ : vârful cade în afara intervalului permis.

Pe $[25, 40]$ ne aflăm în întregime la dreapta vârfului, deci funcția e strict descrescătoare. Maximul se atinge la capătul din stânga:

$P (25) = - 625 + 1000 - 300 = 75, P (40) = - 1600 + 1600 - 300 = - 300.$

Răspuns: profitul maxim posibil este de $75$ de lei, la $25$ de piese pe zi. La $40$ de piese atelierul ar lucra chiar în pierdere, cu $300$ de lei pe zi. (Profitul teoretic maxim, $P (20) = 100$ lei, nu e realizabil, fiindcă atelierul nu poate coborî sub $25$ de piese.) $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ . a) Determinați valoarea maximă a funcției. b) Arătați că $f (x) \leq 4$ pentru orice număr real $x$ .

Rezolvare. a) $a = - 1 < 0$ , deci funcția are maxim. Vârful: $x_{V} = - \frac{6}{- 2} = 3$ , iar $f (3) = - 9 + 18 - 5 = 4$ . Valoarea maximă este $4$ , atinsă pentru $x = 3$ . (Verificare cu formula: $Δ = 36 - 20 = 16$ și $- \frac{Δ}{4 a} = - \frac{16}{- 4} = 4$ ✓.)

b) Metoda cea mai curată e forma canonică:

$f (x) = - (x^{2} - 6 x + 9) + 9 - 5 = - (x - 3)^{2} + 4.$

Cum $(x - 3)^{2} \geq 0$ pentru orice $x$ real, avem $- (x - 3)^{2} \leq 0$ , deci $f (x) \leq 4$ , cu egalitate numai pentru $x = 3$ . $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă: notează variabila cu unitatea ei, scrie funcția, precizează domeniul practic, apoi calculează vârful și interpretează rezultatul în cuvinte.

1. Determină două numere reale cu suma $16$ al căror produs este maxim. Cât este produsul?

2. Cu $80$ de metri de gard se împrejmuiește un teren dreptunghiular. Ce dimensiuni dau aria maximă și cât este ea?

3. Un teren dreptunghiular se împrejmuiește pe trei laturi cu $120$ de metri de plasă, a patra latură fiind un zid deja existent. Află aria maximă.

4. Determină valoarea maximă a funcției $f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 3$ și punctul în care se atinge.

5. Determină valoarea minimă a funcției $f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 7$ și punctul în care se atinge.

6. O minge lovită de la sol are înălțimea $h (t) = - 5 t^{2} + 30 t$ (metri, $t$ în secunde). Află înălțimea maximă și durata zborului.

7. Suma a două numere este $12$ . Determină numerele pentru care suma pătratelor lor este minimă și calculează acea sumă.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dintre toate dreptunghiurile cu același perimetru, pătratul are aria cea mai mare."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție de gradul al doilea are și un maxim, și un minim pe $R$ ."

10. Diferența a două numere este $8$ . Determină numerele pentru care produsul lor este minim.

11. (Problemă aplicată.) Un magazin vinde $200$ de tricouri pe lună la prețul de $50$ de lei bucata. La fiecare scumpire de $5$ lei se vând cu $10$ tricouri mai puțin. Ce preț aduce încasări maxime? Câte tricouri se vând atunci?

12. Costul de producție al unei brutării, în lei, pentru $x$ lăzi de pâine este $C (x) = 2 x^{2} - 48 x + 400$ . Câte lăzi trebuie produse pentru un cost minim și cât este el?

13. O firmă poate angaja între $12$ și $30$ de muncitori. Producția zilnică, în unități, este $Q (x) = - x^{2} + 20 x + 100$ , unde $x$ e numărul de muncitori. Câți muncitori dau producția maximă? Atenție la domeniu.

14. O piatră aruncată de pe un pod are înălțimea $h (t) = - 5 t^{2} + 10 t + 40$ (metri). Află înălțimea podului, înălțimea maximă atinsă și momentul căderii în apă.

15. Aria unui dreptunghi cu perimetrul de $100$ de metri este $A (x) = x (50 - x)$ . Determină aria maximă dacă latura $x$ trebuie să fie cuprinsă între $32$ și $48$ de metri.

16. O traiectorie de minge de baschet este descrisă de $h (x) = - \frac{1}{5} x^{2} + 2 x + 2$ (metri, $x$ = distanța orizontală). Află înălțimea maximă, distanța la care se atinge și la ce distanță mingea revine la înălțimea de $2$ metri.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ . a) Determină valoarea minimă a funcției. b) Arată că $f (x) \geq 3$ pentru orice număr real $x$ .

18. (Provocare.) Demonstrează, în general, că dintre toate dreptunghiurile cu perimetrul $2 p$ (unde $p > 0$ e fixat), cel cu aria maximă este pătratul de latură $\frac{p}{2}$ , iar aria maximă este $\frac{p ^{2}}{4}$ .

Răspunsuri și explicații

1. Fie $x$ și $16 - x$ . Produsul este $P (x) = - x^{2} + 16 x$ , cu $a < 0$ , deci are maxim în $x_{V} = 8$ . Numerele sunt $8$ și $8$ , iar produsul maxim este $64$ . Control: $7 \cdot 9 = 63 < 64$ ✓.

2. Semiperimetrul e $40$ , deci laturile sunt $x$ și $40 - x$ , cu $x \in (0, 40)$ . $A (x) = - x^{2} + 40 x$ , $x_{V} = 20$ , $A (20) = 400$ . Terenul optim e pătratul cu latura de $20$ de metri, cu aria de $400$ de metri pătrați.

3. Cu $x$ = latura perpendiculară pe zid: laturile împrejmuite sunt $x$ , $x$ și $120 - 2 x$ , deci $A (x) = x (120 - 2 x) = - 2 x^{2} + 120 x$ , cu $x \in (0, 60)$ . Vârful: $x_{V} = 30$ , $A (30) = 30 \cdot 60 = 1800$ . Aria maximă este de $1800$ de metri pătrați, pentru un teren de $30$ pe $60$ de metri. Control: $A (29) = 29 \cdot 62 = 1798 < 1800$ ✓.

4. $a = - 2 < 0$ , deci maxim. $x_{V} = - \frac{8}{- 4} = 2$ și $f (2) = - 8 + 16 - 3 = 5$ . Valoarea maximă este $5$ , atinsă în $x = 2$ .

5. $a = 3 > 0$ , deci minim. $x_{V} = \frac{12}{6} = 2$ și $f (2) = 12 - 24 + 7 = - 5$ . Valoarea minimă este $- 5$ , atinsă în $x = 2$ .

6. $t_{V} = - \frac{30}{- 10} = 3$ secunde, iar $h (3) = - 45 + 90 = 45$ metri. Aterizarea: $- 5 t (t - 6) = 0$ dă $t = 6$ secunde. Deci înălțimea maximă e de $45$ de metri, iar zborul durează $6$ secunde; momentul maximului e exact la jumătatea zborului ✓.

7. Cu $y = 12 - x$ : $S (x) = x^{2} + (12 - x)^{2} = 2 x^{2} - 24 x + 144$ , cu $a = 2 > 0$ , deci minim în $x_{V} = \frac{24}{4} = 6$ . Numerele sunt $6$ și $6$ , iar suma minimă a pătratelor este $36 + 36 = 72$ . Control: pentru $5$ și $7$ obținem $25 + 49 = 74 > 72$ ✓.

8. Adevărat. Dacă perimetrul e $2 p$ , laturile sunt $x$ și $p - x$ , iar aria $A (x) = x (p - x) = - x^{2} + p x$ are maxim în $x_{V} = \frac{p}{2}$ . Atunci și cealaltă latură e $p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}$ , deci dreptunghiul e pătrat. Demonstrația completă e la exercițiul 18.

9. Fals. O funcție de gradul al doilea are pe $R$ exact unul dintre cele două: maxim dacă $a < 0$ , minim dacă $a > 0$ . Cealaltă direcție e nemărginită: de exemplu $f (x) = x^{2}$ are minimul $0$ , dar valorile ei cresc oricât de mult, deci nu există maxim.

10. Fie $x$ numărul mai mare și $x - 8$ celălalt. Produsul este $P (x) = x (x - 8) = x^{2} - 8 x$ , cu $a = 1 > 0$ , deci minim în $x_{V} = 4$ . Numerele sunt $4$ și $- 4$ , iar produsul minim este $- 16$ . Control: $5 \cdot (- 3) = - 15 > - 16$ ✓ și $3 \cdot (- 5) = - 15 > - 16$ ✓.

11. Fie $k$ numărul de scumpiri de câte $5$ lei. Prețul devine $50 + 5 k$ lei, iar vânzările $200 - 10 k$ bucăți. Încasările: $V (k) = (50 + 5 k) (200 - 10 k) = 10000 - 500 k + 1000 k - 50 k^{2} = - 50 k^{2} + 500 k + 10000$ . Vârful: $k_{V} = - \frac{500}{- 100} = 5$ , deci prețul optim e $50 + 25 = 75$ de lei, se vând $200 - 50 = 150$ de tricouri, iar încasările sunt $75 \cdot 150 = 11250$ de lei. Control: pentru $k = 4$ obținem $70 \cdot 160 = 11200 < 11250$ ✓.

12. $a = 2 > 0$ , deci minim în $x_{V} = \frac{48}{4} = 12$ lăzi, iar $C (12) = 288 - 576 + 400 = 112$ lei. Control: $C (11) = 242 - 528 + 400 = 114$ ✓ și $C (13) = 338 - 624 + 400 = 114$ ✓.

13. $a = - 1 < 0$ , deci maxim în $x_{V} = \frac{20}{2} = 10$ muncitori — dar $10 \in / [12, 30]$ . Pe $[12, 30]$ suntem la dreapta vârfului, deci $Q$ e strict descrescătoare, iar maximul e la capătul din stânga: $Q (12) = - 144 + 240 + 100 = 196$ de unități. Răspuns: $12$ muncitori.

14. Înălțimea podului: $h (0) = 40$ de metri. Vârful: $t_{V} = - \frac{10}{- 10} = 1$ secundă, cu $h (1) = - 5 + 10 + 40 = 45$ de metri. Căderea în apă: $- 5 t^{2} + 10 t + 40 = 0 ⟺ t^{2} - 2 t - 8 = 0$ , cu $Δ = 4 + 32 = 36$ și rădăcinile $\frac{2 \pm 6}{2}$ , adică $- 2$ și $4$ . Reținem $t = 4$ secunde.

15. Vârful este $x_{V} = 25$ , iar $25 \in / [32, 48]$ . Pe acest interval funcția e strict descrescătoare (suntem la dreapta vârfului), deci maximul e la capătul din stânga: $A (32) = 32 \cdot 18 = 576$ de metri pătrați. La celălalt capăt, $A (48) = 48 \cdot 2 = 96$ — mult mai puțin ✓.

16. $x_{V} = - \frac{2}{2 \cdot ( - \frac{1}{5} )} = 5$ metri, iar $h (5) = - 5 + 10 + 2 = 7$ metri. Pentru revenirea la $2$ metri rezolvăm $- \frac{1}{5} x^{2} + 2 x + 2 = 2$ , adică $- \frac{1}{5} x^{2} + 2 x = 0$ , deci $x (2 - \frac{x}{5}) = 0$ , cu soluțiile $x = 0$ (aruncarea) și $x = 10$ metri. Cele două distanțe sunt simetrice față de $x_{V} = 5$ ✓.

17. a) $a = 1 > 0$ , deci minim în $x_{V} = \frac{4}{2} = 2$ , iar $f (2) = 4 - 8 + 7 = 3$ . Valoarea minimă este $3$ . b) Forma canonică: $f (x) = (x^{2} - 4 x + 4) + 3 = (x - 2)^{2} + 3$ . Cum $(x - 2)^{2} \geq 0$ pentru orice $x$ real, rezultă $f (x) \geq 3$ , cu egalitate numai pentru $x = 2$ . $■$

18. Fie $x$ una dintre laturi; cealaltă este $p - x$ , iar $x \in (0, p)$ . Aria este $A (x) = x (p - x) = - x^{2} + p x$ , funcție de gradul al doilea cu $a = - 1 < 0$ , deci cu maxim. Vârful: $x_{V} = - \frac{p}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{p}{2} \in (0, p)$ ✓, iar

$A (\frac{p}{2}) = \frac{p}{2} (p - \frac{p}{2}) = \frac{p}{2} \cdot \frac{p}{2} = \frac{p ^{2}}{4} .$

Cum a doua latură este tot $\frac{p}{2}$ , dreptunghiul optim este pătratul. Demonstrație alternativă, fără vârf: $A (x) = \frac{p ^{2}}{4} - (x - \frac{p}{2})^{2} \leq \frac{p ^{2}}{4}$ , cu egalitate exact pentru $x = \frac{p}{2}$ — forma canonică face inegalitatea evidentă. $■$

De reținut

O mărime care depinde pătratic de o variabilă își atinge extremul în vârful parabolei: $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ , iar valoarea extremă este $f (x_{V})$ .
$a < 0$ înseamnă maxim, $a > 0$ înseamnă minim — verifică semnul imediat ce ai scris funcția, ca să știi dacă modelul răspunde la întrebarea pusă.
Metoda are cinci pași: variabilă, exprimarea celorlalte mărimi, funcția, domeniul practic, vârful și interpretarea cu unități.
Dacă $x_{V}$ nu aparține domeniului practic, funcția e monotonă pe acel interval, iar extremul se atinge la un capăt: compari valorile de la capete.
Rezultate clasice: dintre dreptunghiurile cu perimetru dat, pătratul are aria maximă; momentul înălțimii maxime al unei traiectorii e la jumătatea duratei zborului.

Greșeli frecvente

Confunzi $x_{V}$ cu valoarea extremă. $x_{V}$ spune unde se atinge extremul (ce lungime, ce preț, ce moment), iar $f (x_{V})$ spune cât este el (ce arie, ce încasări, ce înălțime). Întrebarea din enunț decide care dintre ele e răspunsul — de multe ori sunt cerute amândouă.
Sari peste domeniul practic. O latură de $- 5$ metri sau un timp de $- 1$ secundă nu sunt răspunsuri; verifică mereu ce valori au sens și elimină soluțiile care nu le respectă.
Nu verifici dacă vârful e în intervalul permis. Când problema impune limite, vârful poate cădea în afara lor, iar atunci răspunsul e la un capăt. Calcul de zece secunde care schimbă complet rezultatul.
Uiți unitățile de măsură. „Aria maximă este $625$ " nu e un răspuns complet; „ $625$ de metri pătrați, pentru un teren pătrat cu latura de $25$ de metri" este.
Greșești modelarea la problema cu peretele. Când o latură nu se împrejmuiește, se folosesc doar trei laturi: $2 x + y =$ lungimea gardului, nu $2 x + 2 y$ . Un desen făcut înainte de calcule previne complet această greșeală.

Aplică acasă

Grădina ta optimă. Măsoară o bucată de gard, plasă sau sfoară de care dispui acasă (sau alege o lungime imaginară, de exemplu $24$ de metri). Calculează ce dimensiuni ar da suprafața maximă în două variante: teren închis pe toate patru laturile și teren sprijinit de un zid. Compară cele două arii maxime și explică diferența.
Prețul cel mai bun. Imaginează-ți că vinzi ceva la un târg școlar (brățări, prăjituri, semne de carte). Estimează câte bucăți vinzi la un preț de pornire și cu câte bucăți scade vânzarea la fiecare leu în plus. Scrie funcția încasărilor, află prețul optim și compară-l cu prețul pe care l-ai fi ales din intuiție.
Traiectoria filmată. Filmează cu telefonul o minge aruncată în sus și notează, din trei cadre, înălțimile aproximative. Verifică dacă momentul înălțimii maxime e la jumătatea duratei zborului, așa cum prezice simetria parabolei.

Pentru părinți și profesori

Lecția este prima întâlnire serioasă a elevului cu optimizarea, o temă care revine în clasa a XI-a cu derivate. Aici, întregul instrument este vârful parabolei — și tocmai de aceea accentul cade pe modelare, nu pe calcul: alegerea variabilei, exprimarea celorlalte mărimi în funcție de ea și, mai ales, stabilirea domeniului care are sens practic. Verificați aceste trei etape separat de calculul propriu-zis; un elev care scrie corect funcția a făcut deja $80%$ din drum.

Întrebări bune de control: „De unde știi, înainte de orice calcul, că problema are maxim și nu minim?" (din semnul coeficientului dominant); „Ce faci dacă vârful cade în afara intervalului permis?" (compari valorile la capete, folosind monotonia); „Ce reprezintă $x_{V}$ și ce reprezintă $f (x_{V})$ în problema cu gardul?" (lungimea laturii, respectiv aria). Semne că a înțeles: face un desen înainte de calcule, scrie domeniul explicit și dă răspunsul în cuvinte, cu unități de măsură.

La Bacalaureat, tipul acesta de cerință apare cel mai des în formă algebrică — „determinați valoarea minimă a funcției", „arătați că $f (x) \geq 3$ pentru orice $x$ real" —, unde soluția cea mai elegantă este forma canonică. Problemele cu enunț practic apar în variantele de subiect al doilea și în evaluările curente; ele pregătesc și problemele de extrem din fizică (bătaia unui proiectil) și din economie (prag de rentabilitate, profit maxim).

Întrebări frecvente

Cum aflu valoarea maximă a unei funcții de gradul al doilea? Dacă $a < 0$ , valoarea maximă este $f (x_{V})$ , unde $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ este abscisa vârfului. Practic, calculezi $x_{V}$ , apoi înlocuiești în funcție. Dacă $a > 0$ , funcția nu are maxim pe $R$ , ci minim.

De ce nu am nevoie de derivate pentru aceste probleme? Pentru că forma canonică $f (x) = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}$ arată direct unde se atinge extremul: pătratul e nul exact în vârf și strict pozitiv în rest. Derivatele generalizează ideea la funcții oarecare, dar pentru gradul al doilea răspunsul e deja complet.

Care dreptunghi cu perimetru dat are aria cea mai mare? Pătratul: dacă perimetrul e $2 p$ , laturile optime sunt ambele $\frac{p}{2}$ , iar aria maximă este $\frac{p ^{2}}{4}$ .

Cum rezolv problema gardului sprijinit de un perete? Se împrejmuiesc doar trei laturi. Dacă lungimea totală a gardului e $L$ și notezi cu $x$ latura perpendiculară pe perete, cealaltă latură e $L - 2 x$ , iar aria devine $A (x) = x (L - 2 x)$ . Maximul se atinge pentru $x = \frac{L}{4}$ , când latura paralelă cu peretele e dublul celeilalte.

Ce fac dacă vârful nu e în intervalul cerut de problemă? Folosești monotonia: pe un interval care nu conține vârful, funcția e strict crescătoare sau strict descrescătoare, deci extremele se ating la capete. Calculezi valorile în ambele capete și o alegi pe cea potrivită întrebării.

Cum aflu înălțimea maximă a unei mingi aruncate? Scrii legea înălțimii, de forma $h (t) = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{0} t + h_{0}$ , calculezi $t_{V} = - \frac{b}{2 a}$ și apoi $h (t_{V})$ . Momentul $t_{V}$ este și axa de simetrie a traiectoriei, deci se află la jumătatea duratei zborului.

De ce prețul care aduce încasări maxime nu e același cu cel care aduce profit maxim? Pentru că profitul scade din încasări costul mărfii. Funcția profitului are alți coeficienți decât cea a încasărilor, deci alt vârf. De regulă, prețul pentru profit maxim e mai mare, fiindcă fiecare bucată vândută costă ceva.

Cum verific rapid că răspunsul meu la o problemă de maxim e corect? Calculează funcția în două valori vecine ale lui $x_{V}$ . Ambele trebuie să dea rezultate mai mici decât valoarea din vârf, la un maxim, sau mai mari, la un minim.