Fie $$f(x)=3x-6$$ și $$g(x)=x+4$$. Ce se poate spune despre parabola asociată produsului $$h=f\cdot g$$?

coeficient dominant $$3$$, se deschide în sus, vârf de minim

coeficient dominant $$3$$, se deschide în jos, vârf de maxim

coeficient dominant $$-3$$, se deschide în jos

coeficient dominant $$4$$, se deschide în sus

Ce obțin dacă înmulțesc două funcții afine?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Produsul a două funcții afine

Obții o funcție de gradul al doilea. Din $(a x + b) (c x + d)$ iese $a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ , iar coeficientul dominant este produsul celor doi coeficienți dominanți. Avantajul formei cu paranteze: zerourile se citesc direct, fiindcă un produs se anulează când unul dintre factori se anulează. Pentru $(x - 2) (x - 8)$ zerourile sunt $2$ și $8$ , fără discriminant.

Fiind date $f (x) = a x + b$ și $g (x) = c x + d$ , cu $a \neq = 0$ și $c \neq = 0$ , funcția produs $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$ dezvoltă la $a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ — deci produsul a două funcții afine este întotdeauna o funcție de gradul al doilea, cu coeficientul dominant egal cu produsul $a c$ .

Cel mai mare avantaj al formei factorizate: zerourile produsului sunt exact zerourile celor doi factori, pentru că un produs se anulează dacă și numai dacă unul dintre factori se anulează. Nu ai nevoie de discriminant.

Axa de simetrie trece prin mijlocul celor două zerouri, $x_{v \overset{a}{ˆ} rf} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ , iar ordonata vârfului se obține înlocuind direct această valoare în forma factorizată (două înmulțiri, fără să desfaci parantezele).

Semnul coeficientului dominant $a c$ decide orientarea: dacă $a c > 0$ (factorii au coeficienți de același semn), parabola se deschide în sus și vârful e minim; dacă $a c < 0$ , parabola se deschide în jos și vârful e maxim.

Semnul produsului se stabilește exact ca la orice produs de numere, într-un tabel cu trei linii: semnul fiecărui factor, apoi semnul produsului — regăsind regula „semnul lui $a$ în afara rădăcinilor, semn contrar între ele".

De reținut

$(a x + b) (c x + d)$ are coeficient dominant $a c$
zerourile produsului sunt zerourile factorilor
abscisa vârfului este mijlocul celor două zerouri

Greșeala tipică

Se desfac parantezele înainte de a căuta rădăcinile, deși forma factorizată le arată direct; păstrează produsul cât timp lucrezi cu zerouri, cu semnul sau cu vârful.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f (x) = x - 2$ și $g (x) = x - 8$ . Care sunt zerourile funcției $h = f \cdot g$ ?
- a) $2$ și $8$
- b) $- 2$ și $- 8$
- c) $2$ și $- 8$
- d) doar $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2$ și $8$

Zerourile produsului sunt exact zerourile factorilor: $f (x) = 0$ dă $x = 2$ , iar $g (x) = 0$ dă $x = 8$ . Deci $h$ se anulează în $2$ și în $8$ .
Fie $f (x) = 3 x - 6$ și $g (x) = x + 4$ . Ce se poate spune despre parabola asociată produsului $h = f \cdot g$ ?
- a) coeficient dominant $3$ , se deschide în sus, vârf de minim
- b) coeficient dominant $3$ , se deschide în jos, vârf de maxim
- c) coeficient dominant $- 3$ , se deschide în jos
- d) coeficient dominant $4$ , se deschide în sus
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) coeficient dominant $3$ , se deschide în sus, vârf de minim

Coeficientul dominant al produsului este $a c = 3 \cdot 1 = 3 > 0$ , deci parabola se deschide în sus și vârful este punct de minim.
Determinați vârful parabolei asociate funcției $h (x) = (x + 3) (x - 5)$ .
- a) $(1, - 16)$
- b) $(1, 16)$
- c) $(- 1, - 16)$
- d) $(2, - 16)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(1, - 16)$

Zerourile factorilor sunt $- 3$ și $5$ , deci axa de simetrie este $x = \frac{- 3 + 5}{2} = 1$ , iar $h (1) = (1 + 3) (1 - 5) = 4 \cdot (- 4) = - 16$ . Vârful este $V (1, - 16)$ .

Întrebări conexe

Cum desenez rapid graficul unui produs de două funcții afine?

Marchezi cele două zerouri pe axă, apoi calculezi mijlocul lor, care dă abscisa vârfului. Înlocuiești acea valoare direct în forma cu paranteze și obții ordonata vârfului. Semnul produsului coeficienților dominanți îți spune încotro se deschid ramurile.

Ce se întâmplă cu produsul dacă una dintre funcții este constantă?

Dispare termenul cu pătrat și rămâne tot o funcție de gradul întâi, doar cu valorile înmulțite cu acea constantă. Graficul rămâne o dreaptă, mai abruptă sau mai lină. Dacă acea constantă este zero, funcția produs se anulează peste tot.

Unde taie axa Oy produsul a două funcții afine?

În punctul de ordonată egală cu produsul termenilor liberi, fiindcă tăietura cu axa verticală se obține punând variabila egală cu zero. Pentru $(x - 2) (x - 8)$ rezultă $(- 2) \cdot (- 8) = 16$ , deci graficul taie axa în $(0, 16)$ .

Cum scriu funcția de gradul doi cu rădăcinile 2 și minus 5?

Pornești de la produsul $(x - 2) (x + 5)$ , în care fiecare paranteză se anulează într-una dintre rădăcini. Desfăcând, obții $x^{2} + 3 x - 10$ . Dacă vrei alt coeficient dominant, înmulțești tot produsul cu numărul dorit, fără să schimbi rădăcinile.

Ce grad are produsul a trei funcții afine?

Are gradul al treilea, dacă niciunul dintre coeficienții dominanți nu este zero, fiindcă gradele se adună la înmulțire. Graficul nu mai este parabolă, dar zerourile se citesc la fel, din fiecare paranteză. Semnul se stabilește tot cu un tabel, cu trei puncte de schimbare.

Oamenii mai întreabă și: produsul a două funcții afine · forma factorizată a unei funcții de gradul doi · zerourile unui produs de funcții · de ce produsul a două drepte dă o parabolă