Produsul a două funcții afine și graficul lui

Un cinematograf din oraș vinde bilete la $30$ de lei și umple sala pe jumătate. Managerul face un experiment: coboară prețul, iar publicul crește; îl urcă, iar publicul scade. După câteva săptămâni de măsurători, echipa observă o regularitate simplă: la un preț de $p$ lei vin, în medie, $200 - 4 p$ spectatori. Întrebarea care îl interesează pe manager nu este însă câți spectatori vin, ci câți bani rămân în casă: încasarea este prețul înmulțit cu numărul de bilete vândute, adică $V (p) = p \cdot (200 - 4 p)$ .

Priviți cu atenție, factorii sunt două funcții de gradul întâi: prețul $p$ (o funcție afină cât se poate de simplă) și numărul de spectatori $200 - 4 p$ . Produsul lor nu mai este o dreaptă — este o parabolă, cu tot ce știi despre parabole din lecția despre funcția de gradul al doilea: vârf, axă de simetrie, valoare maximă. Iar frumusețea situației e că nu ai nevoie de nicio formulă complicată ca să afli prețul optim: totul se citește din cei doi factori.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi produsul a două funcții și să precizezi domeniul funcției obținute.
Vei ști să arăți că produsul a două funcții afine cu coeficienți nenuli este o funcție de gradul al doilea și să-i identifici coeficienții.
Vei ști să citești zerourile produsului direct din factori, fără să desfaci parantezele.
Vei ști să afli axa de simetrie și vârful parabolei plecând de la forma factorizată.
Vei ști să stabilești semnul produsului cu regula semnelor, într-un tabel cu trei linii.
Vei ști să faci drumul invers: să descompui o funcție de gradul al doilea în produs de două funcții afine.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă produsul a două funcții

Două funcții se pot înmulți la fel de firesc cum se înmulțesc două numere — se lucrează pur și simplu „pe valori".

Definiție. Fie $f : D \to R$ și $g : D \to R$ două funcții definite pe aceeași mulțime $D$ . Funcția produs $f \cdot g : D \to R$ este dată de $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$ , pentru orice $x \in D$ .

Dacă funcțiile pornesc de la domenii diferite, produsul se definește pe intersecția lor: are sens să înmulțești două valori doar acolo unde amândouă există. La funcțiile afine, care sunt definite pe toată mulțimea numerelor reale, această grijă dispare — produsul este definit tot pe $R$ .

Exemplu. Pentru $f (x) = x - 1$ și $g (x) = x - 5$ avem $(f \cdot g) (2) = f (2) \cdot g (2) = 1 \cdot (- 3) = - 3$ și $(f \cdot g) (6) = 5 \cdot 1 = 5$ . Se calculează valoare cu valoare, exact ca la tabelul înmulțirii.

2. Produsul a două funcții afine este o funcție de gradul al doilea

Să facem calculul general. Fie $f (x) = a x + b$ și $g (x) = c x + d$ , cu $a \neq = 0$ și $c \neq = 0$ . Atunci

$(f \cdot g) (x) = (a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d .$

Coeficientul lui $x^{2}$ este $a c$ , iar produsul a două numere nenule este nenul, deci $a c \neq = 0$ . Prin urmare:

Rezultat. Produsul a două funcții afine cu coeficienți ai lui $x$ nenuli este o funcție de gradul al doilea, cu coeficientul dominant egal cu produsul coeficienților dominanți ai factorilor.

Ceea ce s-a schimbat este natura graficului: din două drepte am obținut o parabolă. Ceea ce nu s-a schimbat este informația esențială — vei vedea imediat că tot ce contează la parabolă se citește direct din cele două drepte.

Atenție la ipoteză: dacă unul dintre factori este o funcție constantă, de exemplu $f (x) = 5$ (deci $a = 0$ ), produsul $5 \cdot (c x + d)$ rămâne o funcție afină, nu una de gradul al doilea. Ipoteza „ambii coeficienți nenuli" nu e decorativă.

3. Zerourile produsului: cel mai ieftin calcul din capitol

Un produs de numere reale este zero exact atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. Transpus la funcții:

$(f \cdot g) (x) = 0 ⟺ f (x) = 0 sau g (x) = 0.$

Prin urmare, zerourile produsului sunt reuniunea zerourilor factorilor. Cum o funcție afină $a x + b$ cu $a \neq = 0$ are exact un zero, în $x = - \frac{b}{a}$ , produsul a două funcții afine are cel mult două zerouri — și le găsești rezolvând două ecuații de gradul întâi, nu una de gradul al doilea.

Exemplu. Pentru $h (x) = (2 x + 4) (- x + 3)$ , zerourile sunt date de $2 x + 4 = 0$ , adică $x = - 2$ , și de $- x + 3 = 0$ , adică $x = 3$ . Graficul lui $h$ taie axa $O x$ în $(- 2, 0)$ și $(3, 0)$ — fără discriminant, fără formulă cu radical. Compară efortul cu cel din lecția despre intersecțiile parabolei cu axele: forma factorizată e un dar.

Intersecția cu axa $O y$ se obține la fel de simplu: $h (0) = 4 \cdot 3 = 12$ , deci punctul $(0, 12)$ .

4. Axa de simetrie și vârful, citite din factori

Parabola este simetrică față de o dreaptă verticală care trece prin vârf. Dacă graficul taie axa $O x$ în două puncte, simetria obligă axa să treacă exact prin mijlocul lor. Așadar, dacă zerourile sunt $x_{1}$ și $x_{2}$ :

$x_{v \overset{a}{ˆ} rf} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}, y_{v \overset{a}{ˆ} rf} = (f \cdot g) (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) .$

Nu ai nevoie de formula $- \frac{b}{2 a}$ și cu atât mai puțin de $- \frac{Δ}{4 a}$ — le poți folosi ca verificare, dar drumul scurt trece prin mijlocul rădăcinilor, așa cum ai văzut și în lecția despre vârful și axa de simetrie.

Exemplu. Pentru $h (x) = (x - 1) (x - 5)$ : zerourile sunt $1$ și $5$ , deci $x_{v \overset{a}{ˆ} rf} = \frac{1 + 5}{2} = 3$ și $y_{v \overset{a}{ˆ} rf} = (3 - 1) (3 - 5) = 2 \cdot (- 2) = - 4$ . Vârful este $V (3, - 4)$ . Verificare prin desfacerea parantezelor: $h (x) = x^{2} - 6 x + 5$ , deci $- \frac{b}{2 a} = \frac{6}{2} = 3$ ✓ și $h (3) = 9 - 18 + 5 = - 4$ ✓.

5. Încotro se deschide parabola

Coeficientul dominant al produsului este $a c$ , iar el decide orientarea:

dacă $a c > 0$ (factorii au coeficienți de același semn), parabola se deschide în sus și vârful este punct de minim;
dacă $a c < 0$ (coeficienți de semne contrare), parabola se deschide în jos și vârful este punct de maxim.

Exemplu. La $h (x) = (2 x + 4) (- x + 3)$ avem $a = 2$ și $c = - 1$ , deci $a c = - 2 < 0$ : parabola se deschide în jos. Vârful se află la $x = \frac{- 2 + 3}{2} = \frac{1}{2}$ , iar valoarea maximă este $h (\frac{1}{2}) = (1 + 4) (- \frac{1}{2} + 3) = 5 \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{2} = 12, 5$ .

Aceasta este exact structura problemelor de venit maxim: un factor crește (prețul), celălalt scade (cererea), produsul lor are un vârf, iar vârful este răspunsul.

6. Semnul produsului: regula semnelor, în tabel

Semnul unui produs se obține din semnele factorilor, după regula pe care o știi din clasele mici: plus ori plus dă plus, minus ori minus dă plus, plus ori minus dă minus. Ca s-o aplici sistematic, faci un tabel cu trei linii: pe primele două semnele factorilor, pe a treia semnul produsului.

Pentru $h (x) = (x + 2) (x - 3)$ , zerourile factorilor sunt $- 2$ și $3$ :

$x$		$- 2$		$3$
$x + 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 3$	$-$		$-$	$0$	$+$
$h (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Citim rezultatul: $h (x) > 0$ pe $(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$ , $h (x) < 0$ pe $(- 2, 3)$ și $h (x) = 0$ în $- 2$ și $3$ . Regăsim regula cunoscută din lecția despre semnul funcției de gradul al doilea: semnul lui $a$ în afara rădăcinilor, semn contrar între ele. Diferența e că acum vezi de unde vine regula.

7. Două situații speciale

Factori cu aceeași rădăcină. Dacă $f$ și $g$ se anulează în același punct — de exemplu $f (x) = g (x) = x - 4$ — produsul devine $(x - 4)^{2}$ , care este mai mare sau egal cu zero pentru orice $x$ și se anulează o singură dată. Parabola nu mai taie axa $O x$ , ci doar o atinge în $(4, 0)$ : spunem că $4$ este rădăcină dublă.

Un factor constant. Dacă $f (x) = k$ este constantă nenulă, produsul $k \cdot g (x)$ rămâne o funcție afină: graficul este tot o dreaptă, doar „întinsă" pe verticală de $k$ ori (și răsturnată, dacă $k < 0$ ). Zeroul rămâne cel al lui $g$ .

8. Drumul invers: descompunerea în factori

Legătura funcționează și în sens invers. Dacă o funcție de gradul al doilea $u (x) = a x^{2} + b x + c$ are rădăcinile reale $x_{1}$ și $x_{2}$ , atunci

$u (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}),$

adică $u$ este produsul funcțiilor afine $a (x - x_{1})$ și $(x - x_{2})$ . Această formă factorizată este cea mai comodă pentru desen, pentru semn și pentru inecuații.

Exemplu. $u (x) = x^{2} - 7 x + 10$ are $Δ = 49 - 40 = 9$ , deci rădăcinile $\frac{7 \pm 3}{2}$ , adică $2$ și $5$ ; prin urmare $u (x) = (x - 2) (x - 5)$ . Verificare: $(x - 2) (x - 5) = x^{2} - 5 x - 2 x + 10 = x^{2} - 7 x + 10$ ✓.

Exemplu. $u (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x^{2} - 4) = 3 (x - 2) (x + 2) = (3 x - 6) (x + 2)$ . Verificare: $(3 x - 6) (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x - 6 x - 12 = 3 x^{2} - 12$ ✓.

Dacă $Δ < 0$ , funcția nu are rădăcini reale și nu se poate scrie ca produs de două funcții afine cu coeficienți reali — este cazul, de pildă, al lui $x^{2} + 1$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Produs, coeficienți, zerouri

Fie $f, g : R \to R$ , $f (x) = x - 1$ , $g (x) = x - 5$ . Determinați forma dezvoltată a produsului, zerourile și vârful.

Rezolvare. Dezvoltăm: $(f \cdot g) (x) = (x - 1) (x - 5) = x^{2} - 6 x + 5$ . Coeficientul dominant este $1 \cdot 1 = 1 > 0$ , deci parabola se deschide în sus.

Zerourile sunt $1$ și $5$ (rădăcinile factorilor). Axa de simetrie: $x = \frac{1 + 5}{2} = 3$ , iar $y_{v \overset{a}{ˆ} rf} = (3 - 1) (3 - 5) = - 4$ . Vârful este $V (3, - 4)$ , punct de minim.

Exemplul 2 — Coeficienți de semne contrare

Fie $f (x) = 2 x + 4$ și $g (x) = - x + 3$ . Studiați produsul lor.

Rezolvare. $(f \cdot g) (x) = (2 x + 4) (- x + 3) = - 2 x^{2} + 6 x - 4 x + 12 = - 2 x^{2} + 2 x + 12$ .

Coeficientul dominant este $2 \cdot (- 1) = - 2 < 0$ : parabola se deschide în jos. Zerourile: $2 x + 4 = 0$ dă $x = - 2$ , iar $- x + 3 = 0$ dă $x = 3$ .

Axa de simetrie: $x = \frac{- 2 + 3}{2} = \frac{1}{2}$ . Valoarea maximă: $(f \cdot g) (\frac{1}{2}) = (1 + 4) (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2}$ . Vârful este $V (\frac{1}{2}, \frac{25}{2})$ .

Exemplul 3 — Tabelul de semn

Stabiliți semnul funcției $h (x) = (2 x + 1) (3 - x)$ .

Rezolvare. Zerourile factorilor: $2 x + 1 = 0$ dă $x = - \frac{1}{2}$ ; $3 - x = 0$ dă $x = 3$ .

Pe $(- \infty, - \frac{1}{2})$ : primul factor este negativ, al doilea pozitiv, deci produsul este negativ. Pe $(- \frac{1}{2}, 3)$ : ambii factori sunt pozitivi, deci produsul este pozitiv. Pe $(3, \infty)$ : primul pozitiv, al doilea negativ, deci produsul este negativ.

Concluzie: $h (x) > 0$ pe $(- \frac{1}{2}, 3)$ , $h (x) < 0$ pe $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (3, \infty)$ , cu zerouri în $- \frac{1}{2}$ și $3$ . Rezultatul se potrivește cu orientarea: coeficientul dominant este $2 \cdot (- 1) = - 2 < 0$ , deci parabola este pozitivă între rădăcini.

Exemplul 4 — Rădăcină dublă

Studiați funcția $h (x) = (x - 4)^{2}$ , privită ca produsul $f \cdot g$ cu $f (x) = g (x) = x - 4$ .

Rezolvare. Ambii factori se anulează în $4$ , deci produsul are un singur zero, $x = 4$ . Cum $a c = 1 \cdot 1 = 1 > 0$ , parabola se deschide în sus, iar vârful este chiar în $(4, 0)$ : axa de simetrie trece prin mijlocul rădăcinilor, care coincid.

Semnul: ambii factori au același semn pentru orice $x \neq = 4$ , deci produsul este strict pozitiv peste tot în afară de $x = 4$ , unde este zero. Graficul atinge axa $O x$ , dar nu o traversează. $■$

Exemplul 5 — Problema cinematografului

La prețul de $p$ lei per bilet vin $200 - 4 p$ spectatori. Determinați prețul care aduce încasarea maximă și valoarea acesteia.

Rezolvare. Încasarea este $V (p) = p (200 - 4 p)$ , produs de două funcții afine.

Zerourile: $p = 0$ (bilete gratuite, încasare zero) și $200 - 4 p = 0$ , adică $p = 50$ (preț la care nu mai vine nimeni). Coeficientul dominant este $1 \cdot (- 4) = - 4 < 0$ , deci parabola se deschide în jos și vârful este maxim.

Axa de simetrie: $p = \frac{0 + 50}{2} = 25$ . Încasarea maximă: $V (25) = 25 \cdot (200 - 100) = 25 \cdot 100 = 2500$ lei, cu $100$ de spectatori în sală.

Domeniul practic este $[0, 50]$ : în afara lui, „numărul de spectatori" ar fi negativ. Compară cu abordarea din lecția despre probleme de maxim și minim — aici drumul a fost mai scurt, pentru că funcția venea deja factorizată.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = x - 2$ și $g (x) = x + 6$ , iar $h = f \cdot g$ . a) Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate lui $h$ . b) Arătați că $h (x) \geq - 16$ pentru orice număr real $x$ .

Rezolvare. a) Zerourile factorilor sunt $2$ și $- 6$ , deci axa de simetrie este $x = \frac{2 + ( - 6 )}{2} = - 2$ , iar $h (- 2) = (- 2 - 2) (- 2 + 6) = (- 4) \cdot 4 = - 16$ . Vârful este $V (- 2, - 16)$ .

b) Dezvoltăm: $h (x) = x^{2} + 4 x - 12$ . Formăm pătratul: $h (x) = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 - 12 = (x + 2)^{2} - 16$ .

Cum $(x + 2)^{2} \geq 0$ pentru orice $x$ real, rezultă $h (x) \geq - 16$ , cu egalitate exact pentru $x = - 2$ . Aceasta confirmă și punctul a): valoarea minimă a funcției este $- 16$ , atinsă în vârf. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Regula de lucru: pentru zerouri și semn folosește forma factorizată; desfaci parantezele doar când ți se cere explicit forma dezvoltată.

1. Fie $f (x) = x - 3$ și $g (x) = x + 1$ . Scrie forma dezvoltată a produsului și zerourile lui.

2. Fie $f (x) = 2 x - 6$ și $g (x) = x + 2$ . Determină forma dezvoltată, zerourile și vârful produsului.

3. Fie $f (x) = - x + 4$ și $g (x) = x + 2$ . Determină orientarea parabolei, zerourile și vârful produsului.

4. Fă tabelul de semn al funcției $h (x) = (x - 1) (x - 4)$ .

5. Fă tabelul de semn al funcției $h (x) = (2 x + 1) (3 - x)$ .

6. Fie $h (x) = (x + 7) (x - 1)$ . Determină vârful fără să desfaci parantezele, apoi verifică prin dezvoltare.

7. Descompune funcția $u (x) = x^{2} - 7 x + 10$ în produs de două funcții afine.

8. Descompune funcția $u (x) = 3 x^{2} - 12$ în produs de două funcții afine și verifică prin dezvoltare.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Produsul a două funcții afine este întotdeauna o funcție de gradul al doilea."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ și $g$ sunt strict crescătoare pe $R$ , atunci $f \cdot g$ este strict crescătoare pe $R$ ."

11. (Problemă aplicată.) Un dreptunghi are perimetrul $24$ de metri. Notează cu $x$ o latură. a) Scrie aria ca produs de două funcții afine de $x$ . b) Determină aria maximă și dimensiunile pentru care se atinge. c) Precizează domeniul practic.

12. (Problemă aplicată.) La un concert, la prețul de $p$ lei se vând $200 - 4 p$ bilete. Determină prețul care maximizează încasarea și încasarea maximă.

13. Scrie o funcție de gradul al doilea care are zerourile $2$ și $- 5$ și coeficientul dominant $3$ , sub formă de produs de două funcții afine, apoi dezvolt-o.

14. Graficul unei funcții obținute ca produs de două funcții afine taie axa $O x$ în $(- 3, 0)$ și $(1, 0)$ și trece prin $(0, - 6)$ . Determină funcția.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f (x) = x + 1$ , $g (x) = x - 5$ și $h = f \cdot g$ . a) Determină vârful parabolei asociate lui $h$ . b) Arată că $h (x) \geq - 9$ pentru orice $x$ real.

16. Rezolvă inecuația $(x + 3) (x - 2) < 0$ , folosind tabelul de semn.

17. Determină valoarea reală a lui $m$ pentru care vârful parabolei $h (x) = (x - m) (x + 2)$ se află pe axa $O y$ . Pentru acest $m$ , determină vârful.

18. (Provocare.) Fie $a < b$ numere reale și $h (x) = (x - a) (x - b)$ . Arată că valoarea minimă a lui $h$ este $- (\frac{b - a}{2})^{2}$ și că ea se atinge la mijlocul intervalului $[a, b]$ .

Răspunsuri și explicații

1. $(x - 3) (x + 1) = x^{2} + x - 3 x - 3 = x^{2} - 2 x - 3$ . Zerourile sunt $3$ și $- 1$ , adică rădăcinile factorilor.

2. $(2 x - 6) (x + 2) = 2 x^{2} + 4 x - 6 x - 12 = 2 x^{2} - 2 x - 12$ . Zerourile: $2 x - 6 = 0$ dă $x = 3$ ; $x + 2 = 0$ dă $x = - 2$ . Axa de simetrie: $x = \frac{3 + ( - 2 )}{2} = \frac{1}{2}$ , iar valoarea în vârf este $(2 \cdot \frac{1}{2} - 6) (\frac{1}{2} + 2) = (- 5) \cdot \frac{5}{2} = - \frac{25}{2}$ . Vârful: $V (\frac{1}{2}, - \frac{25}{2})$ , punct de minim (coeficient dominant $2 > 0$ ).

3. Coeficientul dominant este $(- 1) \cdot 1 = - 1 < 0$ , deci parabola se deschide în jos. Zerourile: $4$ și $- 2$ . Axa: $x = \frac{4 + ( - 2 )}{2} = 1$ ; $h (1) = (- 1 + 4) (1 + 2) = 3 \cdot 3 = 9$ . Vârful $V (1, 9)$ este punct de maxim. Forma dezvoltată: $- x^{2} + 2 x + 8$ .

4. Zerourile sunt $1$ și $4$ ; coeficientul dominant este $1 > 0$ . Pe $(- \infty, 1)$ ambii factori sunt negativi, deci produsul e pozitiv; pe $(1, 4)$ primul e pozitiv, al doilea negativ, deci produsul e negativ; pe $(4, \infty)$ ambii sunt pozitivi, deci produsul e pozitiv. Rezumat: $h > 0$ pe $(- \infty, 1) \cup (4, \infty)$ , $h < 0$ pe $(1, 4)$ , $h = 0$ în $1$ și $4$ .

5. Zerourile: $- \frac{1}{2}$ și $3$ . Coeficientul dominant este $2 \cdot (- 1) = - 2 < 0$ , deci produsul este pozitiv între rădăcini: $h > 0$ pe $(- \frac{1}{2}, 3)$ și $h < 0$ pe $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (3, \infty)$ .

6. Zerourile factorilor sunt $- 7$ și $1$ , deci axa de simetrie este $x = \frac{- 7 + 1}{2} = - 3$ și $h (- 3) = (- 3 + 7) (- 3 - 1) = 4 \cdot (- 4) = - 16$ . Vârful: $V (- 3, - 16)$ . Verificare: $h (x) = x^{2} + 6 x - 7$ , deci $- \frac{b}{2 a} = - 3$ ✓ și $h (- 3) = 9 - 18 - 7 = - 16$ ✓.

7. $Δ = 49 - 40 = 9$ , deci rădăcinile sunt $\frac{7 \pm 3}{2}$ , adică $5$ și $2$ . Prin urmare $u (x) = (x - 2) (x - 5)$ , adică produsul funcțiilor afine $x - 2$ și $x - 5$ .

8. $3 x^{2} - 12 = 3 (x^{2} - 4) = 3 (x - 2) (x + 2) = (3 x - 6) (x + 2)$ . Verificare: $(3 x - 6) (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x - 6 x - 12 = 3 x^{2} - 12$ ✓. (La fel de corect: $(x - 2) (3 x + 6)$ .)

9. Fals. Funcțiile constante sunt funcții afine (cu coeficientul lui $x$ egal cu zero). De exemplu, pentru $f (x) = 5$ și $g (x) = x - 1$ , produsul este $5 x - 5$ , funcție afină, nu de gradul al doilea. Afirmația devine adevărată dacă adăugăm ipoteza că ambii coeficienți dominanți sunt nenuli.

10. Fals. Contraexemplu: $f (x) = g (x) = x$ , ambele strict crescătoare, dar produsul $x^{2}$ este descrescător pe $(- \infty, 0]$ și crescător pe $[0, \infty)$ — deci nu e strict crescător pe $R$ . Concret: $f (- 2) \cdot g (- 2) = 4 > 0 = f (0) \cdot g (0)$ , deși $- 2 < 0$ .

11. a) Dacă o latură este $x$ , semiperimetrul este $12$ , deci cealaltă latură este $12 - x$ , iar aria este $A (x) = x (12 - x)$ . b) Zerourile sunt $0$ și $12$ , deci axa de simetrie este $x = 6$ și $A (6) = 6 \cdot 6 = 36$ metri pătrați; coeficientul dominant $- 1 < 0$ confirmă că e maxim. Dreptunghiul optim este pătratul de latură $6$ . c) Domeniul practic este $(0, 12)$ : ambele laturi trebuie să fie strict pozitive.

12. $V (p) = p (200 - 4 p)$ . Zerourile: $0$ și $50$ . Axa de simetrie: $p = 25$ . Încasarea maximă: $V (25) = 25 \cdot (200 - 100) = 2500$ lei, cu $100$ de bilete vândute. Coeficientul dominant $- 4 < 0$ garantează că vârful e maxim.

13. $u (x) = 3 (x - 2) (x + 5) = (3 x - 6) (x + 5)$ . Dezvoltat: $(3 x - 6) (x + 5) = 3 x^{2} + 15 x - 6 x - 30 = 3 x^{2} + 9 x - 30$ . Verificare a zerourilor: $u (2) = 0$ ✓ și $u (- 5) = 75 - 45 - 30 = 0$ ✓.

14. Din zerouri, funcția are forma $h (x) = a (x + 3) (x - 1)$ . Punem condiția $h (0) = - 6$ : $a \cdot 3 \cdot (- 1) = - 3 a = - 6$ , deci $a = 2$ . Rezultă $h (x) = 2 (x + 3) (x - 1) = (2 x + 6) (x - 1) = 2 x^{2} + 4 x - 6$ . Verificare: $h (0) = - 6$ ✓, $h (- 3) = 0$ ✓, $h (1) = 0$ ✓.

15. a) Zerourile factorilor sunt $- 1$ și $5$ , deci axa de simetrie este $x = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ și $h (2) = 3 \cdot (- 3) = - 9$ . Vârful este $V (2, - 9)$ . b) $h (x) = x^{2} - 4 x - 5 = (x^{2} - 4 x + 4) - 4 - 5 = (x - 2)^{2} - 9 \geq - 9$ , cu egalitate pentru $x = 2$ , deoarece $(x - 2)^{2} \geq 0$ oricare ar fi $x$ real.

16. Zerourile sunt $- 3$ și $2$ , iar coeficientul dominant este $1 > 0$ , deci produsul este negativ între rădăcini. Soluția inecuației este $x \in (- 3, 2)$ , interval deschis, pentru că inegalitatea e strictă.

17. Zerourile factorilor sunt $m$ și $- 2$ , deci axa de simetrie este $x = \frac{m - 2}{2}$ . Ea coincide cu axa $O y$ (adică $x = 0$ ) exact când $m - 2 = 0$ , deci $m = 2$ . Atunci $h (x) = (x - 2) (x + 2) = x^{2} - 4$ , cu vârful $V (0, - 4)$ .

18. Zerourile sunt $a$ și $b$ , iar coeficientul dominant este $1 > 0$ , deci vârful este punct de minim, situat la $x_{0} = \frac{a + b}{2}$ — chiar mijlocul intervalului $[a, b]$ . Valoarea minimă:

$h (\frac{a + b}{2}) = (\frac{a + b}{2} - a) (\frac{a + b}{2} - b) = \frac{b - a}{2} \cdot (- \frac{b - a}{2}) = - (\frac{b - a}{2})^{2} .$

Interpretare frumoasă: cu cât rădăcinile sunt mai depărtate, cu atât parabola coboară mai mult sub axă — „adâncimea" este exact pătratul jumătății distanței dintre ele.

De reținut

Definiția produsului: $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$ , pe intersecția domeniilor. La funcții afine, domeniul rămâne $R$ .
Dacă $f (x) = a x + b$ și $g (x) = c x + d$ cu $a \neq = 0$ , $c \neq = 0$ , atunci $f \cdot g$ este o funcție de gradul al doilea cu coeficientul dominant $a c$ ; semnul lui $a c$ decide orientarea parabolei.
Zerourile produsului sunt zerourile factorilor: $(f \cdot g) (x) = 0 ⟺ f (x) = 0$ sau $g (x) = 0$ . Nu ai nevoie de discriminant.
Axa de simetrie trece prin mijlocul zerourilor, $x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ , iar vârful se obține înlocuind această valoare direct în forma factorizată.
Semnul se citește din tabelul cu trei linii (cei doi factori și produsul), iar drumul invers — descompunerea $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ — funcționează ori de câte ori $Δ \geq 0$ .

Greșeli frecvente

Desfaci parantezele imediat. Forma factorizată conține deja zerourile, orientarea și, prin mijloc, axa de simetrie. Dezvolți doar dacă ți se cere forma canonică sau coeficienții.
Uiți ipoteza „coeficienți nenuli". Dacă un factor este constant, produsul rămâne o funcție afină; enunțul „produsul a două funcții afine este de gradul al doilea" este fals fără această precizare.
Calculezi $y$ -ul vârfului din forma dezvoltată, cu greșeli de semn. Mai sigur: înlocuiește abscisa vârfului în forma factorizată, unde ai doar două înmulțiri de făcut.
Confuzia dintre semnul produsului și semnul unui factor. Un produs negativ nu înseamnă că ambii factori sunt negativi, ci că au semne contrare — de aceea tabelul are trei linii, nu una.
Crezi că orice funcție de gradul al doilea se descompune în factori afini. Dacă $Δ < 0$ , nu există rădăcini reale și descompunerea cu coeficienți reali nu e posibilă; graficul nu atinge deloc axa $O x$ .

Aplică acasă

Magazinul tău. Alege un produs pe care l-ai vinde (limonadă la un târg școlar, brățări, prăjituri). Estimează, pe baza intuiției sau întrebând cinci colegi, câte bucăți s-ar vinde la două prețuri diferite; construiește din aceste două date o funcție afină a cererii, înmulțește-o cu prețul și află prin metoda din lecție prețul care aduce încasarea maximă.
Gardul din curte. Ai la dispoziție $24$ de metri de gard pentru o grădină dreptunghiulară. Desenează pe hârtie milimetrică cinci variante de dreptunghi cu acest perimetru, calculează ariile și așază punctele $(x, A (x))$ într-un reper. Verifică dacă se aliniază pe parabola $A (x) = x (12 - x)$ și dacă maximul cade acolo unde spune teoria.
Fabrica de parabole. Într-o aplicație de grafice (GeoGebra sau Desmos), trasează dreptele y = x − 1 și y = x − 5, apoi curba y = (x−1)(x−5). Mișcă un punct pe axa $O x$ și observă cum semnul parabolei se schimbă exact acolo unde una dintre drepte trece prin zero. Repetă cu o dreaptă descrescătoare și notează ce se schimbă la orientarea parabolei.

Pentru părinți și profesori

Lecția face legătura dintre două lucruri pe care elevul le știe separat — funcția afină și funcția de gradul al doilea — și le unește prin operația de înmulțire, așa cum cere programa la capitolul de funcții obținute prin operații. Valoarea didactică principală este forma factorizată: din ea se citesc zerourile fără discriminant, axa de simetrie ca mijloc al rădăcinilor și semnul prin regula semnelor. Elevul ar trebui să iasă din lecție cu reflexul de a nu desface parantezele decât dacă i se cere explicit.

Întrebări bune de control: „De ce zerourile produsului sunt exact zerourile factorilor?" (un produs se anulează doar dacă un factor se anulează); „Cum decizi dacă parabola se deschide în sus sau în jos, uitându-te doar la cele două funcții afine?" (după semnul produsului coeficienților dominanți); „Unde se află vârful, dacă știi doar cele două rădăcini?" (la mijlocul lor). Semne că a înțeles: calculează ordonata vârfului înlocuind în forma factorizată, construiește corect tabelul cu trei linii și recunoaște singur structura „preț × cerere" în problemele de optimizare.

La Bacalaureat, tipul acesta de exercițiu apare în două forme: fie „determinați vârful parabolei asociate funcției $h = f \cdot g$ ", fie „arătați că $h (x) \geq m$ pentru orice $x$ real", rezolvată prin forma canonică. Ambele se antrenează în exemplele și exercițiile de mai sus, iar descompunerea în factori pregătește direct lucrul cu inecuațiile și, mai târziu, cu funcțiile raționale.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă produsul a două funcții? Este funcția care, în fiecare punct, dă produsul valorilor celor două funcții: $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$ . Se definește pe intersecția domeniilor celor două funcții.

De ce produsul a două funcții afine dă o funcție de gradul al doilea? Pentru că, la desfacerea parantezelor, $(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ , iar coeficientul lui $x^{2}$ este $a c$ , care este nenul atunci când și $a$ , și $c$ sunt nenule. Graficul devine astfel o parabolă.

Cum aflu zerourile fără să desfac parantezele? Egalezi fiecare factor cu zero și rezolvi două ecuații de gradul întâi. Un produs este nul exact atunci când cel puțin unul dintre factori este nul, deci zerourile produsului sunt reuniunea zerourilor factorilor.

Cum găsesc vârful parabolei din forma factorizată? Abscisa vârfului este media aritmetică a celor două zerouri, pentru că axa de simetrie trece prin mijlocul lor. Ordonata se obține înlocuind această abscisă direct în forma factorizată — două înmulțiri și ai terminat.

Cum stabilesc semnul unui produs de funcții afine? Faci un tabel cu trei linii: pe primele două, semnele celor doi factori (fiecare își schimbă semnul în zeroul său), iar pe a treia, semnul produsului obținut cu regula semnelor. Rezultatul este echivalent cu regula clasică: semnul coeficientului dominant în afara rădăcinilor, semn contrar între ele.

Ce se întâmplă dacă cele două funcții afine au același zero? Produsul devine un pătrat perfect, de exemplu $(x - 4)^{2}$ : parabola atinge axa $O x$ într-un singur punct, fără s-o traverseze, iar funcția are semn constant (pozitiv, dacă coeficientul dominant e pozitiv) în rest.

Orice funcție de gradul al doilea se poate scrie ca produs de două funcții afine? Numai dacă are rădăcini reale, adică dacă discriminantul este mai mare sau egal cu zero. Atunci $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Dacă discriminantul este negativ, o astfel de descompunere cu coeficienți reali nu există.

Unde apare în practică produsul a două funcții afine? Peste tot unde o mărime este produsul a două cantități care variază liniar în sens opus: încasare = preț × cerere, arie = latură × (semiperimetru − latură), putere = tensiune × intensitate într-un circuit cu rezistență fixată. În toate aceste situații, vârful parabolei dă valoarea optimă.