Ce este o progresie aritmetică și rația ei?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Progresia aritmetică și rația

Este șirul construit adunând mereu același număr la termenul dinainte; acel număr constant poartă numele de rație și se notează cu $r$ . Rația se află scăzând un termen din următorul: în $3$ , $7$ , $11$ , $15$ ea este $4$ . Semnul ei arată sensul: pozitivă înseamnă șir care urcă, negativă șir care coboară, iar zero un șir cu toți termenii la fel. Fiecare termen din interior este media aritmetică a vecinilor lui.

O progresie aritmetică este un șir în care fiecare termen se obține din cel dinaintea lui adunând mereu același număr. Numărul acela se numește rație și se notează $r$ : $a_{n + 1} = a_{n} + r$ .

Rația se află scăzând doi termeni vecini: $r = a_{n + 1} - a_{n}$ . În șirul $3, 7, 11, 15$ avem $r = 4$ . Semnul rației spune totul despre șir: $r > 0$ înseamnă că șirul crește, $r < 0$ că scade, iar $r = 0$ că toți termenii sunt egali.

Ca să verifici dacă un șir dat este progresie aritmetică, calculează toate diferențele consecutive și vezi dacă ies egale. Nu e de ajuns să verifici una singură: în $3, 3, 6, 9$ diferențele sunt $0, 3, 3$ , deci nu este progresie aritmetică, deși ultimele două se potrivesc.

Cea mai folositoare proprietate: fiecare termen (în afară de primul) este media aritmetică a vecinilor săi, adică $a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$ . Cu ea completezi într-o secundă un termen lipsă din mijloc.

Când problema dă suma a trei termeni consecutivi, scrie-i sub forma $a - r$ , $a$ , $a + r$ : suma lor devine $3 a$ și necunoscuta $r$ dispare de la prima adunare. E trucul care scurtează aproape toate problemele de tipul ăsta.

De reținut

$a_{n + 1} = a_{n} + r$
$r = a_{n + 1} - a_{n}$ , deci se scade termenul de rang mai mic
$a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$

Greșeala tipică

Rația este scoasă scăzând termenul următor din cel dinainte, așa că iese cu semn schimbat. Se scade mereu termenul mai vechi din cel mai nou, apoi se compară rezultatul cu felul în care arată șirul.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele șiruri este progresie aritmetică?
- a) $2, 4, 8, 16$
- b) $1, 4, 9, 16$
- c) $5, 8, 11, 14$
- d) $3, 3, 6, 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $5, 8, 11, 14$

La $5, 8, 11, 14$ toate diferențele sunt $3$ , deci este progresie aritmetică cu $r = 3$ . La $2, 4, 8, 16$ se înmulțește cu $2$ (progresie geometrică), la $1, 4, 9, 16$ diferențele sunt $3, 5, 7$ , iar la $3, 3, 6, 9$ sunt $0, 3, 3$ — niciuna constantă.
Cât este rația progresiei aritmetice $17, 12, 7, 2, \dots$ ?
- a) $5$
- b) $- 5$
- c) $- 4$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 5$

Rația este diferența dintre un termen și cel dinaintea lui, în ordinea asta: $12 - 17 = - 5$ . Șirul scade, deci rația trebuie să fie negativă — $5$ ar fi ieșit dacă scădeam invers.
Într-o progresie aritmetică, $a_{3} = 11$ și $a_{4} = 15$ . Cât este $a_{1}$ ?
- a) $3$
- b) $4$
- c) $7$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3$

Întâi rația: $r = a_{4} - a_{3} = 15 - 11 = 4$ . De la $a_{3}$ până la $a_{1}$ mergem doi pași înapoi: $a_{1} = 11 - 2 \cdot 4 = 3$ . Cine face un singur pas înapoi obține $7$ , adică $a_{2}$ ; iar $4$ este chiar rația, nu primul termen.

Întrebări conexe

Cum completez un termen care lipsește din mijlocul șirului?

Îl afli ca medie aritmetică a vecinilor: aduni termenul dinainte cu cel de după și împarți la doi. În șirul $5$ , $x$ , $17$ obții $x = \frac{5 + 17}{2} = 11$ . Metoda merge numai pentru termeni din interior, nu și pentru capete.

Ce formă comodă au trei termeni consecutivi cu suma dată?

Îi scrii ca $a - r$ , $a$ , $a + r$ . Suma lor devine $3 a$ , iar rația dispare de la prima adunare, deci termenul din mijloc se află imediat. Dacă suma este $27$ , atunci $a = 9$ , iar restul datelor din problemă dau apoi rația.

Este șirul numerelor pare o progresie aritmetică?

Da, cu rația $2$ : $2$ , $4$ , $6$ , $8$ și așa mai departe. La fel stau lucrurile cu numerele impare, tot cu rația $2$ , și cu multiplii oricărui număr fixat. Toate aceste șiruri au termenul general de forma unei expresii de gradul întâi în rang.

Cum arată formula unui șir care este progresie aritmetică?

Este o expresie de gradul întâi în rang, de tipul $a_{n} = mn + p$ . Coeficientul lui $n$ este chiar rația, fiindcă diferența a doi termeni vecini iese $m$ , indiferent de rang. Pentru $a_{n} = 4 n - 1$ , rația este $4$ , iar primul termen este $3$ .

Câți pași de rație sunt între primul și al patrulea termen?

Trei, nu patru. De la $a_{1}$ la $a_{2}$ este un pas, de la $a_{2}$ la $a_{3}$ al doilea, iar de la $a_{3}$ la $a_{4}$ al treilea. Numărul de pași este mereu cu unu mai mic decât numărul de termeni.

Ce se întâmplă dacă adun același număr la toți termenii?

Șirul rămâne progresie aritmetică, cu aceeași rație: diferențele dintre termeni nu se schimbă. Doar primul termen se mută. Dacă însă înmulțești toți termenii cu un număr, rația se înmulțește și ea cu acel număr.

Oamenii mai întreabă și: progresie aritmetică · rația unei progresii aritmetice · formula rației · cum aflu rația unui șir · șir cu diferență constantă