Progresia aritmetică și rația ei

Urci scările blocului. Fiecare treaptă are exact aceeași înălțime — să zicem $17$ centimetri — și tocmai de aceea poți urca fără să te uiți la picioare: corpul tău a învățat pasul și îl repetă identic. Dacă treptele ar avea înălțimi diferite, ai fi nevoit să privești fiecare treaptă în parte. Regularitatea îți economisește atenție.

Aceeași economie o face matematica atunci când un șir crește (sau scade) mereu cu aceeași cantitate. Un abonament care se scumpește cu $18$ lei în fiecare an, un depozit bancar cu dobândă simplă care aduce exact $150$ de lei anual, o sală în care fiecare rând are cu două locuri mai mult decât cel dinainte, un rezervor care pierde $12$ litri pe oră — toate au aceeași structură ascunsă: un punct de plecare și un pas repetat la nesfârșit. Șirurile de acest fel se numesc progresii aritmetice, iar pasul lor poartă numele de rație. În lecția anterioară, Șiruri de numere: termen, rang, formula termenului general, ai învățat să lucrezi cu șiruri în general; de aici încolo ne concentrăm pe cele mai simple și mai folositoare dintre ele.

Ce vei învăța

Vei ști definiția progresiei aritmetice și vei putea explica ce înseamnă, în cuvinte simple, „diferență constantă".
Vei ști ce este rația unei progresii aritmetice, cum se notează și cum se calculează din doi termeni consecutivi.
Vei ști să verifici dacă un șir dat prin enumerare sau prin formulă este progresie aritmetică — și să demonstrezi când nu este.
Vei ști să citești semnul rației: când progresia crește, când scade și când este constantă.
Vei ști să continui o progresie aritmetică și să completezi termeni lipsă.
Vei ști să recunoști progresia aritmetică în situații practice simple: dobândă simplă, prețuri care cresc cu o sumă fixă, consumuri uniforme.

Hai să descoperim împreună

1. Un șir care face mereu același pas

Să privim șirul $4, 9, 14, 19, 24, \dots$ și să calculăm diferențele dintre termenii vecini:

$9 - 4 = 5, 14 - 9 = 5, 19 - 14 = 5, 24 - 19 = 5.$

Toate diferențele sunt egale cu $5$ . Altfel spus, de fiecare dată când trecem la termenul următor, adunăm $5$ . Șirul e complet descris de două informații: de unde pleacă ( $4$ ) și cu cât înaintează ( $5$ ). Cu ele putem continua oricât: $29$ , $34$ , $39$ și așa mai departe.

Compară cu șirul $2, 5, 9, 14, 20, \dots$ , unde diferențele sunt $3, 4, 5, 6$ — mereu altele. Și acesta are o regulă, dar pasul lui nu este constant, deci nu are structura de care ne ocupăm acum.

2. Definiția și rația

Definiție. Un șir $(a_{n})_{n \geq 1}$ se numește progresie aritmetică dacă există un număr real $r$ , același pentru toate rangurile, astfel încât

$a_{n + 1} = a_{n} + r pentru orice n \geq 1.$

Numărul $r$ se numește rația progresiei.

Relația se poate scrie și sub forma echivalentă, cea pe care o vei folosi cel mai des la verificări:

$a_{n + 1} - a_{n} = r pentru orice n \geq 1.$

Cu alte cuvinte: diferența dintre orice termen și cel dinaintea lui este mereu aceeași. De aici și numele — „aritmetică" trimite la operația de adunare, spre deosebire de progresiile geometrice, unde se înmulțește, și pe care le vei studia în Progresia geometrică și rația ei.

Pentru șirul din secțiunea 1 avem $a_{1} = 4$ și $r = 5$ . În manualele românești, faptul că un șir este progresie aritmetică se marchează adesea cu simbolul $\div$ scris înaintea termenilor: $\div 4, 9, 14, 19, 24, \dots$

Observă cât de puțină informație e nevoie: primul termen și rația determină complet progresia. Dacă îți spun că $a_{1} = 100$ și $r = - 7$ , poți scrie oricâți termeni: $100, 93, 86, 79, 72, \dots$ Nu mai ai nevoie de nimic altceva. Aceasta este economia de care vorbeam la început, iar în lecția următoare o vom transforma într-o formulă care sare direct la orice rang.

3. Cum determini rația

Dacă știi că un șir este progresie aritmetică, rația se obține scăzând doi termeni consecutivi, oricare ar fi ei:

$r = a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = a_{4} - a_{3} = \dots$

Pentru $\div 12, 19, 26, 33, \dots$ avem $r = 19 - 12 = 7$ . Verificarea pe alte perechi confirmă: $26 - 19 = 7$ , $33 - 26 = 7$ .

Atenție la ordinea scăderii: din termenul mai mare de rang se scade cel mai mic de rang, adică $r = a_{n + 1} - a_{n}$ , nu invers. Dacă inversezi, obții rația cu semn schimbat și toată problema se strică. Un truc de verificare instantanee: dacă șirul urcă, rația trebuie să iasă pozitivă; dacă coboară, negativă. Pentru $\div 40, 33, 26, 19, \dots$ rația este $r = 33 - 40 = - 7$ — negativă, așa cum ne așteptam de la un șir descrescător.

4. Cum verifici dacă un șir este progresie aritmetică

Aici trebuie făcută o distincție importantă, care separă răspunsurile de nota $10$ de cele de nota $7$ .

Cazul A: șirul e dat prin formula termenului general. Atunci verificarea este completă și riguroasă: calculezi diferența $a_{n + 1} - a_{n}$ în general, cu $n$ literă, și vezi dacă rezultatul nu mai depinde de $n$ .

Exemplu. Fie $a_{n} = 3 n + 2$ . Calculăm

$a_{n + 1} - a_{n} = [3 (n + 1) + 2] - (3 n + 2) = 3 n + 3 + 2 - 3 n - 2 = 3.$

Diferența este $3$ , aceeași pentru orice $n$ , deci șirul este progresie aritmetică, cu $r = 3$ (și $a_{1} = 5$ ).

Exemplu. Fie $b_{n} = n^{2} + n$ . Primii termeni sunt $2, 6, 12, 20, \dots$ , iar diferențele $4, 6, 8, \dots$ nu sunt egale. Riguros:

$b_{n + 1} - b_{n} = [(n + 1)^{2} + (n + 1)] - (n^{2} + n) = n^{2} + 2 n + 1 + n + 1 - n^{2} - n = 2 n + 2.$

Rezultatul depinde de $n$ , deci nu este constant: șirul nu este progresie aritmetică.

Exemplu. Fie $c_{n} = \frac{7 - 3 n}{4}$ . Atunci

$c_{n + 1} - c_{n} = \frac{7 - 3 ( n + 1 )}{4} - \frac{7 - 3 n}{4} = \frac{7 - 3 n - 3 - 7 + 3 n}{4} = \frac{- 3}{4} .$

Constantă, deci progresie aritmetică cu $r = - \frac{3}{4}$ . Rația nu trebuie să fie număr întreg.

Reține tiparul: o formulă de gradul întâi în $n$ , adică de forma $a_{n} = p n + q$ , dă întotdeauna o progresie aritmetică cu rația $p$ — iar orice altceva (pătrate, puteri, fracții cu $n$ la numitor) aproape sigur nu.

Cazul B: șirul e dat prin enumerarea câtorva termeni. Aici verifici toate diferențele pe care le poți calcula. Dacă una diferă, șirul sigur nu este progresie aritmetică. Dacă toate coincid, poți doar spune că termenii dați sunt compatibili cu o progresie aritmetică — nu ai cum să știi ce urmează dincolo de ei. Șirul $1, 3, 5, 10, 20$ începe cu două diferențe egale cu $2$ și totuși nu e progresie aritmetică. De aceea enunțurile corecte spun „se știe că șirul este progresie aritmetică" înainte de a cere rația.

5. Semnul rației și sensul de variație

Rația nu e doar un număr: ea spune dintr-o privire cum se comportă progresia.

Dacă $r > 0$ , atunci $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ , deci progresia este strict crescătoare. Exemplu: $\div 3, 8, 13, 18, \dots$ cu $r = 5$ .
Dacă $r < 0$ , atunci $a_{n + 1} - a_{n} < 0$ , deci progresia este strict descrescătoare. Exemplu: $\div 30, 26, 22, 18, \dots$ cu $r = - 4$ .
Dacă $r = 0$ , toți termenii sunt egali: progresia este constantă. Exemplu: $\div 7, 7, 7, 7, \dots$

Un lucru important, mai ales la problemele practice: o progresie descrescătoare nu se oprește la zero. Șirul $\div 30, 26, 22, 18, 14, 10, 6, 2, - 2, - 6, \dots$ continuă în numere negative, chiar dacă mărimea pe care o modelează (litri de apă, de exemplu) nu poate fi negativă. Modelul matematic merge mai departe; noi suntem cei care trebuie să spunem până unde are sens.

6. Termeni consecutivi și diferențele lor

Din definiție rezultă imediat o observație pe care merită să o ai la îndemână. Dacă $a_{n - 1}$ , $a_{n}$ , $a_{n + 1}$ sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, atunci ambele diferențe sunt egale cu rația:

$a_{n} - a_{n - 1} = r ș i a_{n + 1} - a_{n} = r,$

deci $a_{n} - a_{n - 1} = a_{n + 1} - a_{n}$ . Această egalitate simplă rezolvă o categorie întreagă de exerciții: cele în care termenii conțin o necunoscută și se cere valoarea ei.

Exemplu. Pentru ce valoare a lui $x$ numerele $x + 1$ , $3 x$ , $5 x + 1$ sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice?

Punem condiția ca cele două diferențe să fie egale:

$3 x - (x + 1) = (5 x + 1) - 3 x ⟺ 2 x - 1 = 2 x + 1.$

Obținem $- 1 = 1$ , ceea ce este imposibil: nu există un asemenea $x$ . Exemplul e util tocmai pentru că arată că răspunsul poate fi și „niciunul" — nu forțezi o soluție care nu există.

Exemplu. Pentru ce valoare a lui $x$ numerele $x - 1$ , $2 x + 1$ , $7 x - 3$ sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice? Condiția devine

$(2 x + 1) - (x - 1) = (7 x - 3) - (2 x + 1) ⟺ x + 2 = 5 x - 4 ⟺ 4 x = 6 ⟺ x = \frac{3}{2} .$

Verificăm: termenii sunt $\frac{1}{2}$ , $4$ , $\frac{15}{2}$ , iar diferențele $4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ și $\frac{15}{2} - 4 = \frac{7}{2}$ coincid. Rația este $\frac{7}{2}$ .

7. Progresii aritmetice în viața de zi cu zi

Programa cere explicit ca progresiile să fie întâlnite în contexte practice, iar motivul e simplu: ele descriu tot ce se schimbă cu o cantitate fixă pe unitate de timp.

Dobânda simplă. Depui $3000$ de lei cu o dobândă simplă de $5%$ pe an. „Simplă" înseamnă că dobânda se calculează mereu la suma inițială, deci în fiecare an primești același lucru: $5% \cdot 3000 = 150$ de lei. Soldurile la sfârșitul anilor $1, 2, 3, 4$ sunt

$3150, 3300, 3450, 3600,$

o progresie aritmetică cu $a_{1} = 3150$ și $r = 150$ . Atenție la contrast: dacă dobânda ar fi compusă, ea s-ar calcula în fiecare an la suma acumulată, sumele adăugate ar crește și șirul nu ar mai fi progresie aritmetică — vei vedea acest caz în Dobânda compusă și dinamica populației.

Prețuri care cresc cu o sumă fixă. Un abonament costă $240$ de lei în primul an și se scumpește cu $18$ lei în fiecare an: $240, 258, 276, 294, \dots$ — progresie aritmetică cu $r = 18$ . Dacă în schimb prețul ar crește „cu $10%$ pe an", creșterea în lei ar fi tot mai mare și șirul nu ar mai fi progresie aritmetică.

Consumuri uniforme. Un generator consumă $6$ litri de combustibil pe oră dintr-un rezervor de $90$ de litri: cantitățile rămase după fiecare oră formează progresia $84, 78, 72, 66, \dots$ cu $r = - 6$ .

Cum se recunosc aceste situații în enunțuri și cum se transpun corect în notație vei învăța sistematic în Cum recunoști o progresie aritmetică într-o problemă; deocamdată e destul să reții semnalul principal: expresiile „cu aceeași sumă mai mult", „cu $x$ unități pe zi", „în rate egale" anunță aproape întotdeauna o progresie aritmetică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștere și rație, dintr-o enumerare

Stabiliți care dintre șirurile următoare sunt progresii aritmetice și precizați rația: a) $3, 7, 11, 15$ ; b) $2, 5, 9, 14$ ; c) $50, 41, 32, 23$ .

Rezolvare. a) Diferențele sunt $7 - 3 = 4$ , $11 - 7 = 4$ , $15 - 11 = 4$ — toate egale, deci termenii formează o progresie aritmetică cu $r = 4$ .

b) Diferențele sunt $3$ , $4$ , $5$ — diferite, deci nu este progresie aritmetică. E suficient ca două diferențe să nu coincidă.

c) Diferențele sunt $41 - 50 = - 9$ , $32 - 41 = - 9$ , $23 - 32 = - 9$ : progresie aritmetică cu $r = - 9$ , descrescătoare.

Exemplul 2 — Continuarea unei progresii

Se știe că șirul $\div 8, 13, 18, \dots$ este progresie aritmetică. Scrieți încă trei termeni și precizați dacă este crescătoare sau descrescătoare.

Rezolvare. Rația este $r = 13 - 8 = 5$ (confirmată de $18 - 13 = 5$ ). Adunăm succesiv rația:

$18 + 5 = 23, 23 + 5 = 28, 28 + 5 = 33.$

Progresia continuă cu $23, 28, 33$ . Cum $r = 5 > 0$ , progresia este strict crescătoare.

Exemplul 3 — Verificare pornind de la formulă

Arătați că șirul $a_{n} = \frac{5 n - 1}{2}$ este progresie aritmetică și precizați primul termen și rația.

Rezolvare. Calculăm diferența în general:

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{5 ( n + 1 ) - 1}{2} - \frac{5 n - 1}{2} = \frac{5 n + 5 - 1 - 5 n + 1}{2} = \frac{5}{2} .$

Diferența nu depinde de $n$ , deci șirul este progresie aritmetică cu $r = \frac{5}{2} = 2, 5$ . Primul termen este $a_{1} = \frac{4}{2} = 2$ . Primii termeni: $2$ , $\frac{9}{2}$ , $7$ , $\frac{19}{2}$ — se vede pasul de $2, 5$ .

Exemplul 4 — Un șir care nu este progresie aritmetică

Arătați că șirul $b_{n} = 2^{n}$ nu este progresie aritmetică.

Rezolvare. Primii termeni sunt $2, 4, 8, 16, \dots$ , iar diferențele $4 - 2 = 2$ și $8 - 4 = 4$ nu sunt egale. Un singur contraexemplu este suficient pentru a respinge afirmația.

Riguros, în general: $b_{n + 1} - b_{n} = 2^{n + 1} - 2^{n} = 2^{n} (2 - 1) = 2^{n}$ , care depinde de $n$ , deci nu este constantă. Acest șir crește prin înmulțire cu $2$ la fiecare pas — este o progresie geometrică, subiectul lecțiilor de mai târziu.

Exemplul 5 — Aflarea rației dintr-un termen mai depărtat

Într-o progresie aritmetică se cunosc $a_{1} = - 8$ și $a_{4} = 7$ . Determinați rația și scrieți primii patru termeni.

Rezolvare. De la rangul $1$ la rangul $4$ se fac trei pași, fiecare de mărime $r$ :

$a_{2} = a_{1} + r, a_{3} = a_{1} + 2 r, a_{4} = a_{1} + 3 r .$

Din $a_{4} = 7$ obținem $- 8 + 3 r = 7$ , deci $3 r = 15$ și $r = 5$ . Primii patru termeni sunt $- 8, - 3, 2, 7$ . Verificare: diferențele sunt toate egale cu $5$ , iar al patrulea termen este într-adevăr $7$ ✓.

Reține numărul de pași: de la rangul $1$ la rangul $4$ sunt trei pași, nu patru. Este eroarea numărul unu din tot capitolul, iar în lecția următoare o vom împacheta într-o formulă care o previne automat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ definit prin $a_{n} = 5 n + 2$ .

a) Calculați $a_{1}$ și $a_{2}$ . b) Demonstrați că șirul $(a_{n})$ este o progresie aritmetică și precizați rația. c) Determinați valoarea reală a lui $x$ pentru care numerele $a_{1}$ , $x$ , $a_{3}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare. a) $a_{1} = 5 \cdot 1 + 2 = 7$ și $a_{2} = 5 \cdot 2 + 2 = 12$ .

b) Calculăm diferența a doi termeni consecutivi oarecare:

$a_{n + 1} - a_{n} = [5 (n + 1) + 2] - (5 n + 2) = 5 n + 5 + 2 - 5 n - 2 = 5.$

Diferența este constantă, egală cu $5$ , pentru orice $n \geq 1$ ; conform definiției, $(a_{n})$ este progresie aritmetică cu rația $r = 5$ .

c) Avem $a_{1} = 7$ și $a_{3} = 17$ . Condiția ca $7$ , $x$ , $17$ să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este ca cele două diferențe să fie egale:

$x - 7 = 17 - x ⟺ 2 x = 24 ⟺ x = 12.$

Deci $x = 12$ — și, într-adevăr, $12$ este chiar $a_{2}$ , ceea ce era de așteptat.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La orice verificare, calculează toate diferențele pe care le poți calcula; la șirurile date prin formulă, calculează diferența cu $n$ literă, nu doar pe primii termeni — doar așa demonstrezi, în loc să bănuiești.

1. Verifică dacă șirul $3, 7, 11, 15$ poate fi o progresie aritmetică; dacă da, precizează rația.

2. Verifică dacă șirul $2, 5, 9, 14$ poate fi o progresie aritmetică.

3. Determină rația progresiei aritmetice $\div 40, 33, 26, 19, \dots$ și spune dacă este crescătoare sau descrescătoare.

4. Scrie următorii trei termeni ai progresiei aritmetice $\div 8, 13, 18, \dots$

5. Scrie următorii trei termeni ai progresiei aritmetice $\div 100, 88, 76, \dots$

6. Arată că șirul $a_{n} = 6 n - 5$ este progresie aritmetică și precizează $a_{1}$ și rația.

7. Arată că șirul $b_{n} = n^{2} + n$ nu este progresie aritmetică.

8. Arată că șirul $c_{n} = \frac{7 - 3 n}{4}$ este progresie aritmetică și precizează rația.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă pentru un șir avem $a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}$ , atunci șirul este cu siguranță progresie aritmetică."

10. Într-o progresie aritmetică, $a_{1} = 7$ și $a_{2} = 12$ . Scrie primii cinci termeni și precizează rația.

11. O progresie aritmetică are $a_{1} = 30$ și $r = - 4$ . Scrie primii cinci termeni. Care este primul termen negativ?

12. (Problemă aplicată.) Depui $3000$ de lei într-un cont cu dobândă simplă de $5%$ pe an (dobânda se calculează în fiecare an la suma inițială). Scrie soldurile la sfârșitul primilor patru ani. Formează ele o progresie aritmetică? Care este rația?

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O progresie aritmetică cu rația $0$ are toți termenii egali."

14. Într-o progresie aritmetică se cunosc $a_{1} = - 8$ și $a_{4} = 7$ . Determină rația.

15. Determină numărul real $x$ pentru care $x - 1$ , $2 x + 1$ , $7 x - 3$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră șirul $a_{n} = 4 n - 1$ , $n \geq 1$ . a) Calculați $a_{1}$ și $a_{2}$ . b) Demonstrați că șirul este progresie aritmetică și precizați rația. c) Determinați $x$ real astfel încât $a_{2}$ , $x$ , $a_{4}$ să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

17. (Problemă aplicată.) Prețul unui abonament este de $240$ de lei în primul an și crește cu $18$ lei în fiecare an următor. Arată că prețurile formează o progresie aritmetică, precizează rația și calculează prețul din al cincilea an.

18. (Provocare.) Fie $(a_{n})$ o progresie aritmetică de rație $r$ . a) Arată că șirul $b_{n} = 3 a_{n} + 5$ este tot progresie aritmetică și află rația lui. b) Arată, printr-un contraexemplu, că șirul $c_{n} = a_{n}^{2}$ nu este, în general, progresie aritmetică.

Răspunsuri și explicații

1. Da. Diferențele sunt $4$ , $4$ , $4$ , deci termenii sunt compatibili cu o progresie aritmetică de rație $r = 4$ .

2. Nu. Diferențele sunt $5 - 2 = 3$ , $9 - 5 = 4$ , $14 - 9 = 5$ — nu sunt egale, deci șirul nu este progresie aritmetică.

3. $r = 33 - 40 = - 7$ (confirmat de $26 - 33 = - 7$ și $19 - 26 = - 7$ ). Rația fiind negativă, progresia este strict descrescătoare.

4. $r = 5$ , deci urmează $23$ , $28$ , $33$ .

5. $r = 88 - 100 = - 12$ , deci urmează $64$ , $52$ , $40$ .

6. $a_{n + 1} - a_{n} = [6 (n + 1) - 5] - (6 n - 5) = 6$ , constantă. Deci este progresie aritmetică, cu $a_{1} = 1$ și $r = 6$ .

7. Primii termeni sunt $2$ , $6$ , $12$ , iar diferențele $4$ și $6$ nu sunt egale. În general, $b_{n + 1} - b_{n} = 2 n + 2$ , care depinde de $n$ , deci nu este constantă.

8. $c_{n + 1} - c_{n} = \frac{7 - 3 ( n + 1 )}{4} - \frac{7 - 3 n}{4} = \frac{- 3}{4}$ , constantă. Este progresie aritmetică cu $r = - \frac{3}{4}$ , descrescătoare (primul termen: $c_{1} = 1$ ).

9. Fals. Condiția pusă doar pe primii trei termeni nu spune nimic despre restul șirului. Contraexemplu: $1, 3, 5, 10, \dots$ — avem $3 - 1 = 5 - 3 = 2$ , dar $10 - 5 = 5 \neq = 2$ . Definiția cere ca diferența să fie constantă pentru orice $n$ .

10. $r = a_{2} - a_{1} = 12 - 7 = 5$ , deci primii cinci termeni sunt $7, 12, 17, 22, 27$ .

11. Termenii sunt $30, 26, 22, 18, 14$ . Continuând: $10, 6, 2, - 2, \dots$ — primul termen negativ este $- 2$ (obținut după încă patru pași, deci este termenul de rang $9$ ).

12. Dobânda anuală este constantă: $5% \cdot 3000 = 150$ de lei. Soldurile sunt $3150$ , $3300$ , $3450$ , $3600$ . Diferențele sunt toate $150$ , deci da, formează o progresie aritmetică cu $r = 150$ .

13. Adevărat. Dacă $r = 0$ , atunci $a_{n + 1} = a_{n} + 0 = a_{n}$ pentru orice $n$ , deci toți termenii sunt egali cu $a_{1}$ . Este cazul-limită, numit progresie constantă.

14. De la rangul $1$ la rangul $4$ sunt trei pași: $a_{4} = a_{1} + 3 r$ , deci $7 = - 8 + 3 r$ , de unde $3 r = 15$ și $r = 5$ . Termenii sunt $- 8, - 3, 2, 7$ .

15. Condiția de diferențe egale: $(2 x + 1) - (x - 1) = (7 x - 3) - (2 x + 1)$ , adică $x + 2 = 5 x - 4$ , deci $4 x = 6$ și $x = \frac{3}{2}$ . Verificare: termenii devin $\frac{1}{2}$ , $4$ , $\frac{15}{2}$ , cu ambele diferențe egale cu $\frac{7}{2}$ ✓.

16. a) $a_{1} = 3$ , $a_{2} = 7$ . b) $a_{n + 1} - a_{n} = [4 (n + 1) - 1] - (4 n - 1) = 4$ , constantă pentru orice $n \geq 1$ , deci șirul este progresie aritmetică de rație $r = 4$ . c) $a_{2} = 7$ și $a_{4} = 15$ ; din $x - 7 = 15 - x$ obținem $2 x = 22$ , deci $x = 11$ (care este chiar $a_{3}$ ).

17. Prețurile sunt $240$ , $258$ , $276$ , $294$ , $312$ , … Fiecare este cu $18$ mai mare decât precedentul, deci diferența este constantă: progresie aritmetică cu $a_{1} = 240$ și $r = 18$ . Prețul din al cincilea an: $240 + 4 \cdot 18 = 240 + 72 = 312$ lei (patru creșteri de la primul an până la al cincilea).

18. a) $b_{n + 1} - b_{n} = (3 a_{n + 1} + 5) - (3 a_{n} + 5) = 3 (a_{n + 1} - a_{n}) = 3 r$ , constantă, deci $(b_{n})$ este progresie aritmetică de rație $3 r$ . b) Luăm progresia $1, 2, 3, \dots$ (cu $r = 1$ ); pătratele sunt $1, 4, 9, \dots$ , iar diferențele $3$ și $5$ nu sunt egale. În general, $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = (a_{n + 1} - a_{n}) (a_{n + 1} + a_{n}) = r (a_{n + 1} + a_{n})$ , factor care se schimbă odată cu $n$ — deci $(a_{n}^{2})$ este progresie aritmetică doar în cazul banal $r = 0$ .

De reținut

Un șir $(a_{n})$ este progresie aritmetică dacă există $r$ real cu $a_{n + 1} = a_{n} + r$ pentru orice $n \geq 1$ ; echivalent, dacă $a_{n + 1} - a_{n} = r$ este constantă.
Numărul $r$ se numește rație și se calculează scăzând un termen din următorul: $r = a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = \dots$ Ordinea contează — se scade termenul de rang mai mic.
Primul termen și rația determină complet progresia: din $a_{1}$ și $r$ poți scrie oricâți termeni, adunând succesiv rația.
Semnul rației dă sensul de variație: $r > 0$ crescătoare, $r < 0$ descrescătoare, $r = 0$ constantă.
Un șir dat prin formulă este progresie aritmetică dacă și numai dacă diferența $a_{n + 1} - a_{n}$ , calculată cu $n$ literă, nu depinde de $n$ ; formulele de gradul întâi $a_{n} = p n + q$ dau mereu progresii aritmetice de rație $p$ .

Greșeli frecvente

Rația calculată invers. $r = a_{1} - a_{2}$ dă semnul schimbat. Corect este $r = a_{n + 1} - a_{n}$ ; verifică apoi cu bunul-simț: șir care urcă ⇒ rație pozitivă.
Verificarea doar pe primii doi termeni. Faptul că $a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}$ nu garantează nimic despre restul șirului. La șiruri date prin formulă, calculează diferența în general, cu $n$ literă.
Numărarea greșită a pașilor. De la $a_{1}$ la $a_{4}$ sunt trei pași de rație, nu patru. Numără săriturile dintre ranguri, nu rangurile.
Confuzia cu creșterea procentuală. „Cu $10%$ mai mult în fiecare an" nu dă o progresie aritmetică: suma adăugată crește de la an la an. Progresia aritmetică cere o creștere cu aceeași cantitate, nu cu același procent.
Oprirea progresiei la zero. O progresie cu rație negativă continuă în numere negative. Dacă problema modelează o mărime care nu poate fi negativă, tu ești cel care trebuie să precizezi până la ce rang are sens modelul.

Aplică acasă

Scara ta. Măsoară înălțimea unei trepte din scara blocului sau a casei și numără treptele până la etajul următor. Scrie progresia înălțimilor la care ajungi după fiecare treaptă, precizează $a_{1}$ și rația, apoi calculează la ce înălțime ajungi după $12$ trepte. Verifică prin măsurare — diferența față de calcul îți arată cât de „aritmetică" e scara reală.
Factura de utilități. Ia trei-patru facturi consecutive de apă sau gaze și notează indexul contorului. Calculează diferențele. Sunt egale? Aproape sigur nu — consumul real variază. Scrie totuși consumul mediu lunar și construiește progresia aritmetică „ideală" care ar porni de la primul index cu acest pas. Compar-o cu realitatea: cât de departe e modelul?
Economia cu pas fix. Alege o sumă pe care o poți pune deoparte săptămânal (de exemplu $15$ lei) și o sumă de start. Scrie primii opt termeni ai progresiei soldurilor, precizează rația și află în ce săptămână depășești $150$ de lei. Ține evidența reală o lună și vezi dacă modelul rezistă.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima noțiune „cu nume" din capitolul de progresii. Elevii intuiesc rapid ideea de pas constant, dar au două dificultăți previzibile: (1) confundă progresia aritmetică cu creșterea procentuală („cu $10%$ pe an" li se pare tot un pas fix), și (2) numără greșit pașii dintre ranguri, ceea ce va produce erori sistematice în lecția următoare, unde apare formula termenului general. Ambele merită atacate din prima zi.

Ce verifică lecția: calculul corect al rației, cu atenție la ordinea scăderii; verificarea riguroasă (diferența cu $n$ literă) pentru șiruri date prin formulă, nu doar pe primii termeni; recunoașterea situațiilor practice cu pas constant. Întrebări bune de control: „Care e diferența dintre a spune «crește cu $20$ de lei pe an» și «crește cu $20%$ pe an»?"; „De ce nu ajunge să verific două diferențe?"; „Ce știu despre progresie dacă îmi spui doar $a_{1}$ și $r$ ?" (răspunsul corect: absolut tot).

Semne că elevul a înțeles: scrie spontan $a_{n + 1} - a_{n}$ atunci când i se cere să demonstreze că un șir e progresie aritmetică, în loc să calculeze primii trei termeni; identifică imediat rația negativă la un șir descrescător; nu se blochează când rația este fracționară. La Bacalaureat, structura punctului b) din Exemplul 6 („demonstrați că șirul este progresie aritmetică") apare frecvent în subiectul I sau II și se punctează în întregime pentru calculul diferenței în general — este unul dintre cele mai sigure puncte din întreaga probă.

Întrebări frecvente

Ce este o progresie aritmetică, explicat simplu? Este un șir de numere în care fiecare termen se obține din cel dinaintea lui adunând mereu același număr. De exemplu, $4, 9, 14, 19, \dots$ — se adaugă de fiecare dată $5$ . Riguros: $(a_{n})$ este progresie aritmetică dacă $a_{n + 1} = a_{n} + r$ pentru orice rang $n$ .

Ce este rația unei progresii aritmetice și cum o calculez? Rația este numărul constant care se adaugă la fiecare pas și se notează cu $r$ . O calculezi scăzând dintr-un termen pe cel dinaintea lui: $r = a_{2} - a_{1}$ . Pentru $\div 12, 19, 26, \dots$ rația este $19 - 12 = 7$ .

Cum verific dacă un șir este progresie aritmetică? Dacă șirul e dat prin formulă, calculezi $a_{n + 1} - a_{n}$ cu $n$ literă: dacă rezultatul nu depinde de $n$ , șirul este progresie aritmetică, iar acel rezultat este rația. Dacă șirul e dat prin câțiva termeni, calculezi toate diferențele posibile; dacă una diferă, sigur nu este progresie aritmetică.

Rația poate fi negativă sau zero? Da. Rația negativă înseamnă progresie descrescătoare (de exemplu $30, 26, 22, \dots$ cu $r = - 4$ ), iar rația zero înseamnă progresie constantă, cu toți termenii egali. Rația poate fi și fracționară sau irațională — nu există nicio restricție, ea este un număr real oarecare.

Care este diferența dintre progresia aritmetică și cea geometrică? La progresia aritmetică treci de la un termen la altul adunând mereu același număr; la progresia geometrică treci înmulțind mereu cu același număr. Șirul $2, 5, 8, 11$ este aritmetic (se adună $3$ ), iar $2, 4, 8, 16$ este geometric (se înmulțește cu $2$ ).

„Crește cu $5%$ pe an" înseamnă progresie aritmetică? Nu. Un procent se aplică la suma curentă, deci cantitatea adăugată crește de la an la an — asta dă o progresie geometrică. Progresia aritmetică apare când se adaugă aceeași sumă în fiecare an, ca la dobânda simplă, unde dobânda se calculează mereu la suma inițială.

De ce nu ajunge să verific primele două diferențe? Pentru că definiția cere ca diferența să fie aceeași pentru orice rang. Șirul $1, 3, 5, 10$ are primele două diferențe egale cu $2$ , dar a treia este $5$ . Doar calculul general, cu $n$ literă, sau informația explicită din enunț („se știe că este progresie aritmetică") îți dau certitudine.

Ce trebuie să știu ca să pot scrie toți termenii unei progresii aritmetice? Îți sunt suficiente două numere: primul termen $a_{1}$ și rația $r$ . Din ele obții orice termen adunând succesiv rația — iar în lecția următoare vei învăța formula care îți dă direct termenul de orice rang, fără să treci prin toți ceilalți.