Cum deosebesc cele două tipuri de progresii?
Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Aritmetică sau geometrică?
Te uiți ce se întâmplă între doi termeni vecini: dacă se adaugă mereu același număr, modelul este aritmetic; dacă se înmulțește mereu cu același număr, este geometric. Pe date numerice calculezi întâi diferențele, apoi, dacă nu ies egale, rapoartele. În cuvinte, „cu mai mult” trimite la primul model, iar „cu mai mult” sau „se dublează” la al doilea.
Întrebarea care decide totul este una singură: între doi termeni consecutivi se adună mereu același număr, sau se înmulțește mereu cu același număr? În primul caz progresia este aritmetică, în al doilea geometrică.
Pe date numerice, testul are doi pași. Calculează diferențele termenilor consecutivi: dacă ies toate egale, e aritmetică. Dacă nu, calculează rapoartele: dacă ies toate egale, e geometrică. Dacă nici-nici, șirul nu este niciuna dintre ele.
În cuvinte, semnalele sunt la fel de clare. «Cu mai mult», «încă de lei», «scade cu grade» înseamnă aritmetică. «Se dublează», «cu mai mult», «scade cu un sfert» înseamnă geometrică.
Și graficele arată diferit: o progresie aritmetică urcă în linie dreaptă, cu pași egali, în timp ce una geometrică cu se îndoaie tot mai tare în sus, iar una cu se turtește spre zero.
Pe termen lung, orice progresie geometrică cu depășește orice progresie aritmetică, oricât de mare i-ar fi rația. De-asta povestea cu bobul de grâu dublat pe fiecare pătrat al tablei de șah ajunge la numere pe care nu le poate plăti nimeni.
De reținut
- diferențe egale înseamnă progresie aritmetică
- rapoarte egale înseamnă progresie geometrică
- cantitate fixă duce la model aritmetic, procent din valoarea curentă la unul geometric
Greșeala tipică
Modelul este ales după primii doi termeni, deși din și pot urma și , și . Trei termeni sunt minimul, iar patru dau siguranță împotriva potrivirilor întâmplătoare.
Exerciții din această mini-lecție
Șirul este:
- a) progresie aritmetică cu
- b) progresie geometrică cu
- c) progresie aritmetică cu
- d) nici aritmetică, nici geometrică
Vezi răspunsul
Răspuns corect: b) progresie geometrică cu
Diferențele sunt — nu sunt egale, deci nu e aritmetică. Rapoartele sunt — toate egale, deci este progresie geometrică cu .
Care dintre afirmațiile de mai jos descrie o progresie geometrică?
- a) «Prețul crește cu de lei în fiecare lună.»
- b) «Prețul crește cu în fiecare lună.»
- c) «Temperatura scade cu grade pe oră.»
- d) «La fiecare rând se adaugă scaune.»
Vezi răspunsul
Răspuns corect: b) «Prețul crește cu în fiecare lună.»
Doar creșterea procentuală se traduce printr-o înmulțire cu același factor ( în fiecare lună). Celelalte trei adaugă sau scad o cantitate fixă, deci sunt progresii aritmetice.
Șirul este:
- a) progresie aritmetică
- b) progresie geometrică
- c) și aritmetică, și geometrică
- d) nici aritmetică, nici geometrică
Vezi răspunsul
Răspuns corect: d) nici aritmetică, nici geometrică
Diferențele sunt — cresc, deci nu e aritmetică. Rapoartele sunt , apoi — nu sunt egale, deci nu e nici geometrică. Sunt pătratele numerelor naturale, un șir cu altă lege.
Întrebări conexe
Ce fel de șir este cel al numerelor prime?
Niciunul dintre cele două: diferențele nu sunt egale, iar rapoartele nici atât. Șirul arată amândouă încercările eșuate. Multe șiruri din matematică nu se lasă prinse în niciunul dintre cele două modele.
Cum arată graficele celor două tipuri de progresii?
Punctele unei progresii aritmetice se așază pe o dreaptă, la distanțe egale pe verticală. La una geometrică cu rația peste , punctele urcă tot mai abrupt, iar cu rația subunitară se turtesc spre axa orizontală, fără să o atingă.
Ce model descrie o economie cu depuneri egale, fără dobândă?
Unul aritmetic, fiindcă în fiecare lună se adaugă aceeași sumă la total. Dacă se pun câte de lei, soldul crește cu la fiecare pas, indiferent cât este acumulat. Abia adăugarea unei dobânzi ar transforma modelul în unul geometric.
Ce model se potrivește la o mașină care pierde 15% pe an?
Unul geometric, cu rația . Pierderea se calculează din valoarea curentă, deci suma pierdută scade de la an la an. O mașină de de lei ajunge după trei ani la aproximativ de lei.
De ce povestea bobului de grâu de pe tabla de șah uimește?
Pentru că numărul de boabe se dublează la fiecare pătrat, deci formează o progresie geometrică cu rația . Pe ultimul dintre cele de pătrate ar sta boabe, iar totalul depășește producția lumii de mii de ani.
Cum verific modelul ales, după ce am scris formula?
Calculezi cu formula primii trei sau patru termeni și îi compari cu datele din enunț. Dacă se potrivesc toți, modelul este bun; dacă se potrivesc doar primii doi, ai ales greșit tipul de progresie. Verificarea durează mai puțin decât refacerea întregii probleme.
Oamenii mai întreabă și: aritmetică sau geometrică · cum aleg modelul de progresie · testul diferențelor și al rapoartelor · ce fel de progresie am · diferența dintre cele două progresii
