Aritmetică sau geometrică? Cum alegi modelul potrivit

Doi elevi primesc, la aceeași oră, aceeași temă: „Prețul unui abonament a fost, în ultimii patru ani, de $500$ , $550$ , $605$ și $665, 50$ de lei. Cât va costa peste doi ani?". Primul elev observă că prețul a crescut cu $50$ de lei în primul an și răspunde $765, 50$ de lei. Al doilea observă că prețul s-a înmulțit de fiecare dată cu $1, 1$ și răspunde $805, 26$ de lei. Diferența dintre răspunsuri nu vine dintr-o greșeală de calcul — amândoi au socotit corect. Vine din faptul că au ales modele diferite, iar unul dintre modele nu se potrivește cu datele.

Până acum ai învățat separat progresiile aritmetice și progresiile geometrice: definiție, termen general, sumă. La probleme, formulele erau date pe tavă, pentru că știai din titlul capitolului ce fel de progresie ai în față. În viața reală — și în subiectele de examen — nimeni nu-ți spune asta. Ți se dă o situație și trebuie să decizi tu ce model o descrie. Lecția aceasta este despre exact acea decizie: cum recunoști modelul din date, cum îl recunoști din felul în care e formulat enunțul și ce faci când niciunul dintre cele două nu se potrivește.

Ce vei învăța

Vei ști să aplici testul diferențelor și testul rapoartelor pe un șir de date și să decizi dacă ai o progresie aritmetică, una geometrică sau niciuna.
Vei ști să recunoști modelul direct din formularea enunțului: ce cuvinte trădează o creștere cu pas constant și ce cuvinte trădează una cu factor constant.
Vei ști să compari creșterea liniară cu cea exponențială și să găsești momentul în care a doua o depășește pe prima.
Vei ști să alegi formula potrivită pentru termenul general și pentru sumă, în funcție de modelul identificat.
Vei ști să recunoști situațiile în care datele nu urmează niciun model dintre cele două și să spui de ce.
Vei ști să determini rația și primul termen atunci când ți se dau doi termeni oarecare ai progresiei.

Hai să descoperim împreună

1. Două întrebări care despart modelele

Toată decizia se reduce la o singură întrebare, pusă la trecerea de la un termen la următorul:

Ce fac ca să obțin termenul următor — adun mereu același număr, sau înmulțesc mereu cu același număr?

Dacă adun mereu aceeași cantitate, am o progresie aritmetică: $a_{n + 1} = a_{n} + r$ , unde $r$ se numește rație și se află făcând diferența a doi termeni consecutivi. Dacă înmulțesc mereu cu același număr, am o progresie geometrică: $b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$ , unde $q$ se află făcând raportul a doi termeni consecutivi. Cele două definiții le-ai întâlnit în lecțiile Progresia aritmetică și rația și Progresia geometrică și rația; acum le folosim ca instrumente de diagnostic.

De aici rezultă imediat două teste practice, pe care le poți face pe orice tabel de numere.

2. Testul diferențelor și testul rapoartelor

Testul diferențelor. Calculezi $a_{2} - a_{1}$ , $a_{3} - a_{2}$ , $a_{4} - a_{3}$ , … Dacă toate ies egale, ai o progresie aritmetică, iar valoarea comună este rația $r$ .

Testul rapoartelor. Calculezi $\frac{b _{2}}{b _{1}}$ , $\frac{b _{3}}{b _{2}}$ , $\frac{b _{4}}{b _{3}}$ , … Dacă toate ies egale, ai o progresie geometrică, iar valoarea comună este rația $q$ . (Testul are sens doar dacă termenii sunt nenuli.)

Să le aplicăm pe patru șiruri:

Șirul	Diferențe	Rapoarte	Concluzie
$3, 7, 11, 15, 19$	$4, 4, 4, 4$	$2, 33; 1, 57; \dots$	progresie aritmetică, $r = 4$
$3, 6, 12, 24, 48$	$3, 6, 12, 24$	$2, 2, 2, 2$	progresie geometrică, $q = 2$
$12, 9, 6, 3$	$- 3, - 3, - 3$	$0, 75; 0, 67; 0, 5$	progresie aritmetică, $r = - 3$
$1, 4, 9, 16, 25$	$3, 5, 7, 9$	$4; 2, 25; 1, 78; \dots$	niciuna

Ultimul rând merită atenție: șirul pătratelor perfecte crește, și crește tot mai repede, dar nu este progresie geometrică. Faptul că un șir crește accelerat nu îl face automat geometric — trebuie ca raportul, nu doar creșterea, să fie constant.

O regulă de igienă: fă ambele teste, nu doar unul. Dacă te oprești după primul raport egal cu al doilea, poți fi păcălit; e nevoie ca toate diferențele, respectiv toate rapoartele, să fie egale.

3. Un caz special: șirul constant

Ce se întâmplă cu șirul $5, 5, 5, 5, \dots$ ? Diferențele sunt toate $0$ , deci este progresie aritmetică cu $r = 0$ . Rapoartele sunt toate $1$ , deci este și progresie geometrică cu $q = 1$ . Un șir constant nenul este, așadar, și una, și alta — singurul tip de șir cu această proprietate.

Merită reținut și reversul: dacă un șir este simultan progresie aritmetică și geometrică, atunci el este constant. Într-adevăr, din $a_{n + 1} = a_{n} + r$ și $a_{n + 1} = a_{n} q$ pentru toți termenii rezultă că raportul $q$ și diferența $r$ nu pot fi amândouă nenule fără ca termenii să se contrazică. Acest caz-limită apare des la exerciții de tip adevărat/fals, tocmai pentru că pare imposibil la prima vedere.

4. Din enunț direct la model: cuvintele care trădează

De cele mai multe ori nu primești un tabel, ci un text. Iată perechile de formulări care decid modelul:

Formulare	Model	De ce
„cu $30$ de lei mai mult în fiecare lună"	aritmetică, $r = 30$	se adaugă o cantitate fixă
„cu $20%$ mai mult în fiecare lună"	geometrică, $q = 1, 2$	se adaugă o cotă din valoarea curentă
„scade cu $15$ unități pe an"	aritmetică, $r = - 15$	se scade o cantitate fixă
„scade cu $15%$ pe an"	geometrică, $q = 0, 85$	se scade o cotă din valoarea curentă
„se dublează la fiecare oră"	geometrică, $q = 2$	înmulțire cu factor fix
„fiecare rând are cu $2$ scaune mai mult"	aritmetică, $r = 2$	adăugare fixă

Cheia este procentul: un procent se calculează întotdeauna raportat la o valoare, iar dacă acea valoare este cea curentă, ai o înmulțire, deci o progresie geometrică. Dacă procentul se raportează mereu la valoarea inițială, creșterea redevine una cu pas constant, deci aritmetică — exact deosebirea dintre dobânda simplă și cea compusă din lecția Dobânda compusă și dinamica populației.

Un test rapid, când eziți: calculează primii trei termeni „de mână", direct din enunț, fără nicio formulă. Apoi aplică-le testul diferențelor și testul rapoartelor. Modelul iese singur.

5. Cursa dintre liniar și exponențial

Să punem față în față două creșteri care pornesc din același loc, $100$ de unități:

modelul aritmetic: $a_{n} = 100 + 30 n$ (adaugă $30$ la fiecare pas);
modelul geometric: $b_{n} = 100 \cdot 1, 2^{n}$ (crește cu $20%$ la fiecare pas).

Pasul $n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$a_{n}$	$100$	$130$	$160$	$190$	$220$	$250$	$280$	$310$	$340$
$b_{n}$	$100$	$120$	$144$	$172, 80$	$207, 36$	$248, 83$	$298, 60$	$358, 32$	$429, 98$

La început modelul aritmetic conduce detașat: la pasul $4$ are un avans de aproape $13$ unități. La pasul $5$ avansul aproape a dispărut ( $250$ față de $248, 83$ ), iar de la pasul $6$ modelul geometric trece în față și nu mai este ajuns niciodată — la pasul $8$ diferența e deja de $90$ de unități, și crește.

Acesta este tiparul general, unul dintre cele mai importante din matematica aplicată: o creștere procentuală, oricât de mică, depășește în cele din urmă orice creștere cu pas constant, oricât de mare. Este motivul pentru care o dobândă modestă lăsată să lucreze zeci de ani bate economisirea sub saltea și motivul pentru care o epidemie cu rată constantă de transmitere devine periculoasă chiar dacă începe cu foarte puțini bolnavi.

6. Formulele, alese după model

Odată identificat modelul, formulele vin de la sine. Le așezăm alături, ca să le poți compara dintr-o privire:

	Progresie aritmetică	Progresie geometrică
Trecerea la termenul următor	$a_{n + 1} = a_{n} + r$	$b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$
Termenul general	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$	$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$
Suma primilor $n$ termeni	$S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2}$	$S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}, q \neq = 1$
Cum arată graficul	puncte pe o dreaptă	puncte pe o curbă

Formulele sumelor sunt cele deduse în lecțiile Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice și Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice. Reține că formula sumei geometrice cere $q \neq = 1$ ; pentru $q = 1$ șirul e constant și suma este pur și simplu $n b_{1}$ .

Și încă un tip de întrebare pe care îl întâlnești des: ți se dau doi termeni oarecare și trebuie să afli progresia. Metoda e aceeași în ambele cazuri — scrii fiecare termen dat cu formula termenului general și rezolvi sistemul. La aritmetică ajungi la o scădere, la geometrică la o împărțire. De exemplu, dacă $a_{3} = 10$ și $a_{7} = 22$ într-o progresie aritmetică, atunci $a_{7} - a_{3} = 4 r = 12$ , deci $r = 3$ și $a_{1} = a_{3} - 2 r = 4$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Clasifică trei șiruri de date

Pentru fiecare șir, precizați dacă este progresie aritmetică, geometrică sau niciuna, și determinați rația când există: a) $480, 460, 440, 420$ ; b) $500, 550, 605, 665, 50$ ; c) $2, 4, 8, 14$ .

Rezolvare. a) Diferențele: $- 20$ , $- 20$ , $- 20$ — toate egale, deci progresie aritmetică cu $r = - 20$ .

b) Diferențele: $50$ , $55$ , $60, 50$ — nu sunt egale. Rapoartele: $\frac{550}{500} = 1, 1$ , $\frac{605}{550} = 1, 1$ , $\frac{665 , 50}{605} = 1, 1$ — toate egale, deci progresie geometrică cu $q = 1, 1$ . (Este exact situația din deschiderea lecției: prețul crește cu $10%$ pe an, nu cu $50$ de lei pe an.)

c) Diferențele: $2$ , $4$ , $6$ — nu sunt egale. Rapoartele: $2$ , $2$ , $1, 75$ — nu sunt egale. Niciuna dintre cele două. Atenție: primele trei numere sugerau o progresie geometrică, dar al patrulea strică ipoteza; de aceea se verifică toate perechile.

Exemplul 2 — Două enunțuri aproape identice

Un magazin mărește prețul unui produs de $200$ de lei: a) cu $20$ de lei în fiecare lună; b) cu $10%$ în fiecare lună. Ce preț are produsul după $4$ luni, în fiecare caz?

Rezolvare. a) Se adaugă o sumă fixă, deci model aritmetic cu $a_{0} = 200$ , $r = 20$ : prețurile sunt $220$ , $240$ , $260$ , $280$ de lei. Direct cu formula: $200 + 4 \cdot 20 = 280$ lei.

b) Se adaugă o cotă din prețul curent, deci model geometric cu $b_{0} = 200$ , $q = 1, 1$ : prețurile sunt $220$ ; $242$ ; $266, 20$ ; $292, 82$ de lei. Direct cu formula: $200 \cdot 1, 1^{4} = 200 \cdot 1, 4641 = 292, 82$ lei.

După prima lună rezultatele coincid — de aceea enunțurile par la fel. Diferența apare abia de la a doua lună și crește apoi constant.

Exemplul 3 — Când trece geometrica înaintea aritmeticii

Un angajat primește ofertele: A — salariu de $3000$ de lei, cu o creștere de $200$ de lei în fiecare an; B — salariu de $3000$ de lei, cu o creștere de $5%$ în fiecare an. Care ofertă dă un salariu mai mare după $5$ ani? Dar după $14$ ani?

Rezolvare. Oferta A este aritmetică: $S_{n}^{A} = 3000 + 200 n$ . Oferta B este geometrică: $S_{n}^{B} = 3000 \cdot 1, 0 5^{n}$ .

După $5$ ani: $S_{5}^{A} = 4000$ lei, iar $S_{5}^{B} = 3000 \cdot 1, 0 5^{5} \approx 3828, 84$ lei — oferta A e mai bună.

După $14$ ani: $S_{14}^{A} = 3000 + 2800 = 5800$ lei, iar $S_{14}^{B} = 3000 \cdot 1, 0 5^{14} \approx 5939, 79$ lei — oferta B a trecut în față. (Verificând anul precedent: $5600$ față de $5656, 95$ — depășirea are loc, de fapt, chiar în anul al treisprezecelea.)

Concluzia practică: pentru un contract scurt alegi creșterea fixă, pentru o carieră lungă alegi creșterea procentuală.

Exemplul 4 — Aceleași date, două sume

Calculați suma primilor $5$ termeni pentru: a) progresia aritmetică $3, 7, 11, 15, 19$ ; b) progresia geometrică $3, 6, 12, 24, 48$ .

Rezolvare. a) $a_{1} = 3$ , $a_{5} = 19$ , deci $S_{5} = \frac{( 3 + 19 ) \cdot 5}{2} = \frac{110}{2} = 55$ . Verificare prin adunare directă: $3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55$ . ✓

b) $b_{1} = 3$ , $q = 2$ , deci $S_{5} = 3 \cdot \frac{2 ^{5} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93$ . Verificare: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$ . ✓

Observă cum modelul dictează formula: la aritmetică folosim media termenilor extremi, la geometrică folosim puterea rației.

Exemplul 5 — Progresia dedusă din doi termeni

a) Într-o progresie aritmetică, $a_{3} = 10$ și $a_{7} = 22$ . Determinați $a_{1}$ și $r$ . b) Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi, $b_{2} = 6$ și $b_{5} = 48$ . Determinați $b_{1}$ și $q$ .

Rezolvare. a) $a_{7} = a_{3} + 4 r$ , deci $22 = 10 + 4 r$ , de unde $r = 3$ . Apoi $a_{1} = a_{3} - 2 r = 10 - 6 = 4$ . Verificare: $4, 7, 10, 13, 16, 19, 22$ . ✓

b) $b_{5} = b_{2} \cdot q^{3}$ , deci $48 = 6 q^{3}$ , de unde $q^{3} = 8$ și $q = 2$ . Apoi $b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = 3$ . Verificare: $3, 6, 12, 24, 48$ . ✓

Reține tiparul: la aritmetică diferența a doi termeni dă un multiplu al rației, la geometrică raportul lor dă o putere a rației.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Prețul unui produs a fost, în patru ani consecutivi, de $800$ , $840$ , $882$ și $926, 10$ lei. a) Arătați că prețurile formează o progresie geometrică și determinați rația. b) Determinați numărul minim de ani, socotiți de la primul preț, după care prețul depășește $1200$ de lei.

Rezolvare. a) Verificăm rapoartele: $\frac{840}{800} = 1, 05$ , $\frac{882}{840} = 1, 05$ , $\frac{926 , 10}{882} = 1, 05$ . Fiind toate egale, șirul prețurilor este o progresie geometrică cu rația $q = 1, 05$ , adică prețul crește cu $5%$ pe an. (Testul diferențelor eșuează: $40$ , $42$ , $44, 10$ .)

b) Prețul după $n$ ani este $P_{n} = 800 \cdot 1, 0 5^{n}$ , iar condiția $800 \cdot 1, 0 5^{n} > 1200$ revine la $1, 0 5^{n} > 1, 5$ . Calculăm: $1, 0 5^{8} \approx 1, 4775$ , deci $P_{8} \approx 1182$ lei — insuficient; $1, 0 5^{9} \approx 1, 5513$ , deci $P_{9} \approx 1241, 04$ lei $> 1200$ . Numărul minim de ani este $n = 9$ . $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă, scrie mai întâi ce model ai ales și de ce — la examen, justificarea alegerii modelului aduce punctaj separat.

1. Pentru fiecare șir, precizează dacă este progresie aritmetică, geometrică sau niciuna, și dă rația când există: a) $3, 7, 11, 15$ ; b) $3, 6, 12, 24$ ; c) $1, 4, 9, 16$ ; d) $12, 9, 6, 3$ ; e) $100, 90, 81, 72, 90$ ; f) $5, 5, 5, 5$ .

2. Scrie primii cinci termeni ai șirului care începe cu $6, 12, \dots$ , în ipoteza că este progresie aritmetică, apoi în ipoteza că este progresie geometrică.

3. Pentru fiecare enunț, precizează modelul și rația: a) „economisește cu $20$ de lei mai mult în fiecare lună"; b) „populația crește cu $2%$ pe an"; c) „numărul de bacterii se dublează la fiecare oră"; d) „valoarea scade cu $15%$ pe an"; e) „fiecare rând de scaune are cu $3$ locuri mai mult decât precedentul".

4. Numărul de elevi ai unei școli a fost, în patru ani, de $480$ , $460$ , $440$ și $420$ . Ce model urmează datele și câți elevi ar avea școala peste încă trei ani, dacă tendința se păstrează?

5. Prețul unui abonament a fost $500$ , $550$ , $605$ și $665, 50$ de lei. Determină modelul și prețul peste încă doi ani.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un șir ai cărui termeni cresc din ce în ce mai repede este obligatoriu o progresie geometrică."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un șir constant și nenul este în același timp progresie aritmetică și progresie geometrică."

8. Un produs de $200$ de lei se scumpește lunar: a) cu $20$ de lei; b) cu $10%$ . Calculează prețul după $4$ luni în fiecare caz și explică de ce răspunsurile coincid după prima lună.

9. Calculează suma primilor $10$ termeni pentru: a) progresia aritmetică $a_{n} = 100 + 30 n$ , $n = 1, \dots, 10$ ; b) progresia geometrică $b_{n} = 100 \cdot 1, 2^{n}$ , $n = 1, \dots, 10$ (rotunjește la două zecimale).

10. Într-o progresie aritmetică, $a_{4} = 11$ și $a_{9} = 26$ . Determină $a_{1}$ și rația.

11. Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi, $b_{1} = 5$ și $b_{4} = 40$ . Determină rația și $b_{6}$ .

12. (Problemă aplicată.) Doi frați pornesc cu câte $100$ de lei. Primul adaugă $30$ de lei în fiecare lună; al doilea își mărește suma cu $20%$ în fiecare lună. Alcătuiește un tabel cu primele $8$ luni și precizează din ce lună al doilea are mai mult.

13. Un șir începe cu $1000$ și fiecare termen se obține adăugând $100$ și apoi mărind rezultatul cu $10%$ . Scrie primii patru termeni și arată, prin ambele teste, că șirul nu este nici progresie aritmetică, nici geometrică.

14. Într-o progresie geometrică, $b_{2} = 6$ și $b_{5} = 48$ . Determină $b_{1}$ , rația și suma primilor $6$ termeni.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Prețurile unui produs în trei ani consecutivi au fost $800$ , $840$ și $882$ de lei. a) Arătați că prețurile sunt în progresie geometrică și determinați rația. b) Calculați prețul în al cincilea an.

16. O bibliotecă are $2000$ de volume și primește în fiecare an cu $5%$ mai multe volume decât are, în timp ce o alta are $2000$ de volume și primește câte $150$ de volume pe an. După câți ani întregi prima o depășește pe a doua?

17. Arată că, dacă un șir cu termeni nenuli este în același timp progresie aritmetică de rație $r$ și progresie geometrică de rație $q$ , atunci $r = 0$ și $q = 1$ , deci șirul este constant.

18. (Provocare.) Bunicul îi propune Anei două variante pentru $30$ de zile: primește $1000$ de lei în fiecare zi, sau primește $1$ leu în prima zi, $2$ lei în a doua, $4$ lei în a treia și tot așa, dublând zilnic. Calculează totalul în fiecare variantă și explică rezultatul prin comparația dintre creșterea liniară și cea exponențială.

Răspunsuri și explicații

1. a) aritmetică, $r = 4$ (diferențele sunt toate $4$ ); b) geometrică, $q = 2$ (rapoartele sunt toate $2$ ); c) niciuna — diferențele $3, 5, 7$ și rapoartele $4; 2, 25; 1, 78$ nu sunt constante; d) aritmetică, $r = - 3$ ; e) geometrică, $q = 0, 9$ (scădere de $10%$ ); f) și aritmetică ( $r = 0$ ), și geometrică ( $q = 1$ ).

2. Aritmetică ( $r = 6$ ): $6, 12, 18, 24, 30$ . Geometrică ( $q = 2$ ): $6, 12, 24, 48, 96$ . Doi termeni nu determină modelul — de aceea la clasificare trebuie cel puțin trei, iar în practică patru.

3. a) aritmetic, $r = 20$ ; b) geometric, $q = 1, 02$ ; c) geometric, $q = 2$ ; d) geometric, $q = 0, 85$ ; e) aritmetic, $r = 3$ . Regula: cantitate fixă $\Rightarrow$ aritmetic; procent din valoarea curentă $\Rightarrow$ geometric.

4. Diferențele sunt constante, $- 20$ , deci model aritmetic. Peste încă trei ani: $420 - 3 \cdot 20 = 360$ de elevi. (Modelul e valabil doar dacă tendința se păstrează — o precizare pe care enunțul o cere explicit.)

5. Rapoartele sunt toate $1, 1$ , deci model geometric cu $q = 1, 1$ . Peste doi ani: $665, 50 \cdot 1, 1^{2} = 665, 50 \cdot 1, 21 = 805, 255 \approx 805, 26$ lei.

6. Fals. Contraexemplu: $1, 4, 9, 16, 25$ — creșterile sunt tot mai mari ( $3, 5, 7, 9$ ), dar rapoartele nu sunt constante, deci șirul nu e progresie geometrică. Accelerarea creșterii nu este același lucru cu constanța raportului.

7. Adevărat. Pentru șirul $c, c, c, \dots$ cu $c \neq = 0$ , diferențele sunt toate $0$ (progresie aritmetică cu $r = 0$ ), iar rapoartele toate $1$ (progresie geometrică cu $q = 1$ ). Este singurul tip de șir cu ambele proprietăți.

8. a) $220, 240, 260, 280$ de lei; b) $220; 242; 266, 20; 292, 82$ de lei. După prima lună ambele dau $220$ , pentru că $10%$ din $200$ este chiar $20$ de lei; de la a doua lună procentul se aplică unei baze mai mari și rezultatele se despart.

9. a) $a_{1} = 130$ , $a_{10} = 400$ , deci $S_{10} = \frac{( 130 + 400 ) \cdot 10}{2} = 2650$ . b) $b_{1} = 120$ , $q = 1, 2$ , deci $S_{10} = 120 \cdot \frac{1 , 2 ^{10} - 1}{0 , 2} \approx 120 \cdot 25, 9587 \approx 3115, 04$ . Deși pornesc aproape la fel, suma geometrică e cu peste $17%$ mai mare.

10. $a_{9} - a_{4} = 5 r = 26 - 11 = 15$ , deci $r = 3$ ; apoi $a_{1} = a_{4} - 3 r = 11 - 9 = 2$ . Verificare: $2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26$ . ✓

11. $b_{4} = b_{1} q^{3} \Rightarrow 40 = 5 q^{3} \Rightarrow q^{3} = 8 \Rightarrow q = 2$ . Atunci $b_{6} = b_{1} q^{5} = 5 \cdot 32 = 160$ .

12. Primul: $130, 160, 190, 220, 250, 280, 310, 340$ . Al doilea: $120; 144; 172, 80; 207, 36; 248, 83; 298, 60; 358, 32; 429, 98$ . Al doilea frate este în urmă cinci luni, iar din luna a șasea trece în față și se distanțează rapid.

13. Termenii: $1000$ ; $(1000 + 100) \cdot 1, 1 = 1210$ ; $(1210 + 100) \cdot 1, 1 = 1441$ ; $(1441 + 100) \cdot 1, 1 = 1695, 10$ . Diferențele: $210$ ; $231$ ; $254, 10$ — nu sunt egale. Rapoartele: $1, 21$ ; $1, 191 \dots$ ; $1, 176 \dots$ — nu sunt egale. Deci niciun model dintre cele două nu descrie șirul; combinarea unei adunări fixe cu o înmulțire fixă iese din familia progresiilor.

14. $b_{5} = b_{2} q^{3} \Rightarrow 48 = 6 q^{3} \Rightarrow q = 2$ ; $b_{1} = b_{2} : q = 3$ . Suma: $S_{6} = 3 \cdot \frac{2 ^{6} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 63 = 189$ . Verificare: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189$ . ✓

15. a) $\frac{840}{800} = 1, 05$ și $\frac{882}{840} = 1, 05$ ; rapoartele fiind egale, prețurile sunt în progresie geometrică de rație $q = 1, 05$ . b) $P_{5} = 800 \cdot 1, 0 5^{4} = 800 \cdot 1, 21550625 = 972, 405 \approx 972, 41$ lei (al cincilea an înseamnă patru creșteri față de primul preț).

16. Prima bibliotecă: $2000 \cdot 1, 0 5^{n}$ ; a doua: $2000 + 150 n$ . Comparăm: la $n = 5$ , $2552, 56$ față de $2750$ ; la $n = 8$ , $2954, 91$ față de $3200$ ; la $n = 12$ , $3591, 71$ față de $3800$ ; la $n = 15$ , $4157, 86$ față de $4250$ ; la $n = 17$ , $4584, 04$ față de $4550$ . Prima o depășește pe a doua după $17$ ani — tiparul obișnuit: exponențialul pierde mult timp, apoi câștigă definitiv.

17. Din cele două relații: $a_{n} + r = a_{n} q$ pentru orice $n$ , deci $r = a_{n} (q - 1)$ . Dacă $q \neq = 1$ , atunci $a_{n} = \frac{r}{q - 1}$ este același număr pentru toți $n$ , deci șirul e constant, iar atunci $r = 0$ și din $a_{n} = a_{n} q$ cu $a_{n} \neq = 0$ rezultă $q = 1$ — contradicție cu $q \neq = 1$ . Rămâne $q = 1$ , de unde $r = 0$ : șirul este constant.

18. Prima variantă: $30 \cdot 1000 = 30000$ de lei. A doua: suma unei progresii geometrice cu $b_{1} = 1$ , $q = 2$ , $n = 30$ :

$S_{30} = 1 \cdot \frac{2 ^{30} - 1}{2 - 1} = 2^{30} - 1 = 1073741823 lei,$

adică peste un miliard. Deși în primele zece zile a doua variantă pare ridicolă (în ziua a zecea aduce doar $512$ lei, față de $1000$ ), dublarea zilnică este o creștere exponențială și, odată ce depășește pragul, o face cu o marjă imposibil de recuperat.

De reținut

Întrebarea care decide modelul este: adun mereu același număr (aritmetică) sau înmulțesc mereu cu același număr (geometrică)?
Testul diferențelor identifică progresia aritmetică ( $a_{n + 1} - a_{n}$ constant), testul rapoartelor identifică progresia geometrică ( $b_{n + 1} : b_{n}$ constant); se aplică amândouă, pe toate perechile de termeni consecutivi disponibili.
În enunțuri, o cantitate fixă („cu $30$ de lei mai mult") duce la model aritmetic, iar un procent din valoarea curentă („cu $20%$ mai mult") duce la model geometric.
O creștere procentuală, oricât de mică, depășește în cele din urmă orice creștere cu pas constant: exponențialul pierde la început și câștigă definitiv mai târziu.
Un șir constant nenul este și progresie aritmetică ( $r = 0$ ), și progresie geometrică ( $q = 1$ ) — și este singurul cu această proprietate.

Greșeli frecvente

Decizia luată după doi termeni. Din $6, 12$ nu poți ști nimic: continuarea poate fi $18$ (aritmetică) sau $24$ (geometrică). Ai nevoie de cel puțin trei termeni, iar în practică de patru, ca să elimini coincidențele.
Confuzia dintre „crește repede" și „geometric". Șirul $1, 4, 9, 16$ crește accelerat, dar nu este progresie geometrică. Doar constanța raportului decide, nu impresia vizuală.
Aplicarea unui singur test. Dacă verifici doar diferențele și nu ies egale, nu ai dreptul să spui „nu e progresie" — mai rămâne testul rapoartelor, și invers.
Procent tratat ca sumă fixă. „Cu $10%$ mai mult în fiecare an" nu înseamnă „cu aceeași sumă în fiecare an"; procentul se recalculează la valoarea curentă, deci modelul e geometric, nu aritmetic.
Formula sumei aleasă greșit. Formula $\frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$ este doar pentru progresii aritmetice, iar $b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ doar pentru cele geometrice, cu $q \neq = 1$ . Identifică modelul înainte de a scrie formula.

Aplică acasă

Detectivul de tabele. Caută în manualul de geografie sau pe site-ul Institutului Național de Statistică un tabel cu valori pe cinci ani consecutivi (populație, producție, prețuri). Aplică testul diferențelor și testul rapoartelor și decide ce model se potrivește mai bine. De multe ori niciunul nu se potrivește exact — notează care dintre ele se apropie mai mult și cât de mare e abaterea.
Două pușculițe. Timp de o lună, ține evidența a două planuri imaginare: în primul pui zilnic aceeași sumă mică, în al doilea pui în prima zi $1$ leu și în fiecare zi cu $50%$ mai mult decât în ziua precedentă. Calculează totalul după $10$ , $20$ și $30$ de zile și observă unde se rup socotelile — al doilea plan devine repede imposibil de susținut, ceea ce explică de ce creșterile exponențiale reale se opresc la un moment dat.
Anunțuri cu procente. Adună de pe internet trei anunțuri comerciale care conțin procente („reducere de $30%$ ", „ $20%$ în plus la fiecare achiziție"). Pentru fiecare, scrie modelul matematic corespunzător unei repetări pe cinci pași și calculează valoarea finală. Discută în familie dacă anunțul sugerează ce se întâmplă cu adevărat după cinci repetări.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide unitatea progresiilor cu competența cea mai transferabilă: alegerea modelului. Până aici elevul a lucrat cu formule primite; de acum trebuie să decidă singur care formulă se aplică. Această decizie este exact ce cere programa prin analizarea unei situații descrise numeric printr-o progresie și prin utilizarea formulelor adecvate în diferite contexte.

Ce verifică lecția: aplicarea corectă și completă a celor două teste (pe toate perechile de termeni consecutivi, nu doar pe prima), traducerea unui enunț verbal în model, alegerea formulei potrivite pentru termenul general și pentru sumă, determinarea progresiei din doi termeni oarecare și recunoașterea situațiilor care nu se încadrează în niciun model. Întrebări bune de control: „De ce nu poți decide modelul din doar doi termeni?"; „Ce cuvânt din enunț ți-a spus că e geometrică?"; „Șirul $1, 4, 9, 16$ e progresie geometrică? De ce nu?".

Semne că elevul a înțeles: începe orice problemă scriind explicit modelul ales și justificarea, nu sare direct la formulă; verifică rezultatul pe primii doi-trei termeni; nu confundă accelerarea creșterii cu constanța raportului. La Bacalaureat, cerințele au forma din Exemplul 6 — „arătați că numerele sunt în progresie…" urmată de un calcul de termen sau de sumă — iar punctajul se pierde cel mai des la justificarea primei părți, care cere verificarea explicită a diferențelor sau a rapoartelor.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama dacă un șir este progresie aritmetică sau geometrică? Calculezi diferențele termenilor consecutivi și rapoartele lor. Dacă toate diferențele sunt egale, ai o progresie aritmetică cu rația egală cu acea diferență; dacă toate rapoartele sunt egale, ai o progresie geometrică cu rația egală cu acel raport. Dacă niciuna dintre situații nu apare, șirul nu este progresie.

Câți termeni îmi trebuie ca să decid modelul? Cel puțin trei, pentru că doi termeni se potrivesc întotdeauna și cu un model, și cu celălalt. În practică folosești patru termeni, ca să nu fii păcălit de o coincidență: $2, 4, 8, 14$ pare geometric până la al patrulea termen.

Ce cuvinte din enunț arată că am o progresie geometrică? Orice formulare care leagă creșterea de valoarea curentă: „cu $20%$ mai mult", „se dublează", „scade cu o treime", „crește cu aceeași rată". În schimb, „cu $30$ de lei mai mult", „cu $5$ locuri în plus", „scade cu $20$ de unități" indică o progresie aritmetică.

De ce o creștere procentuală mică ajunge să bată o creștere fixă mare? Pentru că la creșterea procentuală sporul se recalculează la o valoare tot mai mare, deci sporul însuși crește; la creșterea fixă sporul rămâne același. Oricât de mult ar fi în urmă la început, modelul geometric depășește modelul aritmetic după un număr suficient de pași.

Poate un șir să fie și progresie aritmetică, și progresie geometrică? Da, dar numai dacă este constant și nenul: atunci diferențele sunt toate $0$ și rapoartele sunt toate $1$ . Orice alt șir este cel mult una dintre cele două.

Ce fac dacă datele nu se potrivesc niciunui model? Spui explicit acest lucru și arăți de ce, prezentând diferențele și rapoartele care nu sunt constante. Multe fenomene reale nu sunt progresii; în astfel de cazuri, o progresie poate fi cel mult o aproximare, iar precizarea abaterii face parte din răspunsul corect.

Cum aflu progresia dacă știu doar doi termeni de rang oarecare? Scrii fiecare termen cu formula termenului general. La progresia aritmetică, diferența celor doi termeni este un multiplu al rației ( $a_{m} - a_{k} = (m - k) r$ ); la cea geometrică, raportul lor este o putere a rației ( $b_{m} : b_{k} = q^{m - k}$ ). De acolo afli rația, apoi primul termen.