Fie $$f:[0,2] \to \mathbb{R}$$, $$f(x)=x^{3}+x-3$$. Se poate afirma că:

ecuația $$f(x)=0$$ are cel puțin o soluție în $$(0,2)$$

ecuația $$f(x)=0$$ nu are soluții în $$(0,2)$$

ecuația $$f(x)=0$$ are exact două soluții în $$(0,2)$$

$$f$$ ia valoarea $$10$$ pe intervalul $$[0,2]$$

Funcția parte întreagă $$f(x)=[x]$$ pe $$[0,2]$$ are $$f(0)=0$$ și $$f(2)=2$$, dar nu ia niciodată valoarea $$\dfrac12$$. Motivul este că:

$$f$$ nu este continuă pe $$[0,2]$$

$$\dfrac12$$ nu este cuprins între $$f(0)$$ și $$f(2)$$

proprietatea valorilor intermediare cere ca funcția să fie strict monotonă

Ce spune proprietatea lui Darboux?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Proprietatea valorilor intermediare

Pe un interval, o funcție continuă nu are voie să sară peste nicio valoare cuprinsă între două dintre valorile ei. Scris riguros: dacă $f$ este continuă pe $I$ , iar $a, b \in I$ , atunci pentru orice $λ$ situat între $f (a)$ și $f (b)$ există măcar un $c$ între $a$ și $b$ cu $f (c) = λ$ . Este un rezultat de existență: nu spune câți $c$ sunt și nici cum se află.

Teoremă (proprietatea valorilor intermediare, numită și proprietatea lui Darboux; se admite fără demonstrație). Fie $I$ un interval și $f : I \to R$ continuă pe $I$ , iar $a, b \in I$ cu $a < b$ . Atunci pentru orice $λ$ cuprins între $f (a)$ și $f (b)$ există cel puțin un $c \in (a, b)$ cu $f (c) = λ$ . Pe scurt: o funcție continuă pe un interval nu poate sări peste nicio valoare.

Trei precizări: nu se presupune nicio ordine între $f (a)$ și $f (b)$ ; punctul $c$ nu e unic; iar teorema este un rezultat de existență pură — nu îți dă $c$ .

Consecința de semn (numită și teorema lui Bolzano), cazul $λ = 0$ : dacă $f$ e continuă pe $[a, b]$ și $f (a) \cdot f (b) < 0$ , atunci ecuația $f (x) = 0$ are cel puțin o soluție în $(a, b)$ .

A doua consecință: imaginea unui interval printr-o funcție continuă este tot un interval. Cu monotonia, ea devine calcul: pentru $f$ continuă și strict crescătoare pe $[a, b]$ , $f ([a, b]) = [f (a), f (b)]$ .

Niciuna dintre ipoteze nu poate fi eliminată: partea întreagă pe $[0, 2]$ nu ia valoarea $\frac{1}{2}$ (nu e continuă), iar $\frac{1}{x}$ nu se anulează între $- 1$ și $1$ (domeniul nu e interval).

De reținut

pe un interval, toate valorile dintre două valori ale funcției sunt atinse
consecința de semn: din $f (a) f (b) < 0$ rezultă o soluție în $(a, b)$
printr-o funcție continuă, imaginea unui interval rămâne tot interval

Greșeala tipică

Se aplică teorema pe un domeniu care nu este interval, de pildă pe $R^{*}$ . Funcția $\frac{1}{x}$ ia valori de semne contrare fără să se anuleze, tocmai fiindcă domeniul are o gaură.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $f : [0, 2] \to R$ , $f (x) = x^{3} + x - 3$ . Se poate afirma că:
- a) ecuația $f (x) = 0$ nu are soluții în $(0, 2)$
- b) ecuația $f (x) = 0$ are exact două soluții în $(0, 2)$
- c) $f$ ia valoarea $10$ pe intervalul $[0, 2]$
- d) ecuația $f (x) = 0$ are cel puțin o soluție în $(0, 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) ecuația $f (x) = 0$ are cel puțin o soluție în $(0, 2)$

Funcția e polinomială, deci continuă pe $[0, 2]$ . Avem $f (0) = - 3 < 0$ și $f (2) = 8 + 2 - 3 = 7 > 0$ , deci $f (0) \cdot f (2) < 0$ : prin consecința de semn, există $c \in (0, 2)$ cu $f (c) = 0$ . Teorema dă „cel puțin”, nu „exact”, deci b) nu se poate afirma. La c), imaginea este $[- 3, 7]$ , iar $10$ nu îi aparține.
Imaginea funcției $f : [1, 4] \to R$ , $f (x) = x$ , este:
- a) $[1, 4]$
- b) $[1, 2]$
- c) $(1, 2)$
- d) $[0, 2]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[1, 2]$

Funcția radical este continuă și strict crescătoare pe $[1, 4]$ , deci imaginea este $[f (1), f (4)] = [1, 4] = [1, 2]$ . Monotonia arată că valorile nu depășesc capetele, iar proprietatea valorilor intermediare arată că toate valorile dintre ele sunt atinse — de aceea intervalul este închis, nu deschis. Varianta a) confundă imaginea cu domeniul.
Funcția parte întreagă $f (x) = [x]$ pe $[0, 2]$ are $f (0) = 0$ și $f (2) = 2$ , dar nu ia niciodată valoarea $\frac{1}{2}$ . Motivul este că:
- a) $f$ nu este continuă pe $[0, 2]$
- b) $[0, 2]$ nu este interval
- c) $\frac{1}{2}$ nu este cuprins între $f (0)$ și $f (2)$
- d) proprietatea valorilor intermediare cere ca funcția să fie strict monotonă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f$ nu este continuă pe $[0, 2]$

Partea întreagă are discontinuități de speța I (cu limite laterale finite și diferite) în $1$ și în $2$ , unde sare peste toate valorile intermediare; ipoteza de continuitate cade, deci teorema nu se aplică. b) e falsă — $[0, 2]$ este chiar un interval. c) e falsă: $0 < \frac{1}{2} < 2$ . d) adaugă o ipoteză care nu figurează în enunț.

Întrebări conexe

Ce rol are monotonia alături de proprietatea valorilor intermediare?

Ea aduce precizie. Proprietatea singură spune doar că valoarea este atinsă undeva; adăugând stricta monotonie afli că punctul este singurul, iar imaginea intervalului se scrie exact, cu marginile date de valorile din capete.

De ce se spune că teorema este un rezultat de existență pură?

Pentru că ea afirmă doar că punctul căutat se află undeva înăuntru, fără să dea vreo cale de a-l calcula. Pentru o valoare efectivă ai nevoie de altceva: rezolvarea ecuației, monotonie sau metoda înjumătățirii intervalului.

Cum restrâng intervalul în care se află o soluție?

Împarți intervalul în două și calculezi valoarea funcției la mijloc. Soluția rămâne în jumătatea la ale cărei capete funcția are semne contrare, iar procedeul se repetă. După zece împărțiri lungimea intervalului scade de peste o mie de ori.

Ce funcții discontinue au totuși proprietatea valorilor intermediare?

Derivatele. Teorema lui Darboux arată că o funcție care este derivata alteia ia toate valorile intermediare, chiar dacă ea însăși are puncte de discontinuitate. Proprietatea nu este deci echivalentă cu continuitatea, ci doar o consecință a ei.

Trebuie ca valoarea din capătul stâng să fie mai mică decât cea din dreapta?

Nu, enunțul nu cere nicio ordine între cele două valori. Se spune doar că $λ$ este cuprins între ele, indiferent care este mai mare. Formularea aceasta acoperă și funcțiile care coboară pe intervalul dat.

Cum aplic proprietatea valorilor intermediare la o ecuație?

Aduci totul într-un membru, obții forma $f (x) = 0$ , justifici continuitatea și cauți doi întregi mici în care funcția are semne contrare. Concluzia se scrie citând consecința de semn, iar intervalul deschis dintre ei conține soluția.

Oamenii mai întreabă și: proprietatea valorilor intermediare · teorema lui Darboux · funcție continuă nu sare valori · teorema lui Bolzano · valori intermediare pe un interval