Care dintre afirmațiile următoare este falsă?

$$\det(A+B) = \det A + \det B$$, pentru orice $$A, B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$

$$\det({}^{t}A) = \det A$$, pentru orice matrice pătratică $$A$$

dacă o coloană a lui $$A$$ este nulă, atunci $$\det A = 0$$

dacă o linie a lui $$A$$ se înmulțește cu $$\alpha$$, determinantul se înmulțește cu $$\alpha$$

Ce proprietăți are determinantul unei matrice?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Proprietățile determinanților (I)

Valoarea nu se schimbă la transpunere, deci tot ce merge pe linii merge și pe coloane. O linie de zerouri, ca și două linii proporționale, anulează determinantul. Un factor comun al unei linii iese în față o singură dată, așa că $det (k A) = k^{n} det A$ la ordinul $n$ . Determinantul sumei nu este suma determinanților, dar este liniar în raport cu o singură linie, celelalte rămânând neatinse.

Definiția cu permutări spune tot adevărul, dar îl spune scump. În practică se folosesc proprietăți, demonstrate o dată din definiție și aplicate apoi de mii de ori. Prima lecție aduce patru dintre ele.

Proprietatea 1 (transpusa): $det (^{t} A) = det A$ , pentru orice matrice pătratică. Consecința este cea mai folositoare din toată lecția: determinantul „nu vede" diferența dintre linii și coloane, deci orice proprietate adevărată despre linii este automat adevărată și despre coloane.

Proprietatea 2 (linie nulă): dacă o linie sau o coloană are toate elementele nule, atunci $det A = 0$ . Fiecare dintre cei $n!$ termeni conține exact un factor din acea linie, deci fiecare termen se anulează. Este proprietatea cea mai ieftină: îți dă răspunsul fără niciun calcul.

Proprietatea 3 (factor comun): înmulțind o linie cu $α$ , determinantul se înmulțește cu $α$ ; citită invers, factorul comun al unei linii se scoate în fața determinantului. Doi factori scoși din două linii diferite se înmulțesc între ei. Atenție: factorul se scoate dintr-o linie o singură dată — cazul în care se înmulțește toată matricea se tratează la lecția despre determinantul produsului a două matrice.

Proprietatea 4 (liniaritate pe o linie): o linie scrisă ca sumă de două linii rupe determinantul în doi determinanți, celelalte linii rămânând identice.

Împreună, Proprietățile 3 și 4 formează liniaritatea în raport cu o linie. Ele nu spun nimic despre $det (A + B)$ : pentru $A = B = I_{2}$ avem $det (A + B) = 4 \neq = 1 + 1$ . Nu există regulă pentru determinantul unei sume.

De reținut

$det^{t} A = det A$ — orice regulă merge și pe coloane
Linie nulă sau două linii proporționale $\Rightarrow det A = 0$
$det (k A) = k^{n} det A$ , dar $det (A + B) \neq = det A + det B$

Greșeala tipică

Se scrie $det (k A) = k det A$ , prin analogie cu scoaterea unui factor dintr-o singură linie. Înmulțirea atinge toate cele $n$ linii, deci factorul iese de $n$ ori și apare cu exponent.

Exerciții din această mini-lecție

Se știe că $A \in M_{3} (R)$ are $det A = - 4$ . Fie $B$ matricea obținută din $A$ înmulțind linia a doua cu $5$ . Cât este $det (^{t} B)$ ?
- a) $- 4$
- b) $20$
- c) $- 20$
- d) $- 500$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 20$

Prin Proprietatea 3, înmulțirea unei singure linii cu $5$ înmulțește determinantul cu $5$ : $det B = 5 \cdot (- 4) = - 20$ . Prin Proprietatea 1, transpunerea nu schimbă nimic: $det (^{t} B) = det B = - 20$ . Varianta d) ar corespunde situației în care s-ar înmulți cu $5$ toate cele trei linii, nu doar una.
Care dintre afirmațiile următoare este falsă?
- a) $det (A + B) = det A + det B$ , pentru orice $A, B \in M_{2} (R)$
- b) $det (^{t} A) = det A$ , pentru orice matrice pătratică $A$
- c) dacă o coloană a lui $A$ este nulă, atunci $det A = 0$
- d) dacă o linie a lui $A$ se înmulțește cu $α$ , determinantul se înmulțește cu $α$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $det (A + B) = det A + det B$ , pentru orice $A, B \in M_{2} (R)$

Contraexemplul standard: $A = B = I_{2}$ dau $det A + det B = 2$ , dar $A + B = (2002)$ , cu $det (A + B) = 4$ . Nu există regulă pentru determinantul unei sume de matrice; ce există este Proprietatea 4, care descompune o singură linie, celelalte rămânând neschimbate.
Cât este $4358101227$ ?
- a) $- 30$
- b) $120$
- c) $- 480$
- d) $- 120$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 120$

Prima linie are factorul comun $4$ ; prin Proprietatea 3 îl scoatem în față: $4135210327$ . Determinantul rămas: se adună $1 \cdot 1 \cdot 7 = 7$ , $2 \cdot 2 \cdot 5 = 20$ , $3 \cdot 3 \cdot 0 = 0$ , cu suma $27$ ; se scad $3 \cdot 1 \cdot 5 = 15$ , $1 \cdot 2 \cdot 0 = 0$ , $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ , cu suma $57$ ; deci valoarea este $- 30$ . Rezultatul final este $4 \cdot (- 30) = - 120$ . Varianta a) uită să înmulțească înapoi cu factorul scos.

Întrebări conexe

Ce legătură are determinantul cu inversabilitatea?

O matrice pătratică are inversă exact atunci când determinantul ei este diferit de zero. De aceea primul pas la orice exercițiu cu inverse este calculul determinantului: dacă iese zero, matricea nu poate fi inversată, oricât ai încerca mai departe.

De ce factorul comun iese o singură dată, nu de n ori?

Fiindcă fiecare termen al determinantului conține exact un element din linia respectivă, deci exact o copie a factorului. Când însă înmulțești toată matricea, factorul apare o dată pentru fiecare linie, de unde exponentul $n$ .

Cât face determinantul matricei alfa ori matricea unitate?

Face $α^{n}$ la ordinul $n$ , fiindcă matricea este diagonală cu $α$ pe fiecare poziție a diagonalei. La ordinul $3$ , de pildă, $det (2 I_{3}) = 8$ , nu $2$ , ceea ce surprinde des la prima întâlnire.

Cum arăt că doi determinanți sunt egali fără să îi calculez?

Cauți un lanț de transformări permise care duce primul tablou în al doilea: transpunere, scoatere de factori, adunarea unei linii la alta. Dacă lanțul există și niciun pas nu schimbă valoarea, egalitatea este dovedită.

Ce proprietăți se transferă automat de la linii la coloane?

Toate, fără excepție, tocmai fiindcă transpunerea păstrează valoarea. Un enunț demonstrat pentru linii se aplică matricei transpuse și se citește apoi pe coloanele celei de pornire, ceea ce scutește de a doua demonstrație.

Cât este determinantul unei matrice antisimetrice de ordinul 3?

Este zero. Din $^{t} A = - A$ iese $det A = det (- A) = (- 1)^{3} det A$ , adică $2 det A = 0$ . Argumentul se sprijină pe faptul că factorul $- 1$ apare o dată pentru fiecare linie, iar la un ordin impar el rămâne necompensat; la ordinele pare raționamentul nu mai duce nicăieri.

Oamenii mai întreabă și: proprietățile determinanților · cum scot factor comun dintr-un determinant · determinantul transpusei · det de k ori A cât face