Care dintre determinanții următori este, cu siguranță, nul, fără niciun calcul?

$$\begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 4 & 0 \\ -6 & 9 & -15 \end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 4 & 8 & 15 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$

Când este nul un determinant?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Proprietățile determinanților (II)

Un determinant se anulează exact atunci când liniile lui sunt dependente: două linii identice, două proporționale, o linie de zerouri sau o linie care este sumă a celorlalte. Pentru $1326$ iese $6 - 6 = 0$ , fiindcă a doua linie este tripla primei. Anularea înseamnă și că matricea nu are inversă, iar sistemul asociat nu mai are soluție unică.

Această lecție îți dă uneltele cu care lucrezi asupra unui determinant, nu doar îl citești.

Proprietatea 5 (schimbarea a două linii): dacă schimbi între ele două linii, determinantul își schimbă semnul. Motivul stă în signaturi: schimbând între ele două valori ale permutării, paritatea numărului de inversiuni se schimbă. Prin transpunere, la fel se întâmplă la schimbarea a două coloane.

Proprietatea 6 (linii identice): două linii egale $\Rightarrow$ $det A = 0$ . Demonstrația nu calculează nimic: schimbându-le între ele, matricea rămâne aceeași, dar determinantul ar trebui să devină $- d$ ; din $d = - d$ rezultă $d = 0$ .

Proprietatea 7 (linii proporționale): dacă o linie este alta înmulțită cu $α$ , determinantul este $0$ — se scoate factorul (Proprietatea 3 din lecția precedentă) și rămân două linii identice.

Proprietatea 8 (proprietatea de aur): operația $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ , cu $i \neq = j$ , nu schimbă determinantul. Condiția $i \neq = j$ este esențială: pentru $i = j$ operația înseamnă $L_{i} \leftarrow (1 + α) L_{i}$ , deci determinantul se înmulțește cu $1 + α$ .

Consecință: dacă o linie este combinație liniară a celorlalte, determinantul este nul, pentru că poate fi transformată într-o linie de zerouri.

Notațiile se scriu așa, și numai așa: $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ , $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ (cu $α \neq = 0$ ), $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ , iar pe coloane $C_{i} \leftrightarrow C_{j}$ , $C_{i} \leftarrow α C_{i}$ , $C_{i} \leftarrow C_{i} + α C_{j}$ . La Bacalaureat M1 baremul cere să se vadă ce operație s-a făcut, pentru că de ea depinde dacă valoarea s-a păstrat, și-a schimbat semnul sau s-a înmulțit.

De reținut

Schimbul a două linii $\Rightarrow$ semnul se răstoarnă
Două linii identice sau proporționale $\Rightarrow det = 0$
$L_{i} \to L_{i} + k L_{j}$ NU schimbă valoarea; $L_{i} \to k L_{i}$ o înmulțește cu $k$

Greșeala tipică

Se înmulțește o linie cu un număr ca să dispară fracțiile și se uită compensarea. Determinantul obținut este de atâtea ori mai mare cât a fost factorul, deci rezultatul trebuie împărțit înapoi la final.

Exerciții din această mini-lecție

Determinantul $132401251$ are valoarea $d$ . Ce valoare se obține dacă se aplică, în această ordine, $L_{1} \leftrightarrow L_{3}$ și apoi $L_{2} \leftarrow L_{2} + 4 L_{1}$ ?
- a) $d$
- b) $4 d$
- c) $- 4 d$
- d) $- d$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- d$

Prima operație este o schimbare de linii, deci determinantul devine $- d$ (Proprietatea 5). A doua este de forma $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ cu $i \neq = j$ , deci nu schimbă nimic (Proprietatea 8). Valoarea finală este $- d$ . Capcana este să crezi că a doua operație aduce un factor $4$ — nu aduce, tocmai pentru că nu este $L_{2} \leftarrow 4 L_{2}$ .
Care dintre determinanții următori este, cu siguranță, nul, fără niciun calcul?
- a) $120241371$
- b) $21 - 6 - 3 49 50 - 15$
- c) $035106240$
- d) $2414807153$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $21 - 6 - 3 49 50 - 15$

La varianta b), linia a treia este prima înmulțită cu $- 3$ : $(- 6, 9, - 15) = - 3 \cdot (2, - 3, 5)$ . Două linii proporționale înseamnă determinant nul (Proprietatea 7). La a) și d) liniile par proporționale, dar ultimul element strică raportul ( $7 \neq = 6$ , respectiv $15 \neq = 14$ ) — proporționalitatea cere același factor pentru toate elementele. La c) determinantul este $56$ : zerourile anulează doar produsele în care apar.
Calculați $1233711259$ , aducându-l la formă triunghiulară.
- a) $0$
- b) $- 1$
- c) $1$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1$

Cu pivotul $1$ din colțul stânga-sus aplicăm $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ și $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{1}$ , obținând liniile $(0, 1, 1)$ și $(0, 2, 3)$ . Apoi $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{2}$ dă $(0, 0, 1)$ . Toate trei operațiile sunt de tipul $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ cu $i \neq = j$ , deci valoarea nu s-a schimbat. Matricea este triunghiulară, cu diagonala $1, 1, 1$ , deci determinantul este $1$ .

Întrebări conexe

Cum se schimbă semnul dacă mut prima linie la sfârșit?

Mutarea cere $n - 1$ schimburi de linii vecine, deci semnul se înmulțește cu $(- 1)^{n - 1}$ . La ordinul $3$ valoarea rămâne neatinsă, fiindcă două schimburi se compensează, iar la ordinul $4$ semnul se răstoarnă.

Ce determinant are o matrice cu o linie egală cu suma celorlalte?

Are valoarea zero. Scazi din acea linie celelalte două, transformare care nu schimbă determinantul, și obții o linie numai de zerouri. De aici anularea, fără niciun calcul cu produse.

Se aplică aceleași reguli și pe coloane?

Da, toate: schimbul a două coloane răstoarnă semnul, două coloane proporționale anulează valoarea, iar adunarea unei coloane la alta o lasă neschimbată. Motivul este egalitatea dintre determinantul unei matrice și cel al transpusei ei.

Cum ajung la o matrice triunghiulară folosind proprietățile?

Folosești adunarea unei linii înmulțite cu un număr la altă linie, ca să faci zerouri sub diagonală, coloană cu coloană. Transformarea aceasta păstrează valoarea, deci la final citești rezultatul ca produs al elementelor diagonale.

Cum folosesc proprietățile ca să evit calculul unui determinant mare?

Cauți întâi o legătură între linii: una nulă, două proporționale sau una care se scrie ca sumă a celorlalte. Dacă găsești o astfel de legătură, valoarea este zero, iar dacă nu, aduci tabloul la formă triunghiulară și citești produsul diagonalei.

Ce înseamnă că liniile unui determinant sunt dependente?

Că una dintre ele se poate scrie ca o combinație a celorlalte, cu coeficienți numerici. Situația se vede uneori direct, alteori abia după câteva transformări, dar consecința este mereu aceeași: determinantul iese zero.

Oamenii mai întreabă și: când se anulează un determinant · determinant nul cu două linii identice · linii proporționale într-un determinant · de ce iese zero un determinant